11.4: El principio de incertidumbre de Heisenberg

Como se dijo anteriormente, cuantificar la incertidumbre en un determinado observable para un estado cuántico dado es más interesante cuando lo observable del que estamos hablando tiene un gran número (o incluso un continuo) de diferentes valores que podría asumir. Si considera dos observables diferentes cuyos operadores no conmutan, entonces un sistema no puede estar en un estado definido para ambos observables al mismo tiempo. El Principio de Incertidumbre de Heisenberg toma esta observación, la hace más fuerte y la cuantifica.

Considera una partícula cuántica que pueda moverse a lo largo de una dirección. Su posición es entonces\(x\), y su impulso a lo largo de esa dirección lo es\(p_{x}\). El Principio de Incertidumbre de Heisenberg establece que:

\[\Delta x \Delta p_{x} \geq \frac{\hbar}{2}\tag{11.26}\]

Nos hemos acostumbrado a pensar en una unidad de\(\hbar\) momento angular, porque ahí es donde se mostraba antes. Sin embargo, aquí, no es realmente un momento angular, aunque por supuesto todavía tiene las mismas unidades (posición veces posición a lo largo del tiempo). En cambio, representa el límite fundamental en la mecánica cuántica sobre qué tan bien se pueden conocer dos observables diferentes, la posición y el impulso. Si conoces a una de ellas perfectamente, por ejemplo\(\Delta x=0\), entonces la incertidumbre en la otra debe ser infinita. Aunque en la mecánica cuántica más avanzada utilizamos tales estados ya que son una buena aproximación para muchas cosas, no son realmente físicos. En realidad, la mayoría de los sistemas cuánticos tienen una pequeña cantidad de incertidumbre tanto en posición como en impulso. Es decir, una partícula no tiene una posición definida ni un impulso definido, pero el rango de posiciones para las que tiene una amplitud apreciable se limita a un espacio pequeño, y el rango de momentos para los que tiene una amplitud apreciable se limita a un rango pequeño.

Como ejemplo concreto, consideremos un electrón. Para un electrón no relativista, su impulso es justo\(p=m v\), dónde\(m\) está su masa y\(v\) es su velocidad. Por lo tanto\(\Delta p=m \Delta v\), como la masa es bien conocida y no hay incertidumbre en ella. ¿Qué es una buena incertidumbre en la velocidad a considerar? Para fines prácticos, supongamos que estamos haciendo un experimento con un electrón que requiere que se localice durante 1 segundo. No queremos que la incertidumbre en la velocidad del electrón haga que nuestra incertidumbre en la posición después de un segundo sea mayor que la incertidumbre en la posición fue en primer lugar. Entonces, elegiremos\(\Delta v=\Delta x / t\), donde pondremos en\(t = 1\) segundo lugar. Si entonces ponemos esto en el principio de incertidumbre

\ [\ comenzar {reunido}
\ Delta x\ Delta p\ geq\ frac {\ hbar} {2}\
\ Delta x m_ {e}\ frac {\ Delta x} {t}\ geq\ frac {\ hbar} {2}\
\ Delta x\ geq\ sqrt {\ frac {\ hbar t} {2 m_ {e}} fin
\ {reunidos}\ tag {11.27}\]

Si pones los números, encuentras que la incertidumbre sobre la posición de este electrón es de 0.01 m, o un centímetro. Para un electrón, ¡eso es mucho! (Se podría argumentar sobre si 1 segundo es o no una escala de tiempo razonable. Cuando lleguemos a hablar de átomos, pensaremos más detenidamente en lo que es una escala de tiempo razonable).

Observe, sin embargo, que la incertidumbre en la posición baja a medida que sube la masa. Imagina que te quedaste quieto toda tu vida. Si quieres equilibrar la incertidumbre en tu posición inicial con la incertidumbre en tu posición resultante de la incertidumbre en tu velocidad a lo largo de toda tu vida, entonces pondrías en tu edad para\(t\). Supongamos, con optimismo, que vivirás 100 años (3 × 10 ⁹ segundos), y que tu masa es de 80 kg. Si pones esos números en la ecuación anterior, descubres que la incertidumbre en tu posición es de 4 × 10 ⁻¹⁴ m. En otras palabras, aunque la incertidumbre cuántica puede ser bastante importante para un electrón, en las escalas cotidianas para objetos macroscópicos el efecto de la incertidumbre cuántica es completamente despreciable.