8.3: Observables basados en operadores de creación y aniquilación

Hasta el momento, solo hemos considerado los estados base de muchas partículas para una sola observable\(A\). ¿Qué pasa con otros observables, en particular los que no viajan con ellos\(A\)? Podemos hacer una construcción similar. Supongamos que un observable\(B\) tiene valores propios\(b_{j}\). Podemos construir operadores de creación y aniquilación\(\hat{b}_{j}^{\dagger}\) y\(\hat{b}_{j}\) que actúen según

\ [\ begin {alineado}
&\ hat {b} _ {j} ^ {\ daga}\ izquierda|m_ {1}, m_ {2},\ ldots, m_ {j},\ ldots\ derecha\ rangle=\ sqrt {m_ {j} +1}\ izquierda|m_ {1}, m_ {2},\ ldots, m_ {j} +1,\ ldots\ derecha\ rangle,\\
&\ hat {b} _ {j}\ izquierda|m_ {1}, m_ {2},\ ldots, m_ {j},\ ldots\ derecha\ rangle=\ sqrt {m_ {j}}\ izquierda|m_ {1}, m_ {2},\ lpuntos, m_ {j} -1,\ lpuntos\ derecha\ rangle.
\ end {alineado}\ tag {8.36}\]

donde\(m_{j}\) es el número de partículas con valor\(b_{j}\). Por lo general, los estados de base de dos observables se relacionan a través de una única transformación unitaria\(\left|b_{j}\right\rangle=U\left|a_{j}\right\rangle\) para todos\(j\). ¿Cómo relaciona esto a los operadores de creación y aniquilación?

Para responder a esto, veamos los estados de partículas individuales. Podemos escribir los estados propios de una sola partícula\(\left|a_{j}\right\rangle\) y\(\left|b_{j}\right\rangle\) como

\[\left|a_{j}\right\rangle=\hat{a}_{j}^{\dagger}|\varnothing\rangle \quad \text { and } \quad\left|b_{j}\right\rangle=\hat{b}_{j}^{\dagger}|\varnothing\rangle.\tag{8.37}\]

Suponemos que\(U\) no cambia el vacío ⁶, entonces\(U|\varnothing\rangle=|\varnothing\rangle\). Esto significa que podemos relacionar los dos autoestados a través de

\[\left|b_{j}\right\rangle=U\left|a_{j}\right\rangle=U \hat{a}_{j}^{\dagger}|\varnothing\rangle=U \hat{a}_{j}^{\dagger}\left(U^{\dagger} U\right)|\varnothing\rangle=U \hat{a}_{j}^{\dagger} U^{\dagger}|\varnothing\rangle=\hat{b}_{j}^{\dagger}|\varnothing\rangle,\tag{8.38}\]

donde hemos insertado estratégicamente la identidad\(\mathbb{I}=U^{\dagger} U\). Esto lleva a la transformación del operador

\[\hat{b}_{j}^{\dagger}=U \hat{a}_{j}^{\dagger} U^{\dagger}.\tag{8.39}\]

El hermitiano colindante se calcula fácilmente como\(\hat{b}_{j}=U \hat{a} U^{\dagger}\). Se deja como ejercicio para que pruebes que

\[\hat{b}_{j}^{\dagger}=\sum_{k} u_{j k} \hat{a}_{k}^{\dagger} \quad \text { and } \quad \hat{b}_{j}=\sum_{k} u_{k j}^{*} \hat{a}_{k},\tag{8.40}\]

donde\(u_{j k}=\left\langle a_{k} \mid b_{j}\right\rangle\).

¿Cómo construimos operadores usando los operadores de creación y aniquilación? Supongamos que una partícula observable\(H\) tiene valores propios\(E_{j}\) y estados propios\(|j\rangle\). Esto puede ser, por ejemplo, el hamiltoniano del sistema, lo que asegura que los valores físicos de las partículas (los valores propios) sean aditivos. El operador para muchas partículas idénticas entonces se convierte en

\[H=\sum_{j} E_{j} \hat{n}_{j}=\sum_{j} E_{j} \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j},\tag{8.41}\]

que se transforma de acuerdo con la Ec. (8.40). De manera más general, el operador no puede estar escrito en la base\(\left|n_{1}, n_{2}, \ldots\right\rangle\) propia, en cuyo caso tiene la forma

\[H=\sum_{i j} H_{i j} \hat{b}_{i}^{\dagger} \hat{b}_{j},\tag{8.42}\]

donde\(H_{i j}\) están los elementos de la matriz. Los operadores de creación y aniquilación\(\hat{a}_{j}^{\dagger}\) y\(\hat{a}_{j}\) diagonalizan\(H\), ya veces se llaman modos normales. La razón de esto es que los operadores de creación y aniquilación para bosones obedecen las mismas reglas matemáticas que los operadores de elevación y descenso para el oscilador armónico. El índice\(j\) entonces denota diferentes osciladores. Un sistema de osciladores acoplados se puede descomponer en modos normales, que a su vez son osciladores armónicos aislados.

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⁶ Esta es una suposición natural cuando estamos confinados al espacio Hilbert de una sola partícula, pero hay transformaciones unitarias generales para las que esto no se sostiene, como la transformación a un marco acelerado.