11.3.2: Incertidumbre en Mecánica Cuántica
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Para llevar esto a la mecánica cuántica, ya sabemos calcular el promedio\(\langle a\rangle\), al que llamamos el “valor de expectativa”. Si el estado del sistema es\(|\psi\rangle\) y el operador correspondiente al observable\(a\) es\(\hat{A}\), entonces
\[\langle a\rangle=\langle\psi|\hat{A}| \psi\rangle\tag{11.20}\]
Del mismo modo, ahora que reconocemos que podemos interpretar\(\hat{A}^{2}\) como simplemente aplicar el operador\(\hat{A}\) dos veces, podemos calcular\(\left\langle a^{2}\right\rangle\):
\[\left\langle a^{2}\right\rangle=\left\langle\psi\left|\hat{A}^{2}\right| \psi\right\rangle\tag{11.21}\]
Por ejemplo, consideremos el estado\(|\psi\rangle=|+z\rangle\) y el giro observable\(z\). Esperamos que la incertidumbre aquí sea cero, porque sabemos exactamente lo que obtendremos si medimos spin-\(z\). Veamos si funciona de esa manera:
\ [\ begin {aligned}
\ left\ langle s_ {z}\ right\ rangle &=\ left\ langle\ psi\ left |\ hat {S} _ {z}\ derecha|\ psi\ derecha\ rangle\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
1 y 0\\
0 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ derecha]\\
&=\ frac {\ hbar} {2}
\ end {alineado}\ tag {11.22}\]
Como se esperaba, el valor de expectativa para spin-\(z\) es\(+\hbar / 2\). Por otra parte:
\ [\ begin {alineado}
\ izquierda\ langle s_ {z} ^ {2}\ derecha\ rangle &=\ izquierda\ langle+z\ izquierda|\ hat {S} _ {z}\ hat {S} _ {z} _ {z}\ derecha|-z\ derecha\ rangle\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ izquierda [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {cc}
1 y 0 \\
0 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4 }\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}
\ end {alineado}\ tag {11.23}\
Si tomamos la diferencia\(\left\langle s_{z}{ }^{2}\right\rangle-\left\langle s_{z}\right\rangle^{2}\), obtenemos\(\hbar^{2} / 4-\hbar^{2} / 4=0\), como se esperaba.
¿Y si queremos conocer la incertidumbre\(S_{x}\) para este estado?
\ [\ begin {aligned}
\ left\ langle s_ {x}\ right\ rangle &=\ left\ langle+z\ izquierda|\ hat {S} _ {x}\ derecha|+z\ derecha\ rangle\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
0 y 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ derecha]\\
&=0
\ end {alineado}\ tag {11.24}\]
Si el sistema está en el estado\(|+z\rangle\), sabemos que tenemos un 50% de probabilidad cada uno para encontrar spin-\(x\) ser\(+\hbar / 2\) o\(-\hbar / 2\). Así, no es de sorprender que el valor promedio de spin-\(x\) sea cero, aunque cero no sea un valor que podamos medir. Para averiguar la varianza:
\ [\ begin {aligned}
\ left\ langle s_ {x} ^ {2}\ derecha\ rangle &=\ izquierda\ langle+z\ izquierda|\ hat {S} _ {x}\ hat {S} _ {x}\ derecha|+z\ derecha\ rangle\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ izquierda [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right]\\
& amp; =\ frac {\ hbar^ {2}} {4}\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right]\\
&=\ frac {\ hbar^ {2}} {4}
\ end {alineado}\ tag {11.25}\]
Así, en este caso, la incertidumbre formal\(\Delta s_{x}\) sobre el\(x\) giro es\(\hbar / 2\).