6.4: Normalización y Ortogonalidad

Aunque todavía no vamos a aprender reglas para hacer productos internos generales entre vectores de estado, hay dos casos en los que el producto interno de dos vectores de estado produce una respuesta simple. El primero no es intrínseco a la representación matemática, sino algo que insistiremos para vectores de estado que representen adecuadamente estados físicos reales. Para que un vector\(|\psi\rangle\) de estado completo sea un estado mecánico cuántico adecuado, debe satisfacer la condición

\(\langle\psi \mid \psi\rangle=1\)

Decimos que esto significa que el vector de estado está normalizado. Es posible tener vectores de estado no normalizados. Por ejemplo, en la ecuación

\(|+x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|+z\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|-z\rangle\)

las dos partes de la suma en el lado derecho son ellos mismos ket vectores. Sin embargo, debido a que son vectores de estado válidos multiplicados por una constante, no se normalizan ellos mismos. Mostraremos más adelante que esta definición de\(|+x\rangle\) está, sin embargo, normalizada.

La segunda regla es que los vectores de estado que representan diferentes estados posibles correspondientes a diferentes mediciones posibles de un observable dado deben ser ortogonales. Matemáticamente, esto se expresa como:

\(\left\langle\phi_{1} \mid \phi_{2}\right\rangle=0\)

si\(\left|\phi_{1}\right\rangle\) y\(\left|\phi_{2}\right\rangle\) son dos estados diferentes correspondientes a estados definidos para un determinado observable. Por ejemplo, los estados\(|+z\rangle\) y\(|-z\rangle\) corresponden a dos estados del mismo observable, específicamente, el\(z\) componente de momento angular. El primero corresponde a que ese componente se mide a lo largo\(+z\), el segundo a que se mide a lo largo\(−z\). La condición de ortogonalidad es entonces:

\(\langle+z \mid-z\rangle=0\)

Como ejemplo de hacer estos cálculos con un estado más complicado, considera el estado\(|+x\rangle\). Si este estado se normaliza correctamente, entonces deberíamos haberlo hecho\(\langle+x \mid+x\rangle=1\). ¿Nosotros? Bueno, primero, tenemos que construir el vector bra que va junto con el vector ket:

\ (\ begin {alineado}
&|+x\ rangle=\ frac {1} {\ sqrt {2}} |+z\ rangle+\ frac {1} {\ sqrt {2}} |-z\ rangle\\
&\ langle+x|=\ frac {1} {\ sqrt {2}} |+z\ rangle+\ frac {1}\ sqrt {2}} |-z\ rangle
\ end {alineado}\)

Observe que en el caso de un vector ket compuesto, para obtener el vector bra simplemente giramos todos los vectores ket del lado derecho en vectores bra, y reemplazamos todos los números con sus conjugados complejos (lo cual aquí es trivial, ya que todos los números son reales). Ahora tenemos lo que necesitamos para averiguar el producto interno. Simplemente sustituya en nuestras expresiones\(|+x\rangle\) y\(\langle+x|\):

\ [\ begin {alineado}
\ langle+x\ mid+x\ rangle &=\ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda\ langle+z\ izquierda|+\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ langle-z|\ derecha)\ izquierda (\ frac {1} {\ sqrt {2}} |+z\ rangle le+\ frac {1} {\ sqrt {2}} |-z\ rangle\ derecha)\ derecha. \ derecho. \\
&=\ frac {1} {2}\ langle+z\ mid+z\ rangle+\ frac {1} {2}\ langle+z\ mid-z\ rangle+\ frac {1} {2}\ langle-z\ mid+z\ rangle+\ frac {1} {2}\ langle-z\ mid-z\ rangle
\ end {alineado}\

Eso parece muy complicado, pero ahora podemos usar la condición de ortogonalidad que sabemos que es cierta para los\(z\) estados, ya que los hemos definido como buenos estados correspondientes al\(z\) componente del momento\(z\) angular. Eso lo sabemos\(\langle+z \mid+z\rangle=1,\langle-z \mid-z\rangle=1\),\(\langle-z \mid+z\rangle=0\), y\(\langle+z \mid-z\rangle=0\) a partir de la normalización y ortogonalidad. Sustituir estos en:

\ (\ begin {alineado}
\ langle+x\ mid+x\ rangle &=\ frac {1} {2} (1) +\ frac {1} {2} (0) +\ frac {1} {2} (0) +\ frac {1} {2} (1)\
\ langle+x\ mid+x\ rangle &=1
\ end {alineado}\)

¡Entonces el estado se normaliza correctamente! Lo dejo como ejercicio para que el lector alerta lo demuestre\(|+x\rangle\) y\(|-x\rangle\) sean ortogonales.