1.2: Postulados de Mecánica Onda

Consideremos una partícula puntiforme,\({ }^{22}\) no relativista, sin espinas, cuya dinámica clásica puede ser descrita por una determinada función hamiltoniana\(H(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t),{ }^{23}\) donde\(\mathbf{r}\) está el radio-vector de la partícula y\(\mathbf{p}\) es su impulso. (Esta condición es importante porque excluye de nuestra discusión actual a los sistemas cuya interacción con su entorno da como resultado efectos irreversibles, en particular la fricción que conduce a la descomposición de la energía de las partículas. Dichos sistemas “abiertos” necesitan una descripción más general, la cual será discutida en el Capítulo 7.) La mecánica ondulatoria de tales partículas hamiltonianas puede basarse en el siguiente conjunto de postulados que son confortantemente elegantes, aunque su justificación final viene dada únicamente por el acuerdo de todos sus corolarios con el experimento. \({ }^{24}\)

(i) Onda y probabilidad. Variables tales como\(\mathbf{r}\) o\(\mathbf{p}\) no siempre se pueden medir exactamente, incluso en “condiciones perfectas” cuando todas las incertidumbres externas, incluyendo la imperfección del instrumento de medición, las variedades de la preparación del estado inicial y las interacciones involuntarias de las partículas con su entorno , han sido removidos. \({ }^{25}\)Además,\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{p}\) de la misma partícula nunca se puede medir exactamente simultáneamente. En cambio, la descripción más detallada del estado de la partícula permitida por la naturaleza, viene dada por una determinada función compleja\(\Psi(\mathbf{r}, t)\), llamada la función de onda (o “función de onda”), que generalmente permite solo predicciones probabilísticas de los valores medidos de\(\mathbf{r}, \mathbf{p}\), y otros variables directamente medibles - en mecánica cuántica, generalmente llamadas observables.

Específicamente, la probabilidad\(d W\) de encontrar una partícula dentro de un volumen elemental\(d V \equiv d^{3} r\) es proporcional a este volumen, y por lo tanto puede caracterizarse por una densidad de probabilidad independiente del volumen\(w \equiv d W / d^{3} r\), que a su vez se relaciona con la función de onda como \[w=|\Psi(\mathbf{r}, t)|^{2} \equiv \Psi^{*}(\mathbf{r}, t) \Psi(\mathbf{r}, t),\]Donde el signo * denota la conjugación del complejo usulal. Como resultado, la probabilidad total de encontrar la ribabilidad donde el signo * denota la conjugación compleja habitual. Como resultado, la probabilidad total de encontrar la
partícula vía en algún lugar dentro de un volumen\(V\) puede calcularse como función de
onda.\[W=\int_{V} w d^{3} r=\int_{V} \Psi^{*} \Psi d^{3} r .\] En particular, si el volumen\(V\) contiene la partícula definitivamente (es decir, con el \(100 \%\)probabilidad,\(W=1\)), Eq. \((22 \mathrm{~b})\)se reduce a la llamada condición de normalización de función de onda\[\int_{V} \Psi^{*} \Psi d^{3} r=1\] (ii) Observables y operadores. Con cada A observable, la mecánica cuántica asocia un cierto operador lineal\(\hat{A}\), de tal manera que (en las perfectas condiciones mencionadas anteriormente) el valor medio medido de\(A\) (generalmente llamado valor de expectativa) se expresa como\({ }^{26}\)\[\langle A\rangle=\int_{V} \Psi^{*} \hat{A} \Psi d^{3} r,\] donde\(\langle\ldots\rangle\) significa el promedio estadístico, es decir, el resultado de promediar los resultados de medición sobre un gran conjunto (conjunto) de experimentos macroscópicamente similares, y\(\Psi\) es la función de onda normalizada que obedece a la Ec. (22c). Obsérvese inmediatamente que para que las ecuaciones (22) y (23) sean compatibles, el operador de identidad (o “unidad”) definido por la relación\[\hat{I} \Psi=\Psi,\] tiene que estar asociado con un tipo particular de medición, es decir, con la detección de la partícula.

(iii) El operador hamiltoniano y la ecuación de Schrödinger. Otro operador particular, el hamiltoniano\(\hat{H}\), cuya observable es la energía de la partícula\(E\), también juega en la mecánica de las olas un papel muy especial, porque participa en la ecuación de Schrödinger,\[i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H} \Psi,\] que determina la dinámica de la función de onda, es decir, su tiempo evolución.

iv) Los operadores de radio-vector y momentum. En la mecánica de ondas (en la “representación de coordenadas”), el operador vectorial del radio-vector de la partícula\(\mathbf{r}\) simplemente multiplica la función de onda por este vector, mientras que el operador del momento de la partícula es proporcional a la derivada espacial:\[\hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}, \quad \hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla,\]\[\hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}=\{x, y, z\}, \quad \hat{\mathbf{p}}=-i \hbar\left\{\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\}\] (v) La correspondencia principio. En el límite cuando los efectos cuánticos son insignificantes, por ejemplo, cuando la escala de acción característica\({ }^{28}\) (es decir, el producto de las escalas de energía y tiempo relevantes del problema) es mucho mayor que la constante de Planck\(\hbar\), todos los resultados de la mecánica de onda tienen que tender a los dados por la mecánica clásica. Matemáticamente, esta correspondencia se logra duplicando las relaciones clásicas entre diversos observables mediante relaciones similares entre los operadores correspondientes. Por ejemplo, para una partícula libre, el hamiltoniano (que en este caso particular corresponde\(T=p^{2} / 2 m\) solo a la energía cinética) tiene la forma\[\hat{H}=\hat{T}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}\] Ahora, incluso antes de una discusión más profunda de la física de los postulados (ofrecida en la siguiente sección), podemos ver de inmediato que efectivamente proporcionar una vía formal hacia la resolución de la aparente contradicción entre las propiedades onduladas y corpusculares de las partículas. En efecto, para una partícula libre, la ecuación de Schrödinger (25), con la sustitución de la ecuación (27), toma la formacuya solución particular, pero la más importante, es una onda viajera plana, de frecuencia única (“monocromática”),\({ }^{29}\)\[\Psi(\mathbf{r}, t)=a e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}\] donde\(a, \mathbf{k}\) y \(\omega\)son constantes. De hecho, al conectar la Ec. (29) a la ecuación (28), inmediatamente vemos que tal onda plana, con una amplitud compleja arbitraria\(a\), es de hecho una solución de esta ecuación de Schrödinger, siempre que una relación de dispersión específica entre el número de onda\(k \equiv|\mathbf{k}|\) y la frecuencia \(\omega\):\[\hbar \omega=\frac{(\hbar k)^{2}}{2 m} .\] La constante\(a\) puede calcularse, por ejemplo, asumiendo que la onda (29) se extiende sobre un cierto volumen\(V\), mientras que más allá de ella,\(\Psi=0\). Luego a partir de la condición de normalización\((22 \mathrm{c})\) y la ecuación (29), obtenemos\(^{30}\)\[|a|^{2} V=1 \text {. }\] Usemos las ecuaciones (23), (26) y (27) para calcular los valores de expectativa del impulso\(\mathbf{p}\) y la energía de la partícula\(E=H\) en el estado (29). El resultado es de\[\langle\mathbf{p}\rangle=\hbar \mathbf{k}, \quad\langle E\rangle=\langle H\rangle=\frac{(\hbar k)^{2}}{2 m}\] acuerdo con la Ec. (30), la última igualdad puede ser reescrita como\(\langle E\rangle=\hbar \omega\).

A continuación, la Ec. (23) permite calcular no sólo el promedio (en el habla matemática, el primer momento) de un observable sino también sus momentos superiores, notablemente el segundo momento -en física, generalmente llamada varianza:\[\left\langle\widetilde{A}^{2}\right\rangle \equiv\left\langle(A-\langle A\rangle)^{2}\right\rangle=\left\langle A^{2}\right\rangle-\langle A\rangle^{2},\] y de ahí su incertidumbre, alternativamente llamada la “fluctuación raíz-media-cuadrada (r.m.s.)”, \[\delta A \equiv\left\langle\widetilde{A}^{2}\right\rangle^{1 / 2} .\]La incertidumbre es una escala de desviaciones\(\widetilde{A} \equiv A-\langle A\rangle\) de los resultados de medición de su promedio. En el caso particular cuando la incertidumbre\(\delta A\) sea igual a cero, cada medición de lo observable\(A\) dará el mismo valor\(\langle A\rangle\); dicho estado se dice que tiene un valor definido de la variable. Por ejemplo, en aplicación al estado con función de onda (29), estas relaciones rinden\(\delta E=0, \delta \mathbf{p}=0\). Esto quiere decir que en este estado de onda plana, monocromático, la energía y el impulso de la partícula tienen valores definidos, de manera que los signos promedio estadísticos en Ecuaciones (32) podrían eliminarse. Así, estas relaciones se reducen a las ecuaciones inferidas experimentalmente (5) y (15).

De ahí que los postulados de la mecánica de las olas puedan describir las propiedades de onda observadas de las partículas no relativistas. (Para los fotones, necesitaríamos su generalización relativista - ver Capítulo 9 a continuación.) Por otro lado, debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger (25), cualquier suma de sus soluciones es también una solución, el llamado principio de superposición lineal. Para una partícula libre, esto significa que cualquier conjunto de ondas planas (29) también es una solución a esta ecuación. Dichos conjuntos, con valores cercanos de\(\mathbf{k}\) y por lo tanto\(\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\) (y, de acuerdo con la Ec. (30), de\(\omega\) también), pueden usarse para describir “pulsos” espacialmente localizados, llamados paquetes de onda - ver Fig. 6. En la Sec. 2.1, probaré (o más bien reproduciré la prueba de H. Weyl: -) que la extensión del paquete de ondas\(\delta x\) en cualquier dirección (digamos,\(x\)) está relacionada con el ancho\(\delta k_{x}\) de la distribución del componente correspondiente de su vector de onda como \(\delta x \delta k_{x} \geq 1 / 2\), y por lo tanto, de acuerdo con la ecuación (15), al ancho\(\delta p_{x}\) de la distribución del componente de impulso como

\ [\\ text {
Relación de
incertidumbre de Heisenberg}\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ delta x\ cdot\ delta p_ {x}\ geq\ frac {\ hbar} {2}.\]

Fig. 1.6. (a) Una instantánea de un paquete de onda típico que se propaga a lo largo del eje\(x\), y (b) la distribución correspondiente de los números de onda\(k_{x}\), es decir, el momento\(\ p_{x}\).

Este es el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, que cuantifica el punto del primer postulado de que la coordenada y el impulso no pueden definirse exactamente simultáneamente. Sin embargo, dado que la constante de Planck,\(\hbar \sim 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\), es extremadamente pequeña en la escala humana de las cosas, todavía permite la localización de partículas en un volumen muy pequeño incluso si el impulso extendido en un paquete de ondas también es pequeño en esa escala. Por ejemplo, según la ecuación (35), una\(0.1 \%\) dispersión de impulso de un\(1 \mathrm{keV}\) electrón\((p \sim\)\(1.7 \times 10^{-24} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}\)) permite que su paquete de ondas sea tan pequeño como\(\sim 3 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\). (Para una partícula más pesada como un protón, el paquete sería aún más apretado). Como resultado, los paquetes de ondas pueden usarse para describir las partículas que son bastante puntuales desde el punto de vista macroscópico.

En pocas palabras, esta es la idea principal de la mecánica de olas, y la primera parte de este curso (Capítulos 1-3) será esencialmente una discusión de diversos efectos descritos por este enfoque. Durante esta discusión, sin embargo, no solo seremos testigos de muchos triunfos de la mecánica de olas dentro de su dominio de aplicabilidad, sino que gradualmente acumularemos evidencia de sus handicaps, lo que obligará a una eventual transferencia a un formalismo más general -que se discutirá en el Capítulo 4 y más allá.

---

\({ }^{20}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. \(8.4\)

\({ }^{21}\)El movimiento orbital es el término histórico (y bastante engañoso) utilizado para cualquier movimiento de la partícula en su conjunto.

\({ }^{22}\)En realidad, en mecánica de olas, el giro de la partícula descrita no tiene que ser igual a cero. Más bien, se supone que los efectos del giro de las partículas sobre su movimiento orbital son insignificantes.

\({ }^{23}\)Como recordatorio, para muchos sistemas (incluyendo aquellos cuya energía cinética es una función cuadrático-homogénea de velocidades generalizadas, como\(\left.m v^{2} / 2\right), H\) coincide con la energía total\(E-\) ver, e.g., CM Sec. 2.3. En lo que sigue, asumiré eso\(H=E\).

\({ }^{24}\)La mecánica cuántica, como cualquier teoría, puede construirse sobre diferentes conjuntos de postulados/axiomas que conducen a las mismas conclusiones finales. En este texto, no voy a tratar de derribar el número de postulados al mínimo absoluto posible, no sólo porque eso requeriría una argumentación más larga, sino principalmente porque tales intentos suelen resultar en hacer ciertas suposiciones implícitas ocultas al lector, la práctica tan común como lamentable. \({ }^{25}\)Voy a implicar condiciones tan perfectas en la narrativa posterior, hasta la discusión de la interacción del sistema con su entorno en el Capítulo\(7 .\)

\({ }^{26}\)Este postulado de medición clave a veces se llama la regla Born, aunque a veces este término se usa para las ecuaciones (menos generales). (22).

\({ }^{27}\)Si lo necesita, consulte, por ejemplo, Secs. 8-10 del apéndice Fórmulas Matemáticas Seleccionadas - a continuación, referidas como MA. Tenga en cuenta que de acuerdo con esas fórmulas, el operador del sigue todas las reglas de los vectores habituales (geométricos). Esto es, por definición, cierto para otros operadores vectoriales cuántico-mecánicos que se discutirán a continuación.

\({ }^{28}\)Véase, por ejemplo, CM Sec. 10.3.

\({ }^{29}\)Véase, por ejemplo, CM Sec. \(6.4\)y/o EM Sec. 7.1.

\({ }^{30}\)Para el espacio infinito\((V \rightarrow \infty)\), la ecuación (31) rinde\(a \rightarrow 0\), es decir, la función ondulada (29) se desvanece. Este problema formal puede resolverse fácilmente considerando paquetes de onda suficientemente larga - ver Sec. \(2.2\)abajo.