1.1: Motivaciones experimentales

A principios de los 1900 s, la física (que en ese momento incluía lo que ahora llamamos mecánica clásica no relativista, termodinámica y estadística clásica, y electrodinámica clásica incluyendo la óptica geométrica y de onda) parecía una disciplina casi terminada, con la mayoría de los fenómenos a escala humana razonablemente explicado, y apenas un par de misteriosas “nubes oscuras"2 en el horizonte. Sin embargo, los rápidos avances tecnológicos y el consiguiente desarrollo de instrumentos científicos más refinados han llevado a una rápida multiplicación de fenómenos observados que no pudieron explicarse de manera clásica. Permítanme enumerar los hallazgos experimentales más relevantes.

(i) Las mediciones de radiación de cuerpo negro, iniciadas por G. Kirchhoff en 1859, han demostrado que en el equilibrio térmico, la potencia de la radiación electromagnética por una superficie completamente absorbente (“negra”), por unidad de intervalo de frecuencia, desciende exponencialmente a altas frecuencias. Esto no es lo que podría esperarse de la combinación de electrodinámica clásica y estadística, que predijo un crecimiento infinito de la densidad de radiación con la frecuencia. De hecho, la electrodinámica clásica muestra\(^{3}\) que los modos de campo electromagnético evolucionan en el tiempo como osciladores armónicos, y que el número\(d N\) de estos modos en un gran volumen de espacio libre\(V \gg \lambda^{3}\), dentro de un intervalo de frecuencia pequeño\(d \omega<<\omega\) cerca de alguna frecuencia\(\omega\), es\[d N=2 V \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}}=2 V \frac{4 \pi k^{2} d k}{(2 \pi)^{3}}=V \frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} d \omega,\] donde\(c \approx 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) está la velocidad de espacio libre de la luz,\(k=\omega / c\) el número de onda de espacio libre, y\(\lambda=2 \pi / k\) es la longitud de onda de radiación. Por otro lado, la estadística clásica\(^{4}\) predice que en el equilibrio térmico a temperatura\(T\), la energía promedio\(E\) de cada oscilador armónico 1D debe ser igual a\(k_{\mathrm{B}} T\), donde\(k_{\mathrm{B}}\) está la Constante de Boltzmann. \(^{5}\)

Combinando estos dos resultados, obtenemos fácilmente la llamada fórmula Rayleigh-Jeans para la energía promedio de las ondas electromagnéticas por unidad de volumen:\[u \equiv \frac{1}{V} \frac{d E}{d \omega}=\frac{k_{\mathrm{B}} T}{V} \frac{d N}{d \omega}=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} k_{\mathrm{B}} T,\] que diverge en\(\omega \rightarrow \infty\) (Fig. 1) -la llamada catástrofe ultravioleta. Por otro lado, las mediciones de radiación de cuerpo negro, mejoradas por O. Lummer y E. Pringsheim, y también por H. Rubens y F. Kurlbaum para alcanzar una precisión de\(1 \%\) escala, fueron compatibles con la ley fenomenológica sugerida en 1900 por Max Planck:\[u=\frac{\omega^{2}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{\hbar \omega}{\exp \left\{\hbar \omega / k_{\mathrm{B}} T\right\}-1} .\] Esta ley puede conciliarse con la Eq. fundamental (1) si se realiza el siguiente reemplazo para la energía promedio de cada oscilador de campo:\[k_{\mathrm{B}} T \rightarrow \frac{\hbar \omega}{\exp \left(\hbar \omega / k_{\mathrm{B}} T\right)-1}\] con un factor\[\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\] ahora llamado constante de Planck. \({ }^{6}\)A bajas frecuencias\(\left(\hbar \omega<<k_{\mathrm{B}} T\right)\), el denominador en la Ec. (3) puede aproximarse como\(\hbar \omega / k_{\mathrm{B}} T\), de manera que la energía promedio (3b) tiende a su valor clásico\(k_{\mathrm{B}} T\), y la ley de Planck (3a) reduce a la fórmula Rayleigh-Jeans (2). Sin embargo, a frecuencias más altas\((\hbar \omega>>\)\(k_{\mathrm{B}} T\)), la Ec. (3) describe la rápida disminución experimentalmente observada de la densidad de radiación - ver Fig.1.

Fig. 1.1. La densidad de radiación del cuerpo negro\(u\), en unidades de\(u_{0} \equiv\left(k_{\mathrm{B}} T\right)^{3} / \pi^{2} \hbar^{2} c^{3}\), en función de la frecuencia, según la fórmula Rayleigh-Jeans (línea azul) y la ley de Planck (línea roja).

(ii) El efecto fotoeléctrico, descubierto en 1887 por H. Hertz, muestra un límite inferior agudo para la frecuencia de la luz incidente que puede expulsar electrones de las superficies metálicas, independientemente de la intensidad de la luz. Albert Einstein, en uno de sus tres famosos papeles de 1905, notó que este umbral\(\omega_{\text {min }}\) podría explicarse asumiendo que la luz consistía en ciertas partículas (ahora llamadas fotones) con energía

Energía vs frecuencia\[\ E=\hbar \omega,\]

con la misma constante de Planck que participa en la Ec. (3). \({ }^{7}\)De hecho, con esta suposición, en la absorción de fotones por un electrón, su energía\(E=\hbar \omega\) se divide entre una energía fija\(U_{0}\) (hoy en día llamada función de trabajo) de unión de electrones dentro del metal, y el exceso de energía cinética \(m_{\mathrm{e}} v^{2} / 2>0\)del electrón liberado - ver Fig. 2. En esta imagen, el umbral de frecuencia encuentra una explicación natural como\(\omega_{\min }=\)\(U_{0} / \hbar .{ }^{8}\) Además, como lo demostró Satyendra Nath Bose en la\(1924,{ }^{9}\) ecuación (5) explica la ley de Planck (3).

Fig. 1.2. Explicación de Einstein sobre el umbral de frecuencia del efecto fotoeléctrico.

iii) Los espectros de frecuencia discretos de la radiación electromagnética por gases atómicos excitados no podían explicarse por la física clásica. (Aplicado al modelo planetario de átomos, propuesto por Ernst Rutherford, la electrodinámica clásica predice el colapso de electrones en los núcleos en\(\sim 10^{-10} \mathrm{~s}\), debido a la radiación eléctrico-dipolo de las ondas electromagnéticas. \({ }^{10}\)) Especialmente desafiante fue la observación de Johann Jacob Balmer (en 1885) de que las frecuencias de radiación de átomos simples pueden ser bien descritas por fórmulas simples. Por ejemplo, para el átomo de hidrógeno más ligero, todas las frecuencias de radiación pueden estar numeradas con solo dos números enteros positivos\(n\) y\(n\) ':\[\omega_{n, n^{\prime}}=\omega_{0}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right),\] con\(\omega_{0} \equiv \omega_{1, \infty} \approx 2.07 \times 10^{16} \mathrm{~s}^{-1}\). Esta observación, y el valor experimental de\(\omega_{0}\), han encontrado su primera explicación en la famosa teoría de 1913 de Niels Henrik David Bohr, que fue un precursor fenomenológico de la mecánica cuántica actual. En esta teoría,\(\omega_{n, n}\) 'se interpretó como la frecuencia de un fotón que obedece a la fórmula de Einstein (5),\(E_{n, n^{\prime}}=\hbar \omega_{n . n^{\prime}}\) siendo su energía la diferencia entre dos niveles de energía cuantificados (discretos) del átomo (Fig. 3):\[E_{n, n^{\prime}}=E_{n^{\prime}}-E_{n}>0 .\] Bohr demostró que la Eq. (6) puede obtenerse de Ecuaciones (5) y (7), y la mecánica\({ }^{11}\) clásica no relativista, aumentadas con solo un postulado adicional, equivalente a la suposición de que el momento angular\(L=m_{\mathrm{e}} v r\) de un electrón que se mueve con velocidad\(v\) en una órbita circular de radio \(r\)sobre el núcleo del hidrógeno (el protón, que se supone que está en reposo debido a su masa mucho mayor), se cuantifica como\[L=\hbar n,\] donde\(\hbar\) vuelve a ser la misma constante de Planck (4), y\(n\) es un número entero. (En la teoría de Bohr, no\(n\) podría ser igual a cero, aunque en la mecánica cuántica genuina, sí puede.)

Fig. 1.3. La radiación electromagnética de un sistema a consecuencia de la transición entre sus niveles de energía cuantificados.

En efecto, basta con resolver la Ec. (8)\(m_{\mathrm{e}} v r=\hbar n\), junto con la ecuación\[m_{\mathrm{e}} \frac{v^{2}}{r}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}},\] que expresa la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton para un electrón que gira en el campo Coulomb del núcleo. (Aquí\(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}\) está la carga eléctrica fundamental, y\(m_{\mathrm{e}} \approx 0.91 \times 10^{-30} \mathrm{~kg}\) es la masa de reposo del electrón). El resultado de\(r\) es\[r=n^{2} r_{\mathrm{B}}, \quad \text { where } r_{\mathrm{B}} \equiv \frac{\hbar^{2} / m_{\mathrm{e}}}{e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}} \approx 0.0529 \mathrm{~nm} .\] La constante\(r_{\mathrm{B}}\), llamada radio de Bohr, es la escala espacial más importante de fenómenos en física atómica, molecular y de materia condensada, y por lo tanto en toda química y bioquímica.

Ahora enchufando estos resultados en la expresión no relativista para la energía electrónica completa (con su energía de reposo tomada como referencia),\[E=\frac{m_{\mathrm{e}} v^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r},\] obtenemos la siguiente expresión simple para los niveles de energía del electrón:\[E_{n}=-\frac{E_{\mathrm{H}}}{2 n^{2}}<0,\] que, junto con las ecuaciones (5) y (7), da inmediatamente la Ec. (6) para el frecuencias de radiación. Aquí\(E_{\mathrm{H}}\) se llama la llamada constante de energía Hartree (o simplemente la “energía Hartree”)\({ }^{12}\)\[E_{\mathrm{H}} \equiv \frac{\left(e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{2}}{\hbar^{2} / m_{\mathrm{e}}} \approx 4.360 \times 10^{-18} \mathrm{~J} \approx 27.21 \mathrm{eV}\] (Tenga en cuenta las relaciones útiles, que se derivan de las ecuaciones (10) y (13a):

\[E_{\mathrm{H}}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{\mathrm{B}}}=\frac{\hbar^{2}}{m_{\mathrm{e}} r_{\mathrm{B}}^{2}}, \quad \text { i.e. } r_{\mathrm{B}}=\frac{e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0}}{E_{\mathrm{H}}}=\left(\frac{\hbar^{2} / m_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{H}}}\right)^{1 / 2} ;\]el primero de ellos muestra, en particular, esa\(r_{\mathrm{B}}\) es la distancia a la que las escalas naturales del potencial del electrón y las energías cinéticas son iguales.)

Obsérvese también que la Ec. (8)\(p r=\hbar n\), en la forma, donde\(p=m_{\mathrm{e}} v\) está la magnitud del impulso electrónico, puede reescribirse como la condición que un número entero\((n)\) de longitudes\(\lambda\) de onda de ciertas (antes de la tardía\(1920 \mathrm{~s}\), hipotética) ondas\(^{13}\) se ajusta al perímetro de la órbita circular:\(2 \pi r \equiv 2 \pi \hbar n / p=n \lambda\). Dividiendo ambas partes de la última igualdad por\(n\), vemos que para que esta afirmación sea cierta, el número\(k\)\(\equiv 2 \pi / \lambda\) de onda de las ondas de Broglie debe ser proporcional al impulso del electrón\(p=m v\):

Momentum vs número de onda\[\ p=\hbar k,\]

nuevamente con la misma constante de Planck que en la Ec. (5).

(iv) El efecto Compton\({ }^{14}\) es la reducción de la frecuencia de los rayos X en su dispersión sobre electrones libres (o casi libres) - ver Fig. 4.

Fig. 1.4. El efecto Compton.

El efecto puede explicarse asumiendo que el fotón de rayos X también tiene un impulso que obedece a la versión vector-generalizada de la Ec. (14):\[\mathbf{p}_{\text {photon }}=\hbar \mathbf{k}=\frac{\hbar \omega}{c} \mathbf{n},\] dónde\(\mathbf{k}\) está el evector de ondas (cuya magnitud es igual al número de onda\(k\), y cuya dirección coincide con el vector unitario \(\mathbf{n}\)dirigida a lo largo de la propagación de la onda\({ }^{15}\)), y que los momentos tanto del fotón como del electrón están relacionados con sus energías\(E\) por la fórmula relativista clásica\(^{16}\)\[E^{2}=(c p)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2} .\] (Para un fotón, la energía del resto \(m\)es cero, y esta relación se reduce a la Ec. (5):\(E=c p=c \hbar k=\hbar \omega\).) De hecho, una solución directa del siguiente sistema de tres ecuaciones,\[\begin{aligned} \hbar \omega+m_{\mathrm{e}} c^{2} &=\hbar \omega^{\prime}+\left[(c p)^{2}+\left(m_{\mathrm{e}} c^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2}, \\ \frac{\hbar \omega}{c} &=\frac{\hbar \omega^{\prime}}{c} \cos \theta+p \cos \varphi, \\ 0 &=\frac{\hbar \omega^{\prime}}{c} \sin \theta-p \sin \varphi, \end{aligned}\] (que expresan la conservación de, respectivamente, la energía total del sistema y los dos componentes cartesianos relevantes de su impulso completo, en el evento de dispersión - ver Fig. 4), arroja el resultado: el\[\frac{1}{\hbar \omega^{\prime}}=\frac{1}{\hbar \omega}+\frac{1}{m_{\mathrm{e}} c^{2}}(1-\cos \theta),\] cual se representa tradicionalmente como la relación entre los valores inicial y final de la longitud de onda del fotón\(\lambda=2 \pi / k=2 \pi /(\omega / c):{ }^{17}\)\[\lambda^{\prime}=\lambda+\frac{2 \pi \hbar}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \theta) \equiv \lambda+\lambda_{\mathrm{C}}(1-\cos \theta), \quad \text { with } \lambda_{\mathrm{C}} \equiv \frac{2 \pi \hbar}{m_{\mathrm{e}} c}\] y está de acuerdo con el experimento.

(v) Difracción de onda De Broglie. En 1927, Clinton Joseph Davisson y Lester Germer, e independientemente George Paget Thomson lograron observar la difracción de electrones sobre cristales sólidos (Fig. 5). Específicamente, han encontrado que la intensidad de la reflexión elástica de los electrones de un cristal aumenta bruscamente cuando el ángulo\(\alpha\) entre el haz incidente de electrones y los planos atómicos del cristal, separados por la distancia\(d\), satisface la siguiente relación: \[2 d \sin \alpha=n \lambda,\]donde\(\lambda=2 \pi / k=2 \pi \hbar / p\) es la longitud de onda de Broglie de los electrones, y\(n\) es un entero. Como muestra la figura 5, esta es solo la condición bien conocida de\({ }^{18}\) que la diferencia de trayectoria\(\Delta l=2 d \sin \alpha\) entre las ondas de Broglie reflejadas desde dos planos cristalinos adyacentes coincide con un número entero de\(\lambda\), es decir, de la interferencia constructiva del olas. \({ }^{19}\)

Para resumir, todas las observaciones experimentales enumeradas podrían explicarse a partir de dos fórmulas muy simples (y de aspecto similar): Eq. (5) (en esa etapa, solo para fotones) y Eq. (15) para fotones y electrones, ambas relaciones que involucran la misma constante de Planck. Este hecho podría dar una impresión de evidencia experimental suficiente para declarar la luz que consiste en partículas discretas (fotones), y, por el contrario, los electrones son algunas “ondas de materia” en lugar de partículas. Sin embargo, en ese momento (mediados de la década de 1920), la física ha acumulado pruebas abrumadoras de las propiedades de onda de la luz, como la interferencia y la difracción. \({ }^{20}\)Además, también hubo fuertes evidencias del comportamiento de partículas grumadas (“corpuscular”) de los electrones. Basta con mencionar los famosos experimentos de gotas de petróleo de Robert Andrew Millikan y Harvey Fletcher (1909-1913), en los que solo uno (¡y entero!) los electrones podrían agregarse a una gota de petróleo, cambiando su carga eléctrica total por múltiplos de carga de electrones\((-e)-\) y nunca su fracción. Al parecer, era imposible conciliar estas observaciones con una imagen puramente ondulada, en la que un electrón y por lo tanto su carga necesitan extenderse sobre la extensión de la onda, de manera que su parte arbitraria de la misma pudiera cortarse utilizando una configuración experimental apropiada.

Fig. 1.5. La interferencia de onda De Broglie en la dispersión de electrones de una red cristalina.

Así, los padres fundadores de la mecánica cuántica se enfrentaron a una formidable tarea de conciliar las propiedades onduladas y corpusculares de los electrones y fotones -y otras partículas-. El avance decisivo en esa tarea lo lograron en 1926 Ervin Schrödinger y Max Born, quienes formularon lo que hoy se conoce ya sea formalmente como el cuadro Schrödinger de la mecánica cuántica no relativista del movimiento orbital\(^{21}\) en la representación coordinada (este término será explicado más adelante en el curso), o informalmente al igual que la mecánica de olas. Ahora formularé los principales postulados de esta teoría.

---

\({ }^{1}\)Véase, por ejemplo, D. Griffith, Quantum Mechanics,\(2^{\text {nd }}\) ed., Cambridge U. Press,\(2016 .\)

\({ }^{2}\)Esta famosa expresión fue utilizada en una charla de 1900 de Lord Kelvin (nacido William Thomson), en referencia a los resultados de las mediciones de radiación de cuerpo negro y los experimentos de Michelson-Morley, es decir, los precursores de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.

\({ }^{3}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 7.8, en particular la Ec. (7.211).

\({ }^{4}\)Véase, por ejemplo, SM Sec. 2.2.

\({ }^{5}\)En las unidades SI, utilizadas a lo largo de esta serie,\(k_{\mathrm{B}} \approx 1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}-\) consulte el Apéndice CA: Constantes Físicas Seleccionadas para el valor exacto.

\({ }^{6}\)El propio Max Planck escribió\(\hbar \omega\) como\(h v\), dónde\(v=\omega / 2 \pi\) está la frecuencia “cíclica” (el número de periodos por segundo) de manera que en los primeros textos sobre mecánica cuántica se refería el término “constante de Planck”\(h \equiv 2 \pi \hbar\), mientras que \(\hbar\)fue llamada “la constante Dirac” por un tiempo. Utilizaré la terminología contemporánea, y me abstendré de usar la “constante del viejo Planck”\(h\) en absoluto, para evitar confusiones.

\({ }^{7}\)Como recordatorio, A. Einstein recibió su único Premio Nobel (en 1921) exactamente por esta obra, más que por su teoría de la relatividad, es decir, esencialmente por impulsar la misma teoría cuántica que luego cuestionó.

\({ }^{8}\)Para la mayoría de los metales,\(U_{0}\) se encuentra entre 4 y 5 electrón-voltios\((\mathrm{eV})\), de manera que el umbral corresponde a\(\lambda_{\max }=2 \pi c / \omega_{\min }\)\(=2 \pi c /\left(U_{0} / \hbar\right) \approx 300 \mathrm{~nm}\) - aproximadamente en el límite entre la luz visible y la radiación ultravioleta.

\({ }^{9}\)Véase, por ejemplo, SM Sec. 2.5.

\({ }^{10}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 8.2.

\({ }^{11}\)El enfoque no relativista del problema puede justificarse a posteriori por el hecho de que la escala de energía resultante\(E_{\mathrm{H}}\), dada por la Ec. (13), es mucho menor que la energía de reposo del electrón,\(m_{\mathrm{e}} c^{2} \approx 0.5 \mathrm{MeV}\).

\({ }^{12}\)Desafortunadamente, otro nombre, la “constante de Rydberg”, a veces se usa ya sea para esta unidad de energía o para su mitad,\(E_{\mathrm{H}} / 2 \approx 13.6 \mathrm{eV}\). Para agregar a la confusión, el mismo término “constante de Rydberg” se usa en algunos subcampos de la física para la longitud de onda recíproca del espacio libre\(\left(1 / \lambda_{0}=\omega_{0} / 2 \pi c\right)\) correspondiente a la frecuencia\(\omega_{0}=E_{\mathrm{H}} / 2 \hbar\).

\({ }^{13}\)Este hecho fue notado y discutido por primera vez en 1924 por Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (¡en su tesis doctoral!) , de manera que en lugar de hablar de ondulaciones, todavía estamos hablando frecuentemente de las ondas de Broglie, especialmente cuando se discuten partículas libres.

\({ }^{14}\)Este efecto se observó en 1922, y explicado un año después por Arthur Holly Compton, utilizando las ecuaciones (5) y (15). \({ }^{15}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 7.1.

\({ }^{16}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 9.3, en particular la Ec. (9.78).

\({ }^{17}\)La constante\(\lambda_{\mathrm{C}}\) que participa en esta relación, es cercana a\(2.46 \times 10^{-12} \mathrm{~m}\), y se llama la longitud de onda Compton del electrón. Este término es algo engañoso: como puede ver el lector en las ecuaciones (17) - (19), ninguna onda en el problema de Compton tiene tal longitud de onda, ni antes ni después de la dispersión.

\({ }^{18}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 8.4, en particular la Fig. \(8.9\)y Eq. (8.82). Frecuentemente, la ecuación (21) se llama condición de Bragg, debido a los experimentos pioneros de W. Bragg sobre dispersión de rayos X a partir de cristales, los cuales se iniciaron en\(1912 .\)

\({ }^{19}\)Posteriormente, también se han realizado experimentos espectaculares sobre difracción e interferencia de partículas más pesadas (con la longitud de onda de Broglie correspondientemente más pequeña), por ejemplo, neutrones e incluso\(\mathrm{C}_{60}\) moléculas; véase, por ejemplo, la revisión de A. Zeilinger et al., Rev. Mod. Phys. 60, 1067 (1988) y una publicación posterior de O. Nairz et al., Am. J. Phys. 71, 319 (2003). Hoy en día, dicha interferencia de partículas pesadas se utiliza, por ejemplo, para mediciones ultrasensibles de la gravedad - véase, por ejemplo, una revisión popular de M. Arndt, Phys. Hoy\(\mathbf{6 7 , 3 0}\) (mayo de 2014), y experimentos más recientes de S. Abend et al., Phys. Rev. Lett. 117, 203003 (2016).