2.1: Relaciones Básicas

Como se discutió al final del Capítulo 1, en varios casos (en particular, en un fuerte confinamiento dentro del\([y, z]\) plano), la ecuación general (3D) de Schrödinger puede reducirse a su\(1 \mathrm{D}\) versión, similar a la Ec. (1.92):\[i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi(x, t)}{\partial x^{2}}+U(x, t) \Psi(x, t)\] Es importante, sin embargo, recordar que de acuerdo con la discusión en Sec,\(1.8, U(x, t)\) en esta ecuación se encuentra generalmente la energía potencial efectiva, que puede incluir la energía del movimiento lateral, mientras que\(\Psi(x, t)\) puede ser solo un factor en la función de onda completa\(\Psi(x, t) \chi(y, z)\). Si el factor transversal\(\chi(y, z)\) se normaliza a 1, entonces la integración de la ecuación (1.22a) sobre el espacio 3D dentro de un segmento\(\left[x_{1}, x_{2}\right]\) da la siguiente probabilidad de encontrar la partícula en este segmento:\[W(t) \equiv \int_{x_{1}}^{x_{2}} \Psi(x, t) \Psi^{*}(x, t) d x\] Si la partícula bajo análisis está definitivamente en algún lugar dentro el sistema, la normalización de su función de onda 1D\(\Psi(x, t)\) se proporciona extendiendo integral (2) a todo el eje\(x\):

Normalización\[\int_{-\infty}^{+\infty} w(x, t) d x=1, \text { where } w(x, t) \equiv \Psi(x, t) \Psi^{*}(x, t) .\] Una integración similar de la Ec. (1.23) muestra que el valor de expectativa de cualquier observable dependiendo únicamente de la coordenada\(x\) (y posiblemente el tiempo), puede expresarse como\[\langle A\rangle(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^{*}(x, t) \hat{A} \Psi(x, t) d x .\] También es útil introducir la noción de la corriente de probabilidad a lo largo del \(x\)-axis (un escalar):\[I(x, t) \equiv \int j_{x} d y d z=\frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\left(\Psi^{*} \frac{\partial}{\partial x} \Psi\right)=\frac{\hbar}{m}|\Psi(x, t)|^{2} \frac{\partial \varphi}{\partial x},\] donde\(j_{x}\) está el\(x\) -componente del vector de densidad de corriente\(\mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\). Entonces la ecuación de continuidad (1.48) para cualquier segmento\(\left[x_{1}, x_{2}\right]\) toma la forma\[\frac{d W}{d t}+I\left(x_{2}\right)-I\left(x_{1}\right)=0\] Las fórmulas anteriores son suficientes para el análisis de\(1 \mathrm{D}\) problemas de la mecánica de olas, pero antes de proceder a casos particulares, permítanme cumplir mi promesa anterior de probar que Heisenberg La relación de incertidumbre (1.35) es válida para cualquier función de onda\(\Psi(x, t)\). Para ello, consideremos la siguiente integral positiva (o al menos no negativa)\[J(\lambda) \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}\left|x \Psi+\lambda \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right|^{2} d x \geq 0,\] donde\(\lambda\) es una constante real arbitraria, y supongamos que a\(x \rightarrow \pm \infty\) la ondulación desaparece, junto con su primera derivada -como veremos más adelante, un caso muy común. Entonces el lado izquierdo de la Ec. (7) puede refundirse como\[\begin{aligned} J(\lambda) & \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}\left|x \Psi+\lambda \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right|^{2} d x=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x \Psi+\lambda \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\left(x \Psi+\lambda \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)^{*} d x \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \Psi \Psi^{*} d x+\lambda \int_{-\infty}^{+\infty} x\left(\Psi \frac{\partial \Psi *}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^{*}\right) d x+\lambda^{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x} d x . \end{aligned}\] Según la Ec. (4), el primer término en la última forma de la Ec. (8) es justo\(\left\langle x^{2}\right\rangle\), mientras que la segunda y la tercera integrales pueden elaborarse por partes:\[\begin{gathered} \int_{-\infty}^{+\infty} x\left(\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^{*}\right) d x \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi \Psi^{*}\right) d x=\int_{x=-\infty}^{x=+\infty} x d\left(\Psi \Psi^{*}\right)=\Psi \Psi^{*} x \mid \begin{array}{l} x=+\infty \\ x=-\infty \end{array}-\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi \Psi^{*} d x=-1, \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x} d x=\int_{x=-\infty}^{x=+\infty} \frac{\partial \Psi}{\partial x} d \Psi^{*}=\frac{\partial \Psi}{\partial x} \Psi^{*} \mid \begin{array}{l} x=+\infty \\ x=-\infty \end{array}-\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^{*} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}} d x=\frac{1}{\hbar^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^{*} \hat{p}_{x}^{2} \Psi d x=\frac{\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle}{\hbar^{2}} \end{gathered}\] Como resultado, la Ec. (7) toma la siguiente forma:\[J(\lambda)=\left\langle x^{2}\right\rangle-\lambda+\lambda^{2} \frac{\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle}{\hbar^{2}} \geq 0, \text { i.e. } \lambda^{2}+a \lambda+b \geq 0, \quad \text { with } a \equiv-\frac{\hbar^{2}}{\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle}, b \equiv \frac{\hbar^{2}\left\langle x^{2}\right\rangle}{\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle} .\] Esta la desigualdad debe ser válida para cualquier real\(\lambda\), de manera que la ecuación cuadrática correspondiente\(\lambda^{2}+a \lambda+b\)\(=0\),, pueda tener una raíz real (degenerada) -o ninguna raíz real en absoluto. Esto sólo es posible si su determinante, Det\(=a^{2}-4 b\), es no positivo, lo que lleva al siguiente requisito:\[\left\langle x^{2}\right\rangle\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle \geq \frac{\hbar^{2}}{4} .\] En particular, si\(\langle x\rangle=0\) y\(\left\langle p_{x}\right\rangle=0,{ }^{1}\) luego de acuerdo con la Ec. (1.33), la Ec. (12) toma la forma\[\ \text{Heisenberg’s uncertainty relation }\quad\quad\quad\quad\left\langle\widetilde{x}^{2}\right\rangle\left\langle\tilde{p}_{x}^{2}\right\rangle \geq \frac{\hbar^{2}}{4},\tag{2.13}\] que, según el definición (1.34) de las incertidumbres r.m.s., es equivalente a la Ec. (1.35).

Ahora notemos que la relación de incertidumbre de Heisenberg se ve muy similar a la relación de conmutación entre los operadores correspondientes:\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right] \Psi \equiv\left(\hat{x} \hat{p}_{x}-\hat{p}_{x} \hat{x}\right) \Psi=x\left(-i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)-\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)(x \Psi)=i \hbar \Psi .\] Dado que esta relación es válida para cualquier función de onda\(\Psi(x, t)\), puede representarse como una igualdad de operador:\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right]=i \hbar \neq 0 .\] En la Sec. \(4.5\)veremos que la relación entre las ecuaciones (13) y (14) es solo un caso particular de una relación general entre los valores de expectativa de los operadores no transitables, y sus conmutadores.

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\({ }^{1}\)La Ec. (13) puede probarse aunque\(\langle x\rangle\) y no\(\left\langle p_{x}\right\rangle\) sean iguales a cero, haciendo los siguientes reemplazos:\(x \rightarrow x-\)\(\langle x\rangle\) y\(\partial / \partial x \rightarrow \partial / \partial x+i\langle p\rangle / \hbar\) en la Ec. (7), y luego repitiendo todos los cálculos -que en este caso llegar a ser algo voluminoso. En el capítulo 4, equipado con el formalismo bra-ket, derivaremos una relación de incertidumbre más general, que incluye la relación de Heisenberg (13) como caso particular, de una manera más eficiente.