1.8: Reducción de dimensionalidad

Para concluir este capítulo introductorio, permítanme discutir las condiciones en las que se puede reducir la dimensionalidad espacial de un problema onda-mecánico. \({ }^{60}\)Ingenuamente, uno puede pensar que si la energía potencial de la partícula depende de una sola coordenada espacial\(U=U(x, t)\), digamos, entonces su función de onda tiene que ser unidimensional también:\(\psi=\psi(x, t)\). Nuestra discusión del caso particular\(U=\) const en la sección anterior muestra que esta suposición es errónea. En efecto, aunque este potencial\({ }^{61}\) es solo un caso especial del potencial\(U(x, t)\), la mayoría de sus funciones propias, dadas por las ecuaciones (87) o (88), sí dependen de las otras dos coordenadas. Es por ello que las soluciones\(\psi(x, t)\) de la ecuación de Schrödinger 1D\[i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \Psi+U(x, t) \Psi,\] que se desprende de la Ec. (65) asumiendo\(\partial \Psi / \partial y=\partial \Psi / \partial z=0\), son insuficientes para formar la solución general de la Ec. (65) para este caso.

Este hecho es fácil de entender físicamente para el caso más simple de un potencial 1D estacionario:\(U=\)\(U(x)\). La ausencia de la\(y\) - y\(z\) -dependencia de la energía potencial\(U\) puede interpretarse como un pozo potencial que es plano en dos direcciones,\(y\) y\(z\). Repitiendo los argumentos de la sección anterior para este caso, vemos que las funciones propias de una partícula en tal pozo tienen la forma\[\psi(\mathbf{r})=X(x) \exp \left\{i\left(k_{y} y+k_{z} z\right)\right\},\] donde\(X(x)\) es una función propia de la siguiente ecuación estacionaria de Schrödinger 1D:\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} X}{d x^{2}}+U_{\text {ef }}(x) X=E X,\] donde no\(U_{\mathrm{ef}}(x)\) es la plena energía potencial de la partícula, como se desprende de la Ec. (92), sino más bien su valor efectivo incluyendo la energía cinética del movimiento lateral:\[U_{\mathrm{ef}} \equiv U+\left(E_{y}+E_{z}\right)=U+\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right) .\] En inglés simple, la función de onda parcial de la partícula\(X(x)\) y su energía completa, dependen de su momento transversal, que tienen espectro continuo - ver la discusión de la Ec. (89). Esto quiere decir que la ecuación (92) es adecuada sólo si la condición\(k_{y}=k_{z}=0\) se hace cumplir de alguna manera, y en la mayoría de los problemas físicos, no lo es. Por ejemplo, si una onda\(\Psi(x, t)\) plana de Broglie (o cualquier otra) incide en un escalón potencial, se reflejaría exactamente hacia atrás, es decir\(k_{y}=k_{z}=0\), con, solo si la superficie de la pared es perfectamente plana y exactamente normal al eje\(x\). Cualquier imperfección (y son tantas de ellas en sistemas físicos reales\(-:\)) puede provocar excitación de ondas con valores distintos de cero de\(k_{y}\) y\(k_{z}\), debido al carácter continuo de las funciones\(E_{y}\left(k_{y}\right)\) y \(E_{z}\left(k_{z}\right){ }^{62}\)

Existe esencialmente una forma, quizás contraintuitiva, de hacer que las soluciones 1D sean “robustas” a pequeñas perturbaciones: es proporcionar un confinamiento lateral rígido 6 en otras dos direcciones. Como ejemplo más simple, considérese un cable cuántico estrecho (Fig. 9a), descrito por el siguiente potencial:\[U(\mathbf{r})= \begin{cases}U(x), & \text { for } 0<y<a_{y}, \text { and } 0<z<a_{z}, \\ +\infty, & \text { otherwize. }\end{cases}\]

Fig. 1.9. El confinamiento parcial en: (a) dos dimensiones, y (b) una dimensión.

Al realizar la separación variable estándar (79), vemos que la ecuación estacionaria correspondiente de Schrödinger se satisface si la función de onda parcial\(X(x)\) obedece las ecuaciones (94) - (95), pero ahora con un espectro de energía discreto en las direcciones transversales:\[U_{\text {ef }}=U+\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{n_{y}^{2}}{a_{y}^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{a_{z}^{2}}\right) .\] Si el confinamiento lateral es apretado,\(a_{y}, a_{z} \rightarrow 0\), entonces hay una gran brecha de energía,\[\Delta U \sim \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a_{y, z}^{2}},\] entre la energía del estado fundamental del movimiento lateral (con\(n_{y}=n_{z}=1\)) y que para todos sus estados excitados. Como resultado, si la partícula se coloca inicialmente en el estado fundamental lateral, y su energía\(E\) es mucho menor que\(\Delta U\), permanecería en tal estado, es decir, puede ser descrita por una ecuación de\(1 \mathrm{D}\) Schrödinger similar a la Ec. (92) -incluso en el tiempo- caso dependiente, si la frecuencia característica de las variaciones de energía es mucho menor que\(\Delta U / \hbar\). Absolutamente similar, el fuerte confinamiento lateral en una sola dimensión (digamos,\(z\), ver Fig. \(9 \mathrm{~b}\)) permite sistemas con una\(2 \mathrm{D}\) evolución robusta de la función de onda de la partícula.

El confinamiento lateral apretado puede asegurar la reducción de dimensionalidad incluso si el pozo potencial no es exactamente rectangular en la (s) dirección (s) lateral (s), como se describe en la Ec. (96), pero es descrito por algún\(x\) perfil\(t\) e independiente, si aún proporciona un perfil suficientemente gran brecha de energía\(\Delta U\). Por ejemplo, muchos fenómenos cuánticos 2D, como el efecto Hall cuántico,\({ }^{64}\) han sido estudiados experimentalmente utilizando electrones confinados en heterouniones semiconductoras (por ejemplo, interfaces epitaxiales\(\mathrm{GaAs} / \mathrm{Al}_{x} \mathrm{Ga}_{1-x} \mathrm{As}\)), donde el potencial bien en la dirección perpendicular a la interfaz tiene una forma casi triangular, y proporciona una brecha\(\Delta U\) de energía del orden de\(10^{-2} \mathrm{eV} .{ }^{65}\) Este hueco corresponde a\(k_{\mathrm{B}} T\) con\(T \sim 100 \mathrm{~K}\), por lo que la experimentación cuidadosa a temperaturas de helio líquido (4K y por debajo) puede mantener el electrones realizando movimiento puramente 2D en la “subbanda más baja”\(\left(n_{z}=1\right)\).

Finalmente, tenga en cuenta que en sistemas con dimensionalidad reducida, la Ec. (90) para el número de estados en general\(\mathbf{k}\) (es decir, para un movimiento esencialmente libre de partículas) debe ser reemplazada en consecuencia: en un\(2 \mathrm{D}\) sistema de área\(A \gg 1 / k^{2}\),\[d N=\frac{A}{(2 \pi)^{2}} d^{2} k,\] mientras que en un \(1 \mathrm{D}\)sistema de longitud\(l \gg 1 / k\),\[d N=\frac{l}{2 \pi} d k,\] con los cambios correspondientes de la regla de suma (91). Este cambio tiene implicaciones importantes para la densidad de estados en la escala de energía,\(d N / d E\): es sencillo (y por lo tanto se deja para el lector :-) usar las ecuaciones (90), (99) y (100) para mostrar que para las partículas 3D libres la densidad aumenta con\(E\) (proporcionalmente a \(E^{1 / 2}\)), para\(2 \mathrm{D}\) las partículas libres no depende en absoluto de la energía, mientras que para\(1 \mathrm{D}\) las partículas libres se escala como\(E^{-1 / 2}\), es decir, disminuye con la energía.

---

\({ }_{60}\)La mayoría de los libros de texto sobre mecánica cuántica saltan a la solución formal de los problemas 1D sin tal discusión, ignorando que tal restricción de dimensionalidad es adecuada solo bajo condiciones muy específicas.

\({ }^{61}\)Siguiendo la tradición, frecuentemente utilizaré esta taquigrafía para “energía potencial”, volviendo al término completo en los casos en que haya alguna posibilidad de confusión de esta noción con otro potencial (digamos, electrostático).

\({ }^{62}\)Este problema no es específico de la mecánica cuántica. El movimiento clásico de una partícula en un potencial 1D también puede ser inestable con respecto a las perturbaciones laterales, especialmente si el potencial es dependiente del tiempo, es decir, capaz de excitar modos laterales de baja energía.

\({ }^{63}\)El término “confinamiento cuántico”, a veces utilizado para describir este fenómeno, es tan desafortunado como el término “pozo cuántico” discutido anteriormente, por la misma razón: el confinamiento es un efecto puramente clásico, y como veremos repetidamente en este curso, los efectos cuántico-mecánicos reducir, en lugar de habilitarlo.

\({ }^{64}\)A discutir en la Sec. 3.2.

\({ }^{65}\)Véase, por ejemplo, P. Harrison, Quantum Wells, Wires y Dots,\(3^{\text {rd }}\) ed., Wiley,\(2010 .\)

\({ }^{66}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 8.2.