2.9: Sistemas Periódicos- Dinámica de Partículas

La estructura de bandas del espectro energético de una partícula que se mueve en un potencial periódico tiene profundas implicaciones no solo para su densidad de estados sino también para su dinámica. En efecto, consideremos el caso más simple de un paquete de ondas compuesto por las funciones Bloch (210), todas pertenecientes a la misma (digamos,\(n^{\text {th }}\)) banda de energía. De manera similar a la ecuación (27) para una partícula libre, podemos describir tal paquete como\[\Psi(x, t)=\int a_{q} u_{q}(x) e^{i[q x-\omega(q) t]} d q,\] donde las funciones\(a\) -periódicas\(u(x)\), definidas por la ecuación (208), ahora están indexadas para enfatizar su dependencia del cuasimomentum, y\(\omega(q) \equiv E_{n}(q) / \hbar\) es la función de \(q\)describiendo la forma de la banda de energía correspondiente - véase, por ejemplo, la Fig. 26b o la Fig. 28. Si el paquete es estrecho en el\(q\) -espacio, es decir, si el ancho\(\delta q\) de la distribución\(a_{q}\) es mucho menor que todas las\(q\) escalas características de la relación de dispersión\(\omega(q)\), en particular de \(\pi / a\), podemos simplificar la Ec. (234) exactamente como se hizo en la Sec. 2 para una partícula libre, a pesar de la presencia de los factores periódicos\(u_{q}(x)\) bajo la integral. En la aproximación lineal de la expansión de Taylor, obtenemos un análogo completo de la Ec. (32), pero ahora con más\(q\) bien que\(k\), y\[v_{\mathrm{gr}}=\frac{d \omega}{d q} \mid q=q_{0}, \quad \text { and } v_{\mathrm{ph}}=\frac{\omega}{q} \mid q=q_{0},\] dónde\(q_{0}\) está el punto central de la distribución de cuasimomentum. A pesar de la similitud formal con las ecuaciones (33) para la partícula libre, este resultado es mucho más agitado. Por ejemplo, como se desprende de la topología de la relación de dispersión (ver figuras 26b, 28), la velocidad del grupo desaparece no sólo en\(q=0\), sino en todos los valores de\(q\) que son múltiplos de\((\pi / a)\), en la parte inferior y en la parte superior de cada banda de energía. Aún más intrigante es que el signo de la velocidad del grupo cambia periódicamente con\(q\).

Esta alternancia de velocidad grupal conduce a fenómenos fascinantes y contrarios a la intuición si una partícula colocada en un potencial periódico es objeto de una fuerza externa adicional\(F(t)\). (Para los electrones en un cristal, esto puede ser, por ejemplo, la fuerza del campo eléctrico aplicado). Deje que la fuerza sea relativamente débil, de modo que el producto\(F a\) (es decir, la escala del incremento de energía a partir de la fuerza adicional por un período de celosía) sea mucho menor que ambas escalas de energía relevantes de la relación de dispersión\(E(q)-\) ver Fig. 26b:\[F a<<\Delta E_{n}, \Delta_{n} .\] Esta fuerte permite descuidar las transiciones interbanda inducidas por la fuerza, de manera que el paquete de onda (234) incluye las funciones propias de Bloch que pertenecen a una sola banda de energía (inicial) en todo momento. Para la evolución temporal de su centro\(q_{0}\), la teoría arroja\({ }^{68}\) una ecuación de movimiento extremadamente simple\[\dot{q}_{0}=\frac{1}{\hbar} F(t) .\] Esta ecuación es físicamente muy transparente: es esencialmente la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton para la evolución temporal del cuasimomentum \(\hbar q\)bajo el efecto de la fuerza adicional\(F(t)\) únicamente, excluyendo la fuerza periódica\(-\partial U(x) / \partial x\) del potencial de fondo\(U(x)\). Esto es muy natural, porque como lo implica la Ecuación (210),\(\hbar q\) es esencialmente el impulso de la partícula promediado a lo largo del período del potencial, y el efecto de fuerza periódica cae a tal promedio.

A pesar de la simplicidad de la Ec. (237), los resultados de su solución pueden ser altamente no triviales. Primero, usemos las ecuaciones (235) y (237) para encontrar la aceleración instantánea de grupo de la partícula (es decir, la aceleración de la envolvente de su paquete de ondas):\[a_{\mathrm{gr}} \equiv \frac{d v_{\mathrm{gr}}}{d t} \equiv \frac{d}{d t} \frac{d \omega\left(q_{0}\right)}{d q_{0}} \equiv \frac{d}{d q_{0}} \frac{d \omega\left(q_{0}\right)}{d q_{0}} \frac{d q_{0}}{d t}=\frac{d^{2} \omega\left(q_{0}\right)}{d q_{0}^{2}} \frac{d q_{0}}{d t}=\left.\frac{1}{\hbar} \frac{d^{2} \omega}{d q^{2}}\right|_{q=q_{0}} F(t) .\] Esto significa que la segunda derivada de la\(\omega(q)\) relación de dispersión (específica para cada banda de energía) juega el papel de la efectiva masa recíproca de la partícula a este valor particular de\(q_{0}\):\[m_{\mathrm{ef}}=\frac{\hbar}{d^{2} \omega / d q^{2}} \equiv \frac{\hbar^{2}}{d^{2} E_{n} / d q^{2}} .\] Para el caso particular de una partícula libre, para la cual la ecuación (216) es exacta, esta expresión se reduce a la masa original (y constante)\(m\), pero generalmente, la masa efectiva depende de la onda impulso del paquete. De acuerdo con la Ec. (239), en la parte inferior de cualquier banda de energía, siempre\(m_{\text {ef }}\) es positiva pero depende de la fuerza de la interacción de la partícula con el potencial periódico. En particular, de acuerdo con la Ec. (206), en el límite de unión estrecha, la masa efectiva es muy grande:\[\left|m_{\mathrm{ef}}\right|_{q=(\pi / a) n}=\frac{\hbar^{2}}{2 \delta_{n} a^{2}} \equiv m \frac{E^{(1)}}{\pi^{2} \delta_{n}} \gg m .\] Por el contrario, en el límite de potencial débil, la masa efectiva está cerca de\(m\) en la mayoría de los puntos de cada banda de energía, pero en los bordes de las bandas (estrechas), es mucho más pequeña . En efecto, expandiendo la Ec. (224) en la serie Taylor cerca del punto\(q=q_{m}\), obtenemos\[\left.E_{\pm}\right|_{E \approx E^{(n)}}-E_{\mathrm{ave}} \approx \pm\left|U_{n}\right| \pm \frac{1}{2\left|U_{n}\right|}\left(\frac{d E_{l}}{d q}\right)_{q=q_{m}}^{2} \widetilde{q}^{2}=\pm\left|U_{n}\right| \pm \frac{\gamma^{2}}{2\left|U_{n}\right|} \widetilde{q}^{2},\] dónde\(\gamma\) y\(\tilde{q}\) están definidos por la Ec. (225), de modo que\[\left|m_{\mathrm{ef}}\right|_{q=q_{m}}=\left|U_{n}\right| \frac{\hbar^{2}}{\gamma^{2}} \equiv m \frac{\left|U_{n}\right|}{2 E^{(n)}}<<m .\] Los efectos de masa efectivos en cristales atómicos reales pueden ser muy significativos. Por ejemplo, los portadores de carga en silicio tienen\(m_{\mathrm{ef}} \approx 0.19 m_{\mathrm{e}}\) en la banda de energía más baja, normalmente vacía (tradicionalmente llamada banda de conducción), y\(m_{\mathrm{ef}} \approx 0.98 m_{\mathrm{e}}\) en la banda de valencia inferior adyacente, normalmente llena. En algunos compuestos semiconductores, la masa de la banda de conducción puede ser aún más pequeña, ¡hasta\(0.0145 \mathrm{~m}_{\mathrm{e}}\) en InSb!

Sin embargo, la magnitud de la masa efectiva no es el efecto más sorprendente. Un corolario más fascinante de la ecuación (239) es que en la parte superior de cada banda de energía la masa efectiva es negativa; por favor, vuelva a visitar las Figs. 26b, 28 y 29 nuevamente. Esto significa que la partícula (o más estrictamente, la envoltura de su paquete de ondas) se acelera en la dirección opuesta a la fuerza aplicada. Esto es exactamente lo que los ingenieros electrónicos, que trabajan con electrones en semiconductores, llaman agujeros, caracterizándolos por una masa positiva\(\left|m_{\text {ef }}\right|\), pero compensando este cambio de signo tomando su carga\(e\) positiva. Si la partícula permanece cerca de la parte superior de la banda de energía (digamos, debido a los frecuentes efectos de dispersión, típicos de los semiconductores utilizados en la práctica de ingeniería), dicho giro de doble signo no conduce a un error en los cálculos de la dinámica del agujero, ya que la fuerza del campo eléctrico es proporcional a la carga de partícula, de modo que la aceleración de la partícula\(a_{\mathrm{gr}}\) es proporcional a la relación carga-masa. \({ }^{69}\)

Sin embargo, en algunos fenómenos tal representación simple es inaceptable. \({ }^{70}\)Por ejemplo, formemos un paquete de ondas estrechas en la parte inferior de la banda de energía más baja,\({ }^{71}\) y luego ejerzamos sobre él una fuerza\(F>0\) constante, digamos, debido a un campo eléctrico externo constante dirigido a lo largo del\(x\) eje. De acuerdo con la Ec. (237), esta fuerza conduciría a un crecimiento lineal de\(q_{0}\) en el tiempo, de manera que en el espacio cuasimomentum, el centro del paquete se deslizaría, con una velocidad constante, a lo largo del\(q\) eje - ver Fig. 33a. Cerca del fondo de la banda de energía, este movimiento correspondería a una masa efectiva positiva (posiblemente, algo diferente a la masa de la partícula genuina\(m\)), y por lo tanto estaría cerca de la aceleración de la partícula libre. Sin embargo, tan pronto como\(q_{0}\) ha llegado al punto de inflexión donde\(d^{2} E_{1} / d q^{2}=0\), la masa efectiva, y por lo tanto su aceleración (238) cambian los signos a negativos, es decir, el paquete comienza a disminuir la velocidad (en el espacio directo), mientras sigue avanzando con la misma velocidad en el espacio cuasimomentum. Finalmente, en la parte superior de la banda de energía, la partícula se detiene en cierto\(x_{\max }\), mientras continúa avanzando en el\(q\) espacio.

Fig. 2.33. Las oscilaciones Bloch (líneas rojas) y el túnel Landau-Zener (flechas azules) representaron en: (a) el espacio recíproco de\(q\), y (b) el espacio directo. En el panel (b), las tiras grises inclinadas muestran las bandas de energía permitidas, mientras que las líneas rojas audaces, los escalones de la escalera Wannier-Stark.

Ahora tenemos dos formas alternativas de ver la evolución temporal posterior del paquete de ondas a lo largo del eje del cuasimomentum. A partir de la imagen de zona extendida (que es la más simple para este análisis, ver Fig. 33a),\({ }^{72}\) podemos decir que la partícula cruza el límite de la zona\(1^{\text {st }}\) Brillouin y continúa avanzando en el\(q\) espacio, es decir, bajando la banda de energía más baja. De acuerdo con la Ec. (235), esta región (hasta el siguiente mínimo de energía a\(q a=2 \pi\)) corresponde a una velocidad de grupo negativa. Después de haber\(q_{0}\) alcanzado ese mínimo, todo el proceso se repite una y otra vez, y otra vez.

Estas son las famosas oscilaciones de Bloch -el efecto que se había predicho, por lo mismo\(F\). Bloch, ya en 1929 pero evadió la observación experimental hasta la década de 1980 (ver más abajo) debido a los fuertes efectos de dispersión en los cristales reales de estado sólido. El periodo de tiempo de las oscilaciones se puede encontrar fácilmente a partir de la ecuación (237): de\[\Delta t_{\mathrm{B}}=\frac{\Delta q}{d q / d t}=\frac{2 \pi / a}{F / \hbar}=\frac{2 \pi \hbar}{F a},\] modo que su frecuencia puede expresarse mediante una fórmula muy simple

\[\omega_{\mathrm{B}} \equiv \frac{2 \pi}{\Delta t_{\mathrm{B}}}=\frac{F a}{\hbar},\]y por lo tanto es independiente de cualquier peculiaridad de la estructura de banda/brecha energética.

El movimiento de espacio directo del centro del paquete de ondas\(x_{0}(t)\) durante el proceso de oscilación de Bloch puede analizarse integrando la primera de las ecuaciones (235) en algún intervalo de tiempo\(\Delta t\), y usando la ecuación (237):\[\Delta x_{0}(t) \equiv \int_{0}^{\Delta t} v_{\mathrm{gr}} d t=\int_{0}^{\Delta t} \frac{d \omega\left(q_{0}\right)}{d q_{0}} d t \equiv \int_{0}^{\Delta t} \frac{d \omega\left(q_{0}\right)}{d q_{0} / d t}=\frac{\hbar}{F} \int_{t=0}^{t=\Delta t} d \omega=\frac{\hbar}{F} \Delta \omega\left(q_{0}\right) .\] Si el intervalo\(\Delta t\) es igual al Bloch período de oscilación\(\Delta t_{\mathrm{B}}(243)\), los valores inicial y final de\(E\left(q_{0}\right)=\)\(\hbar \omega\left(q_{0}\right)\) son iguales, dando\(\Delta x_{0}=0\): al final del periodo, el paquete de onda vuelve a su posición inicial en el espacio. Sin embargo, si llevamos a cabo esta integración solo desde los valores más pequeños hasta los mayores de\(\omega\left(q_{0}\right)\), es decir, los puntos adyacentes donde se desvanece la velocidad del grupo, obtenemos la siguiente oscilación de oscilación de Bloch:\[\Delta x_{\max }=\frac{\hbar}{F}\left(\omega_{\max }-\omega_{\min }\right) \equiv \frac{\Delta E_{1}}{F} .\] Este resultado simple puede interpretarse usando un diagrama de energía alternativa (Fig. . 33b), que resulta de los siguientes argumentos. La fuerza adicional\(F\) puede describirse no solo a través de la versión de la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton (237), sino, alternativamente, por su contribución\(-F x\) a la energía potencial de Gibbs\({ }^{73}\)\[U_{\Sigma}(x)=U(x)-F x\] La solución exacta del Schrödinger ecuación (61) con tal potencial puede ser difícil de encontrar directamente, pero si la fuerza\(F\) es suficientemente débil, como estamos suponiendo a lo largo de esta discusión, el segundo término en la Ec. (247) puede considerarse como una constante en la escala de\(a<<\Delta x_{\max }\). En este caso, nuestro tratamiento cuántico mecánico del potencial periódico\(U(x)\) sigue siendo prácticamente correcto, pero con un cambio de energía dependiendo de la posición “global”\(x_{0}\) del centro del paquete. En esta aproximación, la energía total del paquete de ondas es\[E_{\Sigma}=E\left(q_{0}\right)-F x_{0} .\] En una gráfica de dicha energía en función de\(x_{0}\) (Fig. 33b), la dependencia energética de\(q_{0}\) está oculta, pero como se discutió anteriormente, es bastante sin incidentes y puede estar bien caracterizada por la posición de bordes de banda prohibida en el eje de energía. \({ }^{74}\)En esta representación, las oscilaciones de Bloch mantienen constante la energía total\(E_{\Sigma}\) de la partícula, es decir, siguen una línea horizontal en la Fig. 33b, limitada por los puntos de inflexión clásicos correspondientes a la parte inferior y la parte superior de la banda de energía permitida. La distancia\(\Delta x_{\max }\) entre estos puntos está evidentemente dada por la Ec. (246).

Además de esta mirada alternativa a la oscilación de la oscilación de Bloch, el diagrama de energía total mostrado en la Fig. 33b permite un resultado más notable. Deje que un paquete de ondas sea tan estrecho en el espacio de momento que\(\delta x \sim 1 / \delta q \gg \Delta x_{\max }\); entonces puede estar bien representado por energía definida, es decir, por una línea horizontal en la Fig. 33b. Pero la Ec. (247) es exactamente invariante con respecto a la siguiente traducción simultánea de la coordenada y la energía:\[x \rightarrow x+a, \quad E \rightarrow E-F a\] Esto significa que se satisface con un conjunto infinito de soluciones similares, cada una correspondiente a una de las líneas rojas horizontales mostradas en la Fig. 33b. Se trata de la famosa escalera Wannier-Stark\({ }^{75}\) con la altura\[\Delta E_{\mathrm{wS}}=F a \text {. }\] del escalón La importancia de esta representación alternativa de las oscilaciones Bloch se debe al siguiente hecho. En la mayoría de las realizaciones experimentales, la potencia de la radiación electromagnética con frecuencia (244), que puede extraerse de las oscilaciones de una partícula cargada, es muy baja, por lo que su detección directa representa un problema duro. \({ }^{76}\)Sin embargo, apliquemos a un oscilador Bloch un campo adicional de CA a frecuencia\(\omega \approx \omega_{\mathrm{B}}\). A medida que estas frecuencias se acercan entre sí, la señal externa debe sincronizar (“phase lock”) las oscilaciones de Bloch,\({ }^{77}\) dando como resultado ciertos cambios de observables independientes del tiempo, por ejemplo, un cambio resonante de absorción de la radiación externa. Ahora notemos que la combinación de las ecuaciones (244) y (250) arroja la siguiente relación simple:\[\Delta E_{\mathrm{wS}}=\hbar \omega_{\mathrm{B}} .\] Esto significa que el bloqueo de fase en\(\omega \approx \omega_{\mathrm{B}}\) permite una interpretación alternativa (pero equivalente)\(-\) como resultado de transiciones cuánticas inducidas por campo ac \({ }^{78}\)entre los escalones de la escalera Wannier-Stark. (Una vez más, tales ocasiones en las que se pueden utilizar dos lenguajes muy diferentes para interpretaciones alternativas del mismo efecto es una de las características más bellas de la física.)

Este efecto de bloqueo de fase se ha utilizado para las primeras confirmaciones experimentales de la teoría de la oscilación de Bloch. \({ }^{79}\)Para ello, las estructuras periódicas naturales, los cristales de estado sólido, son inconvenientes debido a su periodo muy pequeño\(a \sim 10^{-10} \mathrm{~m}\). De hecho, según la ecuación (244), tales estructuras requieren fuerzas muy altas\(F\) (y por lo tanto campos eléctricos muy altos\(\mathscr{E}=F / e\)) para llevar\(\omega_{\mathrm{B}}\) a un rango experimentalmente conveniente. Este problema se ha superado utilizando estructuras periódicas artificiales (superredes) de ciertos compuestos semiconductores, tales como\(\mathrm{Ga}_{1-x} \mathrm{Al}_{x} \mathrm{As}\) con diversos grados\(x\) de sustitución de átomos de galio-aluminio, cuyas capas pueden crecer una sobre otra epitaxialmente, es decir, con muy pocas violaciones a la estructura cristalina. Tales superredes, con periodos\(a \sim 10 \mathrm{~nm}\), han permitido una clara observación de la resonancia a\(\omega \approx \omega_{\mathrm{B}}\), y de ahí una medición de la frecuencia de oscilación Bloch, en particular su proporcionalidad al campo eléctrico dc aplicado, predicho por la Ec. (244).

Muy poco después de este descubrimiento, las oscilaciones de Bloch se observaron\({ }^{80}\) en pequeñas uniones Josephson, donde resultan de la dinámica cuántica de la diferencia de fase Josephson\(\varphi\) en un perfil de potencial\(2 \pi\) periódico, creado por la unión. Una traducción directa de la ecuación (244) a este caso (dejada para el ejercicio del lector) muestra que la frecuencia de tales oscilaciones Bloch\(\bar{I}\) es\[\omega_{\mathrm{B}}=\frac{\pi \bar{I}}{2 e}, \quad \text { i.e. } f_{\mathrm{B}} \equiv \frac{\omega_{\mathrm{B}}}{2 \pi}=\frac{\bar{I}}{2 e},\] donde pasa la corriente dc a través de la unión, el efecto que no debe confundirse con las oscilaciones “clásicas” de Josephson con frecuencia (1.75). Es curioso que la ecuación (252) pueda interpretarse legítimamente como resultado de una transferencia periódica, a través de la unión Josephson, de pares discretos de Cooper (de carga\(2 e\)), entre dos condensados coherentes de Bose-Einstein en los electrodos superconductores de la unión. \({ }^{81}\)

A continuación, nuestra discusión sobre las oscilaciones de Bloch se basó en la premisa de que el paquete de ondas de la partícula permanece dentro de una (digamos, la más baja) banda de energía. Sin embargo, solo una mirada a la Fig. 28 muestra que esta suposición se vuelve poco realista si la brecha de energía que separa esta banda de la siguiente se vuelve muy pequeña,\(\Delta_{1} \rightarrow 0\). En efecto, en la aproximación de potencial débil, que es adecuada en este límite\(\left|U_{1}\right|\)\(\rightarrow 0\), las dos ramas de la curva de dispersión (216) se cruzan sin interacción alguna, de manera que si nuestra partícula (es decir, es el paquete de ondas) es impulsada a acercarse a ese punto, debe continuar moviéndose arriba en energía ver la flecha azul discontinua en la Fig. 33a. De manera similar, en la representación del espacio real mostrada en la Fig. 33b, es intuitivamente claro que at\(\Delta_{1} \rightarrow 0\), la partícula que reside en uno de los escalones de la escalera Wannier-Stark debería ser capaz de superar de alguna manera la brecha espacial que se desvanece\(\Delta x_{0}=\Delta_{1} / F\) y “filtrarse” en la siguiente banda \(-\)ver la flecha azul punteada horizontal en ese panel.

Este proceso, llamado túnel Landau-Zener (o “interbanda”, o “banda a banda”),\({ }^{82}\) es realmente posible. Para analizarlo\(F=0\), tomemos primero y consideremos qué sucede si una partícula cuántica, descrita por un paquete de ondas\(x\) -largas (es decir,\(E\) -estrechas), incide desde el espacio libre sobre una estructura periódica de una longitud grande pero finita\(l=N a>>a\) - véase, por ejemplo, la Fig. 22. Si la energía del paquete\(E\) está dentro de una de las bandas de energía, evidentemente puede propagarse a través de la estructura (aunque puede reflejarse parcialmente desde sus extremos). El cuasimomentum correspondiente se puede encontrar resolviendo la relación de dispersión para\(q\); por ejemplo, en el límite de potencial débil, la Eq. (224) (que es válida cerca de la brecha) rinde\[q=q_{m}+\widetilde{q}, \text { with } \widetilde{q}=\pm \frac{1}{\gamma}\left[\widetilde{E}^{2}-\left|U_{n}\right|^{2}\right]^{1 / 2}, \quad \text { for }\left|U_{n}\right|^{2} \leq \widetilde{E}^{2},\] dónde\(\widetilde{E} \equiv E_{\pm}-E^{(n)}\) y\(\gamma=2 a E^{(n)} / \pi n-\) ver la segunda de las Ecuaciones (225).

Ahora bien, si la energía\(E\) está dentro de uno de los huecos de energía\(\Delta_{n}\), la propagación del paquete de ondas en una celosía periódica infinita es imposible, de manera que se refleja completamente desde ella. Sin embargo, nuestro análisis del problema potencial de paso en la Sec. 3 implica que la función de onda del paquete aún debe tener una cola exponencial que sobresalga en la estructura y que se descompone en cierta longitud\(\delta\) - ver Ec. (58) y Fig. 2.4. De hecho, una revisión directa de los cálculos que conducen a la Ec. (253) muestra que sigue siendo válida también para las energías dentro de la brecha, si el cuasimomentum se entiende como un número puramente imaginario:\[\widetilde{q} \rightarrow \pm i \kappa, \text { where } \kappa \equiv \frac{1}{\gamma}\left[\left|U_{n}\right|^{2}-\widetilde{E}^{2}\right]^{1 / 2}, \quad \text { for } \widetilde{E}^{2} \leq\left|U_{n}\right|^{2} .\] Con este reemplazo, la solución Bloch (193b) efectivamente describe una decadencia exponencial del función de onda en longitud\(\delta \sim 1 / \kappa\).

Volviendo a los efectos de la fuerza débil\(F\), en el enfoque del espacio real descrito por la ecuación (248) e ilustrado en la figura 33b, podemos refundir la ecuación (254) como\[\kappa \rightarrow \kappa(x)=\frac{1}{\gamma}\left[\left|U_{n}\right|^{2}-(F \widetilde{x})^{2}\right]^{1 / 2}\] dónde\(\widetilde{x}\) está la desviación de la partícula (es decir, su centro de paquete de onda) desde el punto de separación media. Así, el hueco crea una barrera potencial de un ancho finito\(\Delta x_{0}=2\left|U_{n}\right| / F\), a través de la cual el paquete de onda puede hacer un túnel con una probabilidad distinta de cero. Como ya sabemos, en la aproximación WKB (en nuestro caso exigir\(\left.\kappa \Delta x_{0}>>1\right)\) esta probabilidad es solo la transparencia de la barrera potencial\(\mathscr{T}\), que puede calcularse a partir de la ecuación (117):\[-\ln \mathscr{T}=2 \int_{\kappa(x)^{2}>0} \kappa(x) d x=\frac{2}{\gamma} \int_{-x_{c}}^{x_{c}}\left[\left|U_{n}\right|^{2}-(F \widetilde{x})^{2}\right]^{1 / 2} d \widetilde{x}=\frac{2\left|U_{n}\right|}{\gamma} 2 x_{c} \int_{0}^{1}\left(1-\xi^{2}\right)^{1 / 2} d \xi .\] dónde\(\pm x_{\mathrm{c}} \equiv \pm \Delta x_{0} / 2=\pm U_{n} \mid / F\) están los puntos de inflexión clásicos. Elaborando esta integral simple (o simplemente notando que es una cuarta parte del área del círculo unitario, y por lo tanto es igual a\(\pi / 4)\), obtenemos\[\ \text{Landau-Zener tunneling probability}\quad\quad\quad\quad\mathscr{T}=\exp \left\{-\frac{\pi\left|U_{n}\right|^{2}}{\gamma F}\right\}.\]

Este famoso resultado también se puede obtener de una manera más compleja, cuya ventaja es una prueba constructiva de que la ecuación (257) es válida para una relación arbitraria entre\(\gamma F\) y\(\left|U_{n}\right|^{2}\), es decir, arbitraria\(\mathscr{T}\), mientras que nuestra derivación simple se limitó a la WKB aproximación, válida solo en\(\mathscr{T}<<1 .{ }^{83}\) Usando la Ec. (225), podemos reescribir el producto que\(\gamma F\) participa en la Ec. (257), como

donde\(u\) tiene el significado de la “velocidad” del cruce del nivel de energía en ausencia de la brecha. De ahí que la ecuación (257) pueda reescribirse en la forma\[\mathscr{T}=\exp \left\{-\frac{2 \pi\left|U_{n}\right|^{2}}{\hbar u}\right\}\] que sea más transparente físicamente. De hecho, la fracción\(2\left|U_{n}\right| / u=\Delta_{n} u\) da la escala\(\Delta t\) de tiempo de la energía que cruza la región de brecha, y según la transformada de Fourier, su recíproco,\(\omega_{\max } \sim 1 / \Delta t\) da el corte superior de las frecuencias esencialmente involucradas en el proceso de oscilación de Bloch. De ahí la Ec. (259) significa que\[-\ln \mathscr{T} \approx \frac{\Delta_{n}}{\hbar \omega_{\max }} .\] Esta fórmula nos permite interpretar el túnel Landau-Zener como la excitación del sistema a través de la brecha de energía\(\Delta_{n}\) por el cuántico de mayor energía\(\hbar \omega_{\max }\) disponible del proceso de oscilación de Bloch. Esta interpretación sigue siendo válida incluso en el límite opuesto, de unión estrecha, en el que, según las ecuaciones (206) y (237), las oscilaciones de Bloch son puramente sinusoidales, de manera que la tunelización Landau-Zener se suprime completamente en\(\hbar \omega_{\mathrm{B}}<\Delta_{1}\).

La tunelización interbanda es un ingrediente importante de varios fenómenos físicos e incluso de algunos dispositivos electrónicos prácticos, por ejemplo, los diodos de tunelización (o “Esaki”). Este sencillo dispositivo es solo una unión de dos electrodos semiconductores, uno de ellos tan fuertemente\(n\) dopado por donantes de electrones que algunos electrones forman un gas Fermi degenerado en la parte inferior de la banda de conducción. \({ }^{84}\)De manera similar, el electrodo semiconductor homólogo está\(p\) dopado con tanta fuerza que el nivel de Fermi en la banda de valencia se desplaza por debajo del borde de banda\(-\) ver Fig. \(34 .\)

Fig. 2.34. El diodo de tunelización (“Esaki”): (a) el diagrama de borde de banda del dispositivo a polarización cero; (b) el mismo diagrama con una polarización positiva modesta\(e V \sim \Delta / 2\), y (c) la\(I-V\) curva del dispositivo (esquemáticamente). Las líneas discontinuas en los paneles (a) y (b) muestran las posiciones del nivel Fermi.

En equilibrio térmico, y en ausencia de polarización de voltaje externo, los niveles de Fermi de los dos electrodos se autoalinean, lo que lleva a la acumulación de la diferencia de potencial de contacto\ phile, con\(\phi\) un poco más grande que la banda prohibida de energía\(\Delta\) - ver Fig. 34a. Esta diferencia de potencial crea un campo eléctrico interno que inclina las bandas de energía (tal como lo hizo el campo externo en la Fig. 33b), y conduce a la formación de la llamada capa de agotamiento, en la que el nivel de Fermi se ubica dentro de la brecha de energía y por lo tanto no hay portadores de carga listos para moverse. En\(p-n\) las uniones habituales, esta capa es ancha y evita cualquier corriente a voltajes aplicados\(V\) inferiores a\(\sim \Delta / e\). Por el contrario, en un diodo de tunelización la capa de agotamiento es tan delgada (abajo\(\sim 10 \mathrm{~nm}\)) que la tunelización entre bandas es posible y proporciona una corriente óhmica sustancial a pequeños voltajes aplicados\(-\) ver Fig. \(34 \mathrm{c}\). Sin embargo, a mayores sesgos positivos, con\(\mathrm{eV} \sim \Delta / 2\), la banda de conducción se alinea con la mitad de la brecha de energía en el electrodo\(p\) dopado, y los electrones no pueden hacer túneles allí. De igual manera, no hay electrones en el semiconductor\(n\) dopado para entrar en túnel a los estados disponibles justo por encima del nivel Fermi en el electrodo\(p\) dopado -ver Fig. 34b. Como resultado, a tales voltajes la corriente cae significativamente, para crecer nuevamente solo cuando se\(e V\) excede\(\sim \Delta\), permitiendo el movimiento de electrones dentro de cada banda de energía. Así, la\(I-V\) curva de la unión del túnel tiene una parte con una resistencia diferencial negativa\((d V / d I<0)\) - ver Fig. 34c. Este fenómeno, equivalente en su efecto a la fricción cinemática negativa en mecánica, puede ser utilizado para la amplificación de señales analógicas débiles, para la autoexcitación de osciladores electrónicos\({ }^{85}\) (es decir, una generación de señal de CA) y para la restauración de oscilación de señal en electrónica digital.

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\({ }^{68}\)La prueba de la ecuación (237) no es difícil, sino que se vuelve más compacta en el formalismo bra-ket, para ser discutido en el Capítulo 4. Es por ello que recomiendo al lector su prueba como ejercicio después de leer ese capítulo. Para una generalización de esta teoría al caso de transiciones interbanda esenciales ver, por ejemplo, Sec. 55 en E. Lifshitz y L. Pitaevskii, Statistical Physics, Part 2, Pergamon, 1980.

\({ }^{69}\)Se puede encontrar más discusión sobre este tema en SM Sec. 6.4.

\({ }^{70}\)El balance de esta sección describe efectos que no se discuten en la mayoría de los libros de texto de mecánica cuántica. Aunque, en mi opinión, todo físico educado debería estar al tanto de ellos, algunos lectores pueden saltarlos en la primera lectura, saltando directamente a la siguiente Sec. 9.

\({ }^{71}\)La intuición física nos dice (y la teoría de los sistemas abiertos, que se discutirá en el Capítulo 7, confirma) que esto puede hacerse fácilmente, por ejemplo, acoplando débilmente el sistema a un ambiente de temperatura relativamente baja, y dejando que se relaje a la menor energía posible.

\({ }^{72}\)Este fenómeno también puede ser discutido desde el punto de vista de la imagen de zona reducida, pero luego requiere la introducción de saltos instantáneos entre los puntos límite de la zona Brillouin (ver la línea roja discontinua en la figura 33) que corresponden a estados físicamente equivalentes de la partícula. Evidentemente, para la descripción de este fenómeno particular, este lenguaje es más artificial.

\({ }^{73}\)Físicamente, esta es solo la parte relevante de la energía potencial del sistema total compuesto por nuestra partícula (en el potencial periódico) y la fuente de la fuerza\(F-\) ver, e.g., CM Sec. 1.4.

\({ }^{74}\)En la física e ingeniería de semiconductores, tales diagramas espaciales de borde de banda son componentes prácticamente inevitables de casi todas las discusiones/publicaciones. En esta serie, algunos ejemplos más de tales diagramas se pueden encontrar en SM Sec. 6.4.

\({ }^{75}\)Este efecto fue discutido por primera vez en detalle por Gregory Hugh Wannier en su monografía de 1959 sobre la física del estado sólido, mientras que el nombre de Johannes Stark se asocia tradicionalmente con prácticamente cualquier efecto de campo eléctrico en los sistemas atómicos, después de haber descubierto el primero de tales efectos en \(1913 .\)

\({ }^{76}\)En sistemas con muchas partículas independientes (como electrones en semiconductores), el problema de detección se ve exacerbado por la incoherencia de fase de las oscilaciones Bloch realizadas por cada partícula. Este inconveniente está ausente en los condensados atómicos de Bose-Einstein cuyas oscilaciones Bloch (en un potencial periódico creado por ondas ópticas estacionarias) fueron finalmente observadas por M. Ben Dahan et al., Phys. Rev. \(\mathbf{7 6}, 4508\)(1996).

\({ }_{77}\)Se puede encontrar un análisis simple del bloqueo de fase de un oscilador clásico, por ejemplo, en CM Sec. 5.4. (Véase también la breve discusión sobre el bloqueo de fase de las oscilaciones Josephson al final de la Sec. 1.6 de este curso.)

\({ }^{78}\)Una teoría cuantitativa de tales transiciones se discutirá en la Sec. \(6.6\)y luego en Capítulo\(7 .\)

\({ }^{79}\)E. Méndez et al., Phys. Lev. A lett. \(\mathbf{6 0}, 2426\)(1988).

\({ }^{80}\)D. Haviland et al., Z. Phys. B\(\mathbf{8 5}, 339\) (1991).

\({ }^{81}\)Véase, por ejemplo, D. Averin et al., Siv. Phys. -JETP 61, 407 (1985). Este efecto es cualitativamente similar a la transferencia de electrones individuales, con una frecuencia similar\(f=I / e\), en uniones de túnel entre metales normales (no superconductores) - véase, por ejemplo, EM Sec. \(2.9\)y referencias en el mismo.

\({ }^{82}\)Fue predicho independientemente por L. Landau, C. Zener, E. Stueckelberg y E. Majorana en\(1932 .\)

\({ }^{83}\)En el Capítulo 6 siguiente, la Ec. (257) se derivará utilizando un método diferente, basado en la llamada Regla de Oro de la mecánica cuántica, pero también en el límite de potencial débil, es decir, para la ley de dispersión hiperbólica (253).

\({ }^{84}\)Aquí tengo que confiar en los conocimientos de fondo del lector sobre la física básica de semiconductores; se discutirá con más detalle en SM Sec. 6.4.