3.1: Interferencia cuántica y el efecto AB

En los dos últimos capítulos, ya hemos discutido algunos efectos de la interferencia de la onda de Broglie. Por ejemplo, las ondas estacionarias dentro de un pozo potencial, o incluso en la parte superior de una barrera potencial, pueden considerarse como resultado de la interferencia de ondas incidentes y reflejadas. Sin embargo, hay algunos efectos nuevos notables que son posibles gracias a la separación espacial de tales ondas, y dicha separación requiere una dimensionalidad más alta (ya sea 2D o 3D). Un buen ejemplo de separación de ondas lo proporciona el experimento tipo Young (Fig. 1) en el que las partículas, emitidas por la misma fuente, se hacen pasar a través de dos orificios estrechos (o hendiduras) es una partición por lo demás opaca.

Fig. 3.1. El esquema del experimento de interferencia de “dos hendiduras” (tipo joven).

De acuerdo con la Ec. (1.22), si las interacciones de partículas son despreciables (lo que siempre es cierto si la tasa de emisión es suficientemente baja), la tasa promedio de conteo de partículas por el detector es proporcional a la densidad de probabilidad\(w(\mathbf{r}, t)=\Psi(\mathbf{r}, t) \Psi *(\mathbf{r}, t)\) para encontrar una sola partícula en la ubicación del detector \(\mathbf{r}\), donde\(\Psi(\mathbf{r}, t)\) está la solución de la ecuación de Schrödinger de partícula única (1.25) para el sistema. Calculemos la tasa para el caso en que las partículas incidentes puedan estar representadas por ondas de energía virtualmentemonocromáticas\(E\) (por ejemplo, paquetes de ondas muy largas), de manera que su función de onda pueda ser tomada en la forma dada por las ecuaciones (1.57) y (1.62):\(\Psi(\mathbf{r}, t)=\psi(\mathbf{r}) \exp \{-i E t / \hbar\}\). En este caso, en las partes de espacio libre del sistema, donde\(U(\mathbf{r})=0, \psi(\mathbf{r})\) satisface la ecuación estacionaria de Schrödinger (1.78a):\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2} \psi=E \psi\] Con la definición estándar\(k \equiv(2 m E)^{1 / 2} / \hbar\), se puede reescribir como la ecuación 3D de Helmholtz:\[\nabla^{2} \psi+k^{2} \psi=0 .\] Las partes opacas de la partición pueden ser bien descritas como regiones clásicamente prohibidas, por lo que si su escala de tamaño\(a\) es mucho mayor que la profundidad de penetración de onda\(\delta\) descrita por la ecuación (2.59), podemos usar en su superficie\(S\) las mismas condiciones de contorno que para las paredes del pozo de altura infinita:\[\left.\psi\right|_{S}=0 .\] Las ecuaciones (1) y (2) describen el problema límite estándar de la teoría de propagación de ondas escalares de cualquier naturaleza. Para una geometría arbitraria, este problema no tiene una solución analítica simple. Sin embargo, para una discusión conceptual sobre la interferencia de ondas, podemos usar ciertos supuestos naturales que nos permitirán encontrar su solución particular y aproximada.

Primero, discutamos la emisión de onda, al espacio libre, por una fuente isotrópica de pequeño tamaño ubicada en el origen de nuestro marco de referencia. Naturalmente, la onda emitida debe ser esféricamente simétrica:\(\psi(\mathbf{r})\)\(=\psi(r)\). Usando la expresión bien conocida para el operador Laplace en coordenadas esféricas,\({ }^{1}\) podemos reducir la ecuación (1) a la siguiente ecuación diferencial ordinaria:\[\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d \psi}{d r}\right)+k^{2} \psi=0\] Introduzcamos una nueva función,\(f(r) \equiv r \psi(r)\). Tapando la relación recíproca\(\psi=f / r\) en la Ec. (3), vemos que se reduce a la ecuación de onda 1D,\[\frac{d^{2} f}{d r^{2}}+k^{2} f=0 \text {. }\] Como se discutió en la Sec. 2.2, para un fijo\(k\), la solución general de la Ec. (4) puede representarse en forma de dos ondas viajeras: de\[f=f_{+} e^{i k r}+f_{-} e^{-i k r}\] manera que la función de onda completa es\[\psi(\mathbf{r})=\frac{f_{+}}{r} e^{i k r}+\frac{f_{-}}{r} e^{-i k r}, \text { i.e. } \Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{f_{+}}{r} e^{i(k r-\omega t)}+\frac{f_{-}}{r} e^{-i(k r+\omega t)}, \quad \text { with } \omega \equiv \frac{E}{\hbar}=\frac{\hbar k^{2}}{2 m} .\] Si la fuente se encuentra en un punto\(\mathbf{r}^{\prime} \neq 0\), la generalización obvia de la Ec. (6) es\[\Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{f_{+}}{R} e^{i(k R-\omega t)}+\frac{f_{-}}{R} e^{-i(k R+\omega t)}, \quad \text { with } R \equiv|\mathbf{R}|, \quad \mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime} .\] El primer término de esta solución describe una onda esféricamente simétrica que se propaga desde la fuente hacia afuera, mientras que el segundo, una onda que converge sobre el punto de origen\(\mathbf{r}\) 'desde grandes distancias. Aunque esta última solución es posible en algunas circunstancias muy especiales (digamos, cuando la onda saliente se refleja de nuevo desde una concha esférica), para nuestro problema actual, solo las ondas salientes son relevantes, de manera que podemos mantener solo el primer término (proporcional a\(f_{+}\)) en la Ec. (7). Obsérvese que el factor\(R\) es el denominador (que estaba ausente en la geometría 1D) tiene un sentido físico simple: proporciona la independencia de la corriente de probabilidad completa\(I=4 \pi R^{2} j(R)\), con\(j(R) \propto k \Psi \Psi^{*} \propto 1 / R^{2}\), de la distancia\(R\) entre el punto de observación y la fuente.

Ahora supongamos que la geometría de la partición no es demasiado complicada, por ejemplo, es plana como se muestra en la figura 1, o casi plana, y consideremos la región de la ubicación del detector de partículas muy por detrás de la partición (at\(z \gg 1 / k\)), y en un ángulo relativamente pequeño con respecto a ella: \(|x|<<z\). Entonces debería quedar físicamente claro que las ondas esféricas (7) emitidas por cada punto dentro de la hendidura no pueden ser perturbadas demasiado por las partes opacas de la partición, y su única función es la restricción del conjunto de tales puntos emisores a la zona de las hendiduras. De ahí que una solución aproximada del problema de límites viene dada por el siguiente principio Huygens: la onda detrás de la partición parece como si fuera la suma de contribuciones (7) de fuentes puntuales ubicadas en las hendiduras, con la fuerza de cada fuente\(f_{+}\) proporcional a la amplitud de la onda llegando a esta pseudo-fuente de la fuente real - ver Fig. 1. Este principio encuentra su confirmación en la estricta teoría de ondas, que demuestra que con nuestros supuestos, la solución del problema de límites (1) - (2) puede representarse como la siguiente integral de Kirchhoff:\(^{2}\)\[\psi(\mathbf{r})=c \int_{\text {slits }} \frac{\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{R} e^{i k R} d^{2} r^{\prime}, \quad \text { with } c=\frac{k}{2 \pi i} .\] Si la fuente también está lejos de la partición, su frente de onda está casi paralelo al plano de hendidura, y si las hendiduras no son demasiado anchas, podemos tomar\(\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\) constantes\(\left(\psi_{1,2}\right)\) en cada hendidura, de manera que la Eq. (8) se reduce a\[\psi(\mathbf{r})=a^{\prime \prime}{ }_{1} \exp \left\{i k l^{\prime \prime}{ }_{1}\right\}+a_{2}^{\prime \prime} \exp \left\{i k l_{2}^{\prime \prime}\right\}, \quad \text { with } a_{1,2}^{\prime \prime}=\frac{c A_{1,2}}{l_{1,2}^{\prime \prime}} \psi_{1,2},\] donde\(A_{1,2}\) están las zonas de hendidura, y\(l\) “,\(_{1,2}\) son las distancias desde las hendiduras hasta el detector. Las ondulaciones en las hendiduras pueden calcularse aproximadamente\(^{3}\) aplicando la misma Ec. (7) a la región anterior a las hendiduras:\(\psi_{1,2} \approx\left(f_{+} / l^{\prime}{ }_{1,2}\right) \exp \left\{i k l^{\prime}{ }_{1,2}\right\}\), donde\(l_{1,2}^{\prime}\) están las distancias desde la fuente hasta las hendiduras - ver Fig. 1. Como resultado, la Ec. (9) puede reescribirse como\[\psi(\mathbf{r})=a_{1} \exp \left\{i k l_{1}\right\}+a_{2} \exp \left\{i k l_{2}\right\}, \quad \text { with } l_{1,2} \equiv l_{1,2}^{\prime}+l_{1,2}^{\prime \prime} ; \quad a_{1,2} \equiv \frac{c f_{+} A_{1,2}}{l_{1,2}^{\prime} l_{1,2}^{\prime \prime}} .\] (Como muestra la Fig. 1, cada una de\(l_{1,2}\) es la longitud completa de la trayectoria clásica de la partícula desde la fuente, a través de la hendidura correspondiente, y más allá del punto de observación\(\mathbf{r}\).)

De acuerdo con la Ec. (10), la tasa resultante de conteo de partículas en el punto\(\mathbf{r}\) es proporcional a

donde\[\begin{gathered} w(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}) \psi^{*}(\mathbf{r})=\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+2\left|a_{1} a_{2}\right| \cos \varphi_{12}, \\ \varphi_{12} \equiv k\left(l_{2}-l_{1}\right) \end{gathered}\] está la diferencia de las acumulaciones totales de fase de onda a lo largo de cada una de las dos trayectorias alternativas. La última expresión puede generalizarse evidentemente como\[\varphi_{12}=\oint_{C} \mathbf{k} \cdot d \mathbf{r},\] con la integración a lo largo del contorno virtualmente cerrado\(C\) (ver la línea discontinua en la figura 1), es decir, desde el punto 1, en la dirección positiva (es decir, en sentido contrario a las agujas del reloj) hasta el punto 2. (De nuestra discusión sobre la aproximación 1D WKB en la Sec. \(2.4\), podemos esperar que tal generalización sea válida incluso si\(k\) cambia, lo suficientemente lento, a lo largo de los caminos.)

Nuestro resultado (11) - (12) muestra que la tasa de conteo de partículas oscila en función de la diferencia\(\left(l_{2}-l_{1}\right)\), que a su vez cambia con la posición del detector, dando el famoso patrón de interferencia, con la amplitud proporcional al producto\(\left|a_{1} a_{2}\right|\), y por lo tanto desapareciendo si cualquiera de las hendiduras está cerrada. Para la teoría de las olas, este es un resultado bien conocido,\({ }^{4}\) pero para la física de partículas, fue (y sigue siendo :-) bastante impactante. En efecto, nuestro análisis es válido para una tasa de emisión de partículas muy baja, por lo que no hay otra manera de interpretar el patrón que no sea el resultado de la interferencia de una partícula consigo misma, o más bien la interferencia de sus ondas de Broglie que pasan a través de cada una de las dos hendiduras. \({ }^{5}\)Hoy en día, dicha interferencia se observa de manera confiable no solo para electrones sino también para partículas mucho más pesadas: átomos y moléculas, incluidas las orgánicas muy complejas;\({ }^{6}\) además, los interferómetros atómicos se utilizan como instrumentos ultrasensibles para mediciones de gravedad, rotación e inclinación. \({ }^{7}\)

Discutamos ahora un efecto muy interesante del campo magnético sobre la interferencia cuántica. Para simplificar nuestra discusión, consideremos una versión ligeramente diferente del experimento de dos hendiduras, en la que cada uno de los dos caminos alternativos se estrecha a un canal estrecho mediante confinamiento parcial - ver Fig. 2. (En esta disposición, mover el detector de partículas sin cambiar la geometría de los canales, y por lo tanto los valores locales de\(k\) puede ser más problemático experimentalmente, así que pensemos en su posición\(\mathbf{r}\) como fija.) En este caso, debido al efecto de los muros que proporcionan el confinamiento del camino, no podemos utilizar las ecuaciones (10) para las amplitudes\(a_{1,2}\). No obstante, a partir de las discusiones en la Sec. \(1.6\)y Sec. 2.2, debe quedar claro que la primera de las expresiones (10) sigue siendo válida, aunque tal vez con un valor de\(k\) específico para cada canal.

Fig. 3.2. El efecto AB.

En esta geometría, podemos aplicar algún campo magnético local\(\mathscr{R}\), digamos normal al plano de movimiento de las partículas, cuyas líneas perforarían, pero no tocarían el contorno\(C\) dibujado a lo largo de los canales de propagación de partículas - ver la línea discontinua en la Fig. 2. En la electrodinámica clásica,\({ }^{8}\) el efecto del campo magnético externo sobre una partícula con carga eléctrica\(q\) es descrito por la fuerza de Lorentz\[\mathbf{F}_{\mathscr{B}}=q \mathbf{v} \times \mathscr{B},\] donde\(\mathscr{R}\) está el valor del campo en el punto de ubicación de su partícula, de manera que para el experimento mostrado en la Fig. \(2, \mathbf{F}_{\mathscr{B}}=0\), y el campo no afectaría en absoluto al movimiento de las partículas. En la mecánica cuántica, esto no es así, y el campo sí afecta la densidad de probabilidad\(w\), aunque\(\mathscr{B}=0\) en todos los puntos donde la función de onda no\(\psi(\mathbf{r})\) sea igual a cero.

Para describir este sorprendente efecto, primero desarrollemos un marco general para una cuenta de los efectos del campo electromagnético sobre una partícula cuántica, lo que también nos dará algunos resultados de subproductos importantes para las próximas discusiones. Para ello, necesitamos calcular el hamiltoniano de una partícula cargada en campos eléctricos y magnéticos. Para un campo electrostático, esto es fácil. En efecto, a partir de la electrodinámica clásica sabemos que dicho campo puede representarse como un gradiente de su potencial electrostático\(\phi\), de\[\mathscr{E}=-\nabla \phi(\mathbf{r}),\] manera que la fuerza ejercida por el campo sobre una partícula con carga eléctrica\(q\),\[\mathbf{F}_{\varepsilon}=q \mathscr{E},\] puede describirse agregando el campo- energía potencial inducida,\[U(\mathbf{r})=q \phi(\mathbf{r}),\] a otros (posibles) componentes de la energía potencial total de la partícula. Como ya se discutió en la Sec. 1.4, dicha energía potencial puede incluirse en el operador hamiltoniano de la partícula con solo agregarla al operador de energía cinética - ver Ec. (1.41).

Sin embargo, el efecto del campo magnético es peculiar: ya que su fuerza Lorentz (14) no puede hacer ningún trabajo sobre una partícula clásica:\[\ d \mathscr{W}_{\mathscr{B}} \equiv \mathbf{F}_{\mathscr{B}} \cdot d \mathbf{r}=\mathbf{F}_{\mathscr{B}} \cdot \mathbf{v} d t=q(\mathbf{v} \times \mathscr{B}) \cdot \mathbf{v} d t=0,\] el campo no puede ser representado por ninguna energía potencial, por lo que puede que no quede claro de inmediato cómo contabilizarlo en el hamiltoniano. La ayuda crucial proviene del enfoque analítico-mecánico de la electrodinámica clásica:\({ }^{9}\) en el límite no relativista, la función hamiltoniana de una partícula en un campo electromagnético se ve así solo en el campo eléctrico:\[H=\frac{m v^{2}}{2}+U=\frac{p^{2}}{2 m}+q \phi \text {; }\] sin embargo, el impulso \(\mathbf{p} \equiv m \mathbf{v}\)que participa en esta expresión es ahora la diferencia\[\mathbf{p}=\mathbf{P}-q \mathbf{A} \text {. }\] Aquí\(\mathbf{A}\) está el potencial vectorial, definido por las conocidas relaciones para los campos eléctrico y magnético: 10\[\mathscr{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathscr{B}=\nabla \times \mathbf{A},\] mientras que\(\mathbf{P}\) es el impulso canónico, cuyos componentes cartesianos puede calcularse (en clásicos) a partir de la función lagrangiana\(L\) utilizando la fórmula estándar de la mecánica analítica,\[P_{j} \equiv \frac{\partial L}{\partial v_{j}} .\] Para enfatizar la diferencia entre los dos momentos,\(\mathbf{p}=m \mathbf{v}\) se denomina frecuentemente el impulso cinemático (o "\(m \mathbf{v}\)- momentum”). La distinción entre\(\mathbf{p}\) y\(\mathbf{P}=\mathbf{p}+q \mathbf{A}\) se vuelve más clara si observamos que el potencial vectorial no es invariante de calibre: según la segunda de las ecuaciones (21), en la llamada transformación de calibre\[\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla \chi,\] con una función de calibre escalar arbitraria de un solo valor \(\chi=\chi(\mathbf{r}, t)\), el campo magnético no cambia. Además, según la primera de las ecuaciones (21), si hacemos el reemplazo simultáneo\[\phi \rightarrow \phi-\frac{\partial \chi}{\partial t},\] la transformación del calibre tampoco afecta al campo eléctrico. Con eso, la elección de la función de calibre no afecta la ecuación de movimiento de la partícula clásica, y de ahí la velocidad\(\mathbf{v}\) y el momento\(\mathbf{p}\). De ahí que el impulso cinemático sea invariante de calibre, mientras que no lo\(\mathbf{P}\) es, porque de acuerdo con las ecuaciones (20) y (23), la introducción de la\(\chi\) cambia por\(q \nabla \chi\).

Ahora la forma estándar de transferencia a la mecánica cuántica es tratar el impulso canónico más que cinemático como lo prescribe el postulado de correspondencia discutido en la Sec. 1.2. Esto significa que en la mecánica de las olas, el operador de esta variable sigue siendo dado por la ecuación (1.26):\({ }^{11}\)\[\hat{\mathbf{P}}=-i \hbar \nabla \text {. }\] De ahí que el operador hamiltoniano correspondiente a la función clásica (19) sea\[\hat{H}=\frac{1}{2 m}(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})^{2}+q \phi \equiv-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\nabla-\frac{i q}{\hbar} \mathbf{A}\right)^{2}+q \phi,\] tal que la ecuación estacionaria de Schrödinger (1.60) de una partícula que se mueve en un campo electromagnético (pero la
partícula cargada de otra manera libre) es Ahora\[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\nabla-\frac{i q}{\hbar} \mathbf{A}\right)^{2} \psi+q \phi \psi=E \psi,\] podemos repetir todos los cálculos de la Sec. \(1.4\)para el caso\(\mathbf{A} \neq 0\), y obtener la siguiente expresión generalizada para la densidad de corriente de probabilidad:

\[\mathbf{j}=\frac{\hbar}{2 i m}\left[\psi^{*}\left(\nabla-\frac{i q}{\hbar} \mathbf{A}\right) \psi-\text { c.c }\right] \equiv \frac{1}{2 m}\left[\psi^{*} \hat{\mathbf{p}} \psi-\text { c.c }\right] \equiv \frac{\hbar}{m}|\psi|^{2}\left(\nabla \varphi-\frac{q}{\hbar} \mathbf{A}\right)\]Vemos que la densidad de corriente es invariante de calibre (como se requiere para cualquier observable) solo si la fase de la función de onda\(\varphi\) cambia como\[\varphi \rightarrow \varphi+\frac{q}{\hbar} \chi\] Esto puede ser un punto de preocupación conceptual: ya que la interferencia cuántica se describe por la dependencia espacial de la fase \(\varphi\), ¿el patrón de interferencia observado puede depender de la elección de la función de calibre? (Eso no tendría ningún sentido, porque podemos cambiar el calibre en nuestra mente.) Afortunadamente, esto no es cierto, porque la diferencia de fase espacial entre dos caminos interferentes, que participan en la Ec. (12), se transforma en indicador como\[\varphi_{12} \rightarrow \varphi_{12}+\frac{q}{\hbar}\left(\chi_{2}-\chi_{1}\right)\] Pero\(\chi\) tiene que ser una función de coordenadas de valor único, de ahí en el límite cuando coinciden los puntos 1 y 2, \(\chi_{1}=\chi_{2}\), por lo que\(\Delta \varphi\) ese indicador invariante, y también lo es el patrón de interferencia.

Sin embargo, la diferencia\(\varphi\) puede verse afectada por el campo magnético, incluso si se localiza fuera de los canales en los que se propaga la partícula. De hecho, en este caso, el campo no puede afectar la velocidad de la partícula\(\mathbf{v}\) y la densidad de corriente de probabilidad\(\mathbf{j}\): de\[\left.\mathbf{j}(\mathbf{r})\right|_{\mathscr{B} \neq 0}=\left.\mathbf{j}(\mathbf{r})\right|_{\mathscr{B}=0},\] manera que la última forma de la ecuación (28) rinde\[\left.\nabla \varphi(\mathbf{r})\right|_{\mathscr{B} \neq 0}=\left.\nabla \varphi(\mathbf{r})\right|_{\mathscr{B}=0}+\frac{q}{\hbar} \mathbf{A} .\] Integrar esta ecuación a lo largo del contorno\(C\) (Fig. 2), para la fase diferencia entre los puntos 1 y 2 obtenemos\[\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B} \neq 0}=\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B}=0}+\frac{q}{\hbar} \oint_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r},\] donde se debe tomar la integral a lo largo del\(C\) mismo contorno que antes (en la Fig. 2, desde el punto 1, en sentido antihorario a lo largo de la línea discontinua hasta el punto 2). Pero a partir de la electrodinámica clásica sabemos\(^{12}\) que como los puntos 1 y 2 se tienden entre sí, es decir, el contorno\(C\) se cierra, la última integral es solo el flujo magnético\(\Phi \equiv \int \mathscr{B}_{n} d^{2} r\) a través de cualquier superficie lisa limitada por el contorno, de manera que la Ec. (33) puede ser reescrito como\[\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B} \neq 0}=\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B}=0}+\frac{q}{\hbar} \Phi .\] En términos del patrón de interferencia, esto significa un desplazamiento de franjas de interferencia, proporcional al flujo magnético (Fig. 3).

Fig. 3.3. Resultados típicos de un experimento de interferencia de dos trayectorias realizado por A. Tonomura et al., Phys. Rev. Lett. 56, 792 (1986), mostrando el efecto AB para electrones bien protegidos del campo magnético aplicado. En esta geometría experimental particular, el\(\mathrm{AB}\) efecto produce un desplazamiento relativo de los patrones de interferencia dentro y fuera del anillo oscuro. a)\(\Phi=\Phi_{0}^{\prime} / 2\), b)\(\Phi=\Phi_{0}^{\prime}\). c) 1986 APS.

Este fenómeno suele llamarse el efecto “Aharonov-Bohm” (o simplemente el\(A B\)) efecto. \({ }^{13}\)Para partículas con una sola carga elemental\(q=\pm e\), este resultado se representa frecuentemente como\[\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B} \neq 0}=\left.\varphi_{12}\right|_{\mathscr{B}=0} \pm 2 \pi \frac{\Phi}{\Phi_{0}{ }^{\prime}},\] donde la constante fundamental\(\Phi_{0}{ }^{\prime} \equiv 2 \pi \hbar / e \approx 4.14 \times 10^{-15} \mathrm{~Wb}\) tiene el significado del flujo magnético necesario para cambiar\(\varphi_{12}\) por \(2 \pi\), es decir, cambiar el patrón de interferencia (11) en un periodo, y se llama el flujo magnético normal cuántico - “normal” por las razones que pronto discutiremos.

El\(A B\) efecto puede ser “casi explicado” clásicamente, en términos de la inducción electromagnética de Faraday. De hecho, un cambio\(\Delta \Phi\) de flujo magnético en el tiempo induce un campo eléctrico similar a un vórtice a\(\Delta \mathscr{E}\) su alrededor. Ese campo no está restringido a la ubicación del campo magnético, es decir, puede llegar a las trayectorias de la partícula. La magnitud del campo (o más bien de su integral a lo largo del contorno\(C\)) puede calcularse fácilmente mediante la integración de la primera de las ecuaciones (21):\[\Delta V \equiv \oint_{C} \Delta \mathscr{E} \cdot d \mathbf{r}=-\frac{d \Phi}{d t}\] Espero que en esta expresión el lector reconozca fácilmente la forma integral (“licenciatura”) de la ley de inducción de Faraday. \({ }^{14}\)Para calcular el efecto de este campo eléctrico de las partículas, supongamos que la separación variable descrita por la Ec. (1.57) puede aplicarse a los puntos finales 1 y 2 de las trayectorias alternativas de las partículas como dos sistemas independientes,\({ }^{15}\) y que el magnético El cambio de flujo en cierta cantidad\(\Delta \Phi\) no cambia los factores espaciales\(\psi_{1,2}\), con las fases\(\varphi_{1,2}\) incluidas en los factores dependientes del tiempo\(a_{1,2}\). Entonces podemos repetir los argumentos que se utilizaron en la Sec. \(1.6\)en la discusión del efecto Josephson, y dado que el cambio (35) conduce al cambio de la diferencia de energía potencial\(\Delta U\)\(=q \Delta V\) entre los dos puntos, podemos reescribir la Eq. (1.72) como\[\frac{d \varphi_{12}}{d t}=-\frac{\Delta U}{\hbar}=-\frac{q}{\hbar} \Delta V=\frac{q}{\hbar} \frac{d \Phi}{d t} .\] Integrando esta relación a lo largo del tiempo del cambio de campo magnético, obtenemos\[\Delta \varphi_{12}=\frac{q}{\hbar} \Delta \Phi,\]

• superficialmente, el mismo resultado dado por la Ec. (34).

Sin embargo, esta interpretación del\(\mathrm{AB}\) efecto es limitada. En efecto, requiere que la partícula esté en el sistema (en el camino de la fuente al detector) durante el cambio de flujo, es decir, cuando el campo eléctrico inducido\(\mathscr{E}\) puede afectar su dinámica. Por el contrario, la Ec. (34) predice que el patrón de interferencia se desplazaría aunque el cambio de campo se haya hecho cuando no había partícula en el sistema, y de ahí que el campo no\(\mathscr{E}\) pudiera ser sentido por él. El experimento confirma esta última conclusión. De ahí que haya algo en el espacio donde se propaga una partícula (es decir, fuera de la región del campo magnético), que transfiere la información sobre incluso el campo magnético estático a la partícula. La interpretación estándar de este hecho sorprendente es la siguiente: el potencial vectorial no\(\mathbf{A}\) es solo una herramienta matemática conveniente, sino una realidad física (así como su contraparte escalar\(\phi\)), a pesar de la gran libertad de elección que tenemos para prescribir espacial específica y las dependencias temporales de estos potenciales sin afectar a ningún observable - ver Ecuaciones (23) - (24) .Para concluir esta sección, permítanme discutir brevemente la forma muy interesante que toma el\(\mathrm{AB}\) efecto en la superconductividad. Para ser aplicados a este caso, nuestros resultados requieren dos cambios. El primero es simple: ya que la superconductividad puede interpretarse como el condensado Bose-Einstein de pares Cooper con carga eléctrica\(q=-2 e, \Phi_{0}\) 'tiene que ser reemplazado por el llamado cuántico de flujo superconductor\(^{16}\)\[\Phi_{0} \equiv \frac{\pi \hbar}{e} \approx 2.07 \times 10^{-15} \mathrm{~Wb}=2.07 \times 10^{-7} \mathrm{Gs} \cdot \mathrm{cm}^{2} .\] Segundo, ya que los pares son partículas de Bose y todos están condensados en el mismo estado cuántico (tierra), descrito por la misma función de onda, la densidad total de corriente eléctrica, proporcional a la densidad de corriente de probabilidad\(j\), puede ser extremadamente grande - en materiales superconductores prácticos, hasta\(\sim 10^{12} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}\). En estas condiciones, no se puede descuidar la contribución de esa corriente al campo magnético y por ende a su flujo\(\Phi\), que (según la regla Lenz de la ley de inducción de Faraday) intenta compensar los cambios en el flujo externo. Para ver posibles resultados de esta contribución, consideremos un bucle superconductor cerrado (Fig. 4). Debido al efecto Meissner (que es solo otra versión de la autocompensación del flujo), la corriente y el campo magnético penetran en un superconductor solo por una pequeña distancia (llamada profundidad de penetración de Londres)\(\delta_{\mathrm{L}} \sim 10^{-7} \mathrm{~m} .{ }^{17}\) Si el bucle está hecho de un “cable” superconductor que es considerablemente más grueso que\(\delta_{\mathrm{L}}\), podemos dibujar un contorno profundo dentro del alambre, en el que la densidad de corriente es insignificante. De acuerdo con la última forma de la Ec. (28), en todas partes del contorno,\[\nabla \varphi-\frac{q}{\hbar} \mathbf{A}=0 .\] Integrando esta ecuación a lo largo del contorno como antes (en la Fig. 4, desde algún punto 1, todo el camino alrededor del anillo hasta el punto 2 virtualmente coincidente), necesitamos tener la diferencia de fase\(\varphi_{12}\) igual a \(2 \pi n\), porque la función de onda\(\psi \propto \exp \{i \varphi\}\) en los puntos inicial y final 1 y 2 debe ser “esencialmente” la misma, es decir, producir los mismos observables. Como resultado, obtenemos\[\Phi \equiv \oint_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r}=\frac{\hbar}{q} 2 \pi n \equiv n \Phi_{0} .\] Este es el famoso efecto de cuantificación de flujo,\({ }^{18}\) que justifica el término “cuántico de flujo magnético” para la constante\(\Phi_{0}\) dada por la Ec. (38).

Fig. 3.4. La cuantificación del flujo magnético en un bucle superconductor (esquemáticamente).

Desafortunadamente, en este curso no tengo espacio/tiempo para discutir los efectos muy interesantes de la “cuantificación parcial de flujo” que surgen cuando un bucle superconductor se cierra con una unión Josephson, formando el llamado Dispositivo de Interferencia QuANTUM Superconductor - “SQUID”. Dichos dispositivos se utilizan, en particular, para magnetometría supersensitiva y computación ultrarrápida y de baja potencia. \({ }^{19}\)

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\({ }^{1}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.9) con\(\partial / \partial \theta=\partial / \partial \varphi=0\).

\({ }^{2}\)Para la prueba y una discusión detallada de la Ec. (8), véase, e.g., EM Sec. \(8.5\).

\({ }^{3}\)Una posible (y razonable) preocupación por la aplicación de la Ecuación (7) al campo en las hendiduras es que ignora el efecto de las partes opacas de la partición. Sin embargo, como sabemos por el Capítulo 2, el papel principal de la región clásicamente prohibida es reflejar la onda incidente hacia su fuente (es decir, a la izquierda en la Fig. 1). En consecuencia, la contribución de esta reflexión al campo dentro de las rendijas es insignificante si\(A_{1,2}>>\lambda^{2}\), e incluso en el caso contrario, proporciona solo alguna reescalación de las amplitudes\(a_{1,2}\), lo cual no es importante para nuestra discusión conceptual.

\({ }^{4}\)Véase, por ejemplo, una discusión detallada en EM Sec. 8.4.

\({ }^{5}\)Aquí tengo que mencionar los fascinantes experimentos (realizados por primera vez en 1987 por C. Hong et al. con fotones, y recientemente, en 2015, por R. Lopes et al., con partículas no relativistas - átomos de helio) sobre la interferencia de ondas de Broglie de partículas independientes pero idénticas, en el mismo estado cuántico interno y prácticamente los mismos valores de\(E\) y\(k\). Estos experimentos plantean el importante tema de la indistinguibilidad de las partículas, que se discutirá en la Sec. 8.1.

\({ }^{6}\)Véase, por ejemplo, la reciente demostración de la interferencia cuántica de moléculas de oligo-porfirina, consistentes en 2,000 átomos, con una masa total por encima de\(25,000 m_{\mathrm{p}}-\) Y. Fein et al., Nature Physics 15, 1242 (2019).

\({ }^{7}\)Véase, por ejemplo, el artículo de revisión de A. Cronin, J. Schmiedmayer y D. Pritchard, Rev. Mod. Phys. 81, 1051 (2009).

\({ }^{8}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 5.1. Tenga en cuenta que la Ec. (14), así como todas las demás fórmulas de este curso, están en las unidades SI.

\({ }^{9}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 9.7, en particular la Ec. (9.196).

\({ }^{10}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 6.1, en particular las ecuaciones (6.7).

\({ }^{11}\)La validez de esta elección queda clara a partir del hecho de que si el impulso cinético fuera descrito por este operador diferencial, el operador hamiltoniano correspondiente a la función hamiltoniana clásica (19), y la ecuación de Schrödinger correspondiente no describirían el campo magnético efectos en absoluto.

\({ }^{12}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 5.3.

\({ }^{13}\)Prefiero este último, nombre menos agradable, porque el efecto en realidad había sido predicho por Werner Ehrenberg y Raymond Siday en 1949, antes de que fuera redescubierto (también teóricamente) por Y Aharonov y D. Bohm en 1959. Para ser justos con Aharonov y Bohm, fue su trabajo el que desencadenó una ola de interés por el fenómeno, resultando en su primera observación experimental por Robert G. Chambers en 1960 y varios otros grupos poco después de eso. Posteriormente, se mejoraron los experimentos utilizando núcleos ferromagnéticos y/o blindaje superconductor para proporcionar una mejor separación entre los electrones y el campo aplicado\(-\) como en el trabajo cuyo resultado se muestra en la Fig. \(3 .\)

\({ }^{14}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 6.1.

\({ }^{15}\)Esta suposición puede parecer un poco exagerada, pero la relación resultante (37) puede ser probada para un modelo bastante realista, aunque eso tomaría más tiempo/espacio del que puedo permitirme.

\({ }^{16}\)Un término más malo, aunque común: un cable metálico puede (súper) conducir, ¡pero un cuántico difícilmente puede!

\({ }^{17}\)Para más detalle, consulte EM Sec. 6.4.

\({ }^{18}\)Fue predicho en 1949 por Fritz London y descubierto experimentalmente (independientemente y virtualmente simultáneamente) en 1961 por dos grupos experimentales: B. Deaver y W. Fairbank, y R. Doll y M. Näbauer.

\({ }^{19}\)Una breve revisión de estos efectos y recomendaciones para su posterior lectura se pueden encontrar en EM Sec. 6.5.