1.9: Problemas de ejercicio

1.1. El postulado real hecho por N. Bohr en su artículo original de 1913 no era directamente la Ec. (8), sino la suposición de que a saltos cuánticos entre órbitas grandes (cuasiclásicas) adyacentes con\(n>>1\), el átomo de hidrógeno emite o absorbe energía\(\Delta E=\hbar \omega\), donde\(\omega\) está su frecuencia de radiación clásica según la electrodinámica clásica, igual a la velocidad angular de rotación del electrón. \({ }^{66}\)Demostrar que este postulado es efectivamente compatible con las ecuaciones (7) - (8).

1.2. Utilice la Ec. (53) para demostrar que los operadores lineales de la mecánica cuántica son conmutativos:\(\hat{A}_{2}+\hat{A}_{1}=\hat{A}_{1}+\hat{A}_{2}\), y asociativos:\(\left(\hat{A}_{1}+\hat{A}_{2}\right)+\hat{A}_{3}=\hat{A}_{1}+\left(\hat{A}_{2}+\hat{A}_{3}\right) .\) 1.3. Demostrar que para cualquier operador hamiltoniano independiente del tiempo\(\hat{H}\) y dos funciones complejas arbitrarias\(f(\mathbf{r})\) y\(g(\mathbf{r})\),\[\int f(\mathbf{r}) \hat{H} g(\mathbf{r}) d^{3} r=\int \hat{H} f(\mathbf{r}) g(\mathbf{r}) d^{3} r .\] 1.4. Demostrar que la ecuación de Schrödinger (25) con el operador hamiltoniano dado por la ecuación (41), es de forma galileana invariante, siempre que la función de onda se transforme como\[\Psi^{\prime}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)=\Psi(\mathbf{r}, t) \exp \left\{-i \frac{m \mathbf{v} \cdot \mathbf{r}}{\hbar}+i \frac{m v^{2} t}{2 \hbar}\right\},\] donde el signo primo marca las variables medidas en el marco de referencia 0' que se mueve, sin rotación, con una velocidad constante \(\mathbf{v}\)relativo al marco “lab” 0. Dar una interpretación física de esta transformación.

1.5. \({ }^{*}\)Demostrar el llamado teorema de Hellmann-Feynman: 67

\[\frac{\partial E_{n}}{\partial \lambda}=\left\langle\frac{\partial H}{\partial \lambda}\right\rangle_{n},\]donde\(\lambda\) hay algún parámetro\(c\) -number, del que dependen el hamiltoniano independiente del tiempo\(\hat{H}\), y por lo tanto sus energías\(E_{n}\) propias.

1.6. \({ }^{*}\)Utilice las ecuaciones (73) y (74) para analizar el efecto del bloqueo de fase de las oscilaciones de Josephson sobre la corriente continua que fluye a través de un enlace débil entre dos superconductores (frecuentemente llamado la unión Josephson), asumiendo que una fuente externa aplica a la unión un voltaje de CA sinusoidal con frecuencia\(\omega\) y amplitud\(A\).

1.7. Calcular\(\langle x\rangle,\left\langle p_{x}\right\rangle, \delta x\), y\(\delta p_{x}\) para el estado propio\(\left\{n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\}\) de una partícula en una caja rectangular de pared dura descrita por la Ec. (77), y comparar el producto\(\delta x \delta p_{x}\) con la relación de incertidumbre de Heisenberg.

1.8. Al observar la línea inferior (roja) en la Fig. 8, parece plausible que la función de estado fundamental 1D (84) del pozo potencial simple (77) pueda aproximarse bien con una parábola cuadrática invertida:\[X_{\text {trial }}(x)=C x\left(a_{x}-x\right),\] donde\(C\) es una constante de normalización. Explora lo buena que es esta aproximación.

1.9. Una partícula colocada en una caja rectangular de pared dura con lados\(a_{x}, a_{y}\), y\(a_{z}\), se encuentra en su estado fundamental. Calcular la fuerza promedio que actúa sobre cada cara de la caja. ¿Se pueden caracterizar las fuerzas por cierta presión?

1.10. Una partícula cuántica 1D se encontraba inicialmente en el estado fundamental de un pozo de potencial rectangular muy profundo de ancho\(a\):\[U(x)=\left\{\begin{aligned} 0, & \text { for }-a / 2<x<+a / 2 \\ +\infty, & \text { otherwise } \end{aligned}\right.\] En algún instante, el ancho del pozo se incrementa abruptamente a un nuevo valor\(a^{\prime}>a\), dejando el potencial simétrico con respecto al punto \(x=0\), y luego se dejó constante. Calcular la probabilidad de que después del cambio, la partícula se encuentre todavía en el estado fundamental del sistema.

1.11. At\(t=0\), una\(1 \mathrm{D}\) partícula de masa\(m\) se coloca en un pozo de potencial de fondo plano y pared dura\[U(x)=\left\{\begin{aligned} 0, & \text { for } 0<x<a \\ +\infty, & \text { otherwise } \end{aligned}\right.\] en una superposición lineal 50/50 del estado más bajo (suelo) y el primer estado excitado. Calcular:

(i) la función de onda normalizada\(\Psi(x, t)\) para el tiempo arbitrario\(t \geq 0\), y

(ii) la evolución temporal del valor de expectativa\(\langle x\rangle\) de la coordenada de la partícula.

1.12. Calcular los perfiles potenciales\(U(x)\) para que las siguientes funciones de onda,

(i)\(\Psi=c \exp \left\{-a x^{2}-i b t\right\}\), y

ii)\(\Psi=c \exp \{-a|x|-i b t\}\)

(con coeficientes reales\(a>0\) y\(b\)), satisfacer la ecuación de Schrödinger 1D para una partícula con masa\(m\). Para cada caso\(\langle x\rangle,\left\langle p_{x}\right\rangle, \delta x\), calcule y\(\delta p_{x}\) compare el producto\(\delta x \delta p_{x}\) con la relación de incertidumbre de Heisenberg.

1.13. Una partícula de masa 1D\(m\), que se mueve en el campo de un potencial estacionario\(U(x)\), tiene la siguiente función propia\[\psi(x)=\frac{C}{\cosh \kappa x},\] donde\(C\) está la constante de normalización, y\(\kappa\) es una constante real. Calcular la función\(U(x)\) y la energía propia del estado\(E\).

1.14. Calcular la densidad\(d N / d E\) de estados cuánticos de onda viajera en pozos de potencial rectangulares grandes de varias dimensiones:\(d=1,2\), y\(3 .\)

\(1.15 .{ }^{*}\)Utilice el método de diferencia finita con pasos\(a / 2\) y\(a / 3\) para encontrar tantas energías propias como sea posible para una partícula 1D en el pozo de potencial 1D de pared dura infinitamente profunda de ancho\(a\). Compara los resultados entre sí, y con la fórmula exacta. \({ }^{68}\)

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\({ }^{67}\)A pesar de este nombre común, H. Hellmann (en 1937) y R. Feynman (en 1939) no fueron los primeros en la larga lista de físicos que habían descubierto (aparentemente, independientemente) esta igualdad. De hecho, se remonta a un artículo de 1922 de W. Pauli, y fue cuidadosamente probado por P. Güttinger en\(1931 .\)

\({ }^{68}\)Es posible que desee comenzar leyendo sobre el método de diferencia finita - véase, por ejemplo, CM Sec. \(8.5\)o EM Sec. \(2.11\).