5.1: Sistemas de dos niveles

La discusión del formalismo bra-ket en el capítulo anterior estuvo salpicada de numerosas ilustraciones de sus conceptos principales sobre el ejemplo de “espines-\(1 / 2\)" - sistemas con el espacio Hilbert no trivial (bidimensional) más pequeño, en el que los vectores bra y ket-vectores de un estado cuántico arbitrario \(\alpha\)puede representarse como una superposición lineal de solo dos vectores base, por ejemplo\[|\alpha\rangle=\alpha_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\alpha_{\downarrow}|\downarrow\rangle,\] donde los estados\(\uparrow\) y\(\downarrow\) se definieron como los autoestados de la matriz Pauli\(\sigma_{z}-\) ver la Ec. (4.105). Para las\(-\frac{2}{2}\) partículas de espín genuinas, como los electrones, colocadas en un campo magnético\(z\) orientado e independiente del tiempo, estos estados son los estados estacionarios estacionarios “spin-up” y “spin-down” estacionarios del pauli hamiltoniano (4.163), con los dos niveles de energía correspondientes (4. 167). Sin embargo, también se puede dar una descripción cuántica aproximada pero razonable de algunos otros sistemas importantes en dicho espacio de Hilbert.

Por ejemplo, como se discutió en la Sec. 2.6, dos estados orbitales localizados en el espacio débilmente acoplados de una partícula sin espín son suficientes para una descripción aproximada de sus oscilaciones cuánticas entre dos pozos potenciales. Un acoplamiento similar de dos ondas viajeras explica la división de la banda de energía en la aproximación de potencial débil de la teoría de bandas - Sec. 2.7. Como se mostrará en el próximo capítulo, en sistemas con hamiltonianos independientes del tiempo, tal situación aparece casi inevitablemente cada vez que dos niveles de energía están mucho más cerca uno del otro que de otros niveles. Además, como se mostrará en la Sec. 6.5, una descripción truncada similar es adecuada incluso en los casos en que dos niveles\(E_{n}\) y\(E_{n}\) 'de un sistema imperturbado no están cerca uno del otro, sino que los estados correspondientes se acoplan por un campo ac aplicado de una frecuencia \(\omega\)muy cerca de la diferencia\(\left(E_{n}-E_{n}^{\prime}\right) / \hbar .\) Tales sistemas de dos niveles (alternativamente llamados sistemas “spin-\(1 / 2\) -like”) son hoy en día el foco de atención adicional en vista de las perspectivas de su uso para el procesamiento cuántico de información y encriptación.

Primero, la forma más general del hamiltoniano de un sistema de dos niveles está representada, de manera arbitraria, por una\(2 \times 2\) matriz\[\mathrm{H}=\left(\begin{array}{ll} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{array}\right)\] Según la discusión en Secs. 4.3-4.5, dado que el operador hamiltoniano tiene que ser hermitiano, los elementos diagonales de la matriz\(\mathrm{H}\) tienen que ser reales, y sus elementos fuera de la diagonal son conjugados complejos

\({ }^{1}\)En el último contexto, para ser discutido en la Sec. \(8.5\), los sistemas de dos niveles suelen llamarse qubits. el uno del otro:\(H_{21}=H_{12}\). Como resultado, es posible que no solo representemos\(H\) como una combinación lineal (4.106) de la matriz de identidad y las matrices Pauli, sino que también la reduzcamos a una forma más específica:\[\mathrm{H}=b \mathrm{I}+\mathbf{c} \cdot \boldsymbol{\sigma}=\left(\begin{array}{cc} b+c_{z} & c_{x}-i c_{y} \\ c_{x}+i c_{y} & b-c_{z} \end{array}\right) \equiv\left(\begin{array}{cc} b+c_{z} & c_{-} \\ c_{+} & b-c_{z} \end{array}\right), \quad c_{\pm} \equiv c_{x} \pm i c_{y},\] donde\(\mathbf{c}\) están los componentes escalar\(b\) y cartesianos del vector coeficientes\(c\) de número real:\[b=\frac{H_{11}+H_{22}}{2}, \quad c_{x}=\frac{H_{12}+H_{21}}{2} \equiv \operatorname{Re} H_{21}, \quad c_{y}=\frac{H_{21}-H_{12}}{2 i} \equiv \operatorname{Im} H_{21}, \quad c_{z}=\frac{H_{11}-H_{22}}{2} .\] Si tal hamiltoniano no depende del tiempo, la ecuación característica correspondiente (4.103) para los niveles de energía del sistema\(E_{\pm}\),\[\left|\begin{array}{cc} b+c_{z}-E & c_{-} \\ c_{+} & b-c_{z}-E \end{array}\right|=0,\] es una ecuación cuadrática simple, con las siguientes soluciones:\[E_{\pm}=b \pm c \equiv b \pm\left(c_{+} c_{-}+c_{z}^{2}\right)^{1 / 2} \equiv b \pm\left(c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}\right)^{1 / 2} \equiv \frac{H_{11}+H_{22}}{2} \pm\left[\left(\frac{H_{11}-H_{22}}{2}\right)^{2}+\left|H_{21}\right|^{2}\right]^{1 / 2} .\] Los parámetro\(b \equiv\left(H_{11}+H_{22}\right) / 2\) evidentemente da la energía promedio\(E^{(0)}\) del sistema, que no contribuye a la división de niveles\[\Delta E \equiv E_{+}-E_{-}=2 c \equiv 2\left(c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}\right)^{1 / 2} \equiv\left[\left(H_{11}-H_{22}\right)^{2}+4\left|H_{21}\right|^{2}\right]^{1 / 2} .\] Entonces, la división es una función hiperbólica del coeficiente\(c_{z} \equiv\left(H_{11}-H_{22}\right) / 2\). Una gráfica de esta función es el famoso diagrama de nivel-anticrosamiento (Fig. 1), que ya ha sido discutido en la Sec. \(2.7\)en el contexto particular del límite de potencial débil de la teoría de bandas 1D.

Fig. 5.1. El diagrama de nivel-anticrosamiento para un sistema arbitrario de dos niveles.

La física del diagrama se vuelve especialmente clara si los dos estados de la base utilizados para deletrear la matriz (2), pueden interpretarse como los estados estacionarios de dos subsistemas potencialmente independientes, con las energías, respectivamente,\(H_{11}\) y\(H_{22}\). (Por ejemplo, en el caso de dos pozos de potencial débilmente acoplados discutidos en la Sec. 2.6, estas son las energías de estado fundamental de dos pozos distantes). Luego los elementos offdiagonal\(c_{-} \equiv H_{12}\) y\(c_{+} \equiv H_{21}=H_{12}{ }^{*}\) describen el acoplamiento del subsistema, y el diagrama de anticrosamiento de nivel muestra cómo dependen las energías propias del sistema acoplado (en acoplamiento fijo) de la diferencia de las energías del subsistema. Como ya se discutió en la Sec. 2.7, la característica más llamativa del diagrama es que cualquier acoplamiento distinto de cero\(\left|c_{\pm}\right| \equiv\left(c_{x}{ }^{2}+c_{y}{ }^{2}\right)^{1 / 2}\) cambia la topología de las energías del estado propio, creando un hueco del ancho\(\Delta E\).

Como se desprende de nuestras discusiones sobre sistemas particulares de dos niveles en Secs. \(2.6\)y 4.6, su dinámica también tiene una característica general: las oscilaciones cuánticas. Es decir, si ponemos cualquier sistema de dos niveles en cualquier estado inicial diferente de uno de sus propios estados\(\pm\), y luego lo dejamos evolucionar por sí solo, la probabilidad de que encuentre el sistema en cualquiera de los estados “parciales” exhibe oscilaciones con la frecuencia\[\Omega=\frac{\Delta E}{\hbar} \equiv \frac{E_{+}-E_{-}}{\hbar}=2 c,\] más baja en el exacto simetría del subsistema\(\left(c_{z}=0\right.\)\(\left.H_{11}=H_{22}\right)\), es decir, cuando es proporcional a la fuerza de acoplamiento:\(\Omega_{\min }=2\left|c_{\pm}\right| / \hbar \equiv 2\left|H_{12}\right| / \hbar=2\left|H_{21}\right| / \hbar\).

En el caso discutido en la Sec. 2.6, estas son las oscilaciones de una partícula entre los dos pozos potenciales acoplados (o más bien de las probabilidades de encontrarla en cualquiera de los dos pozos); véase, por ejemplo, las ecuaciones (2.181). Por otro lado, para una\(1 / 2\) partícula de espín en un campo magnético externo, estas oscilaciones toman la forma de precesión de espín en el plano normal al campo, con oscilaciones periódicas de sus componentes cartesianos (o más bien sus valores de expectativa) - ver, e.g., Eq. (4.173) - (4.174). Algunos otros ejemplos de las oscilaciones cuánticas en sistemas de dos niveles pueden ser bastante inesperados; por ejemplo, la molécula de amonio\(\mathrm{NH}_{3}\) (Fig. 2) tiene dos estados simétricos que difieren por la inversión del átomo de nitrógeno con respecto al plano de los tres átomos de hidrógeno, los cuales están débilmente acoplados debido a la tunelización cuántico-mecánica del átomo de nitrógeno a través del plano de los átomos de hidrógeno. \({ }^{2}\)Dado que para esta molécula en particular, en ausencia de campos externos, la división de niveles\(\Delta E\) corresponde a una frecuencia experimentalmente conveniente\(\Omega / 2 \pi \approx 24 \mathrm{GHz}\), jugó un papel histórico importante en el desarrollo inicial de la frecuencia atómica estándares y generadores cuánticos de microondas (máscares) a principios\(1950 \mathrm{~s},{ }^{3}\) que allanaron el camino hacia la tecnología láser.

Fig. 5.2. Una molécula de amoníaco y su inversión.

Ahora vamos a discutir ahora una representación geométrica muy conveniente de un estado arbitrario\(\alpha\) de (¡cualquiera!) sistema de dos niveles. Como muestra la Ec. (1), dicho estado se describe completamente por dos coeficientes complejos (\(c\)-números) - digamos,\(\alpha \uparrow\) y\(\alpha \downarrow\). Si los vectores de los estados de base\(\uparrow\) y\(\downarrow\) se normalizan, entonces estos coeficientes deben obedecer la siguiente restricción:\[W_{\Sigma}=\langle\alpha \mid \alpha\rangle=\left(\left\langle\uparrow\left|\alpha_{\uparrow}^{*}+\langle\downarrow| \alpha_{\downarrow}^{*}\right)\left(\alpha_{\uparrow}|\uparrow\rangle+\alpha_{\downarrow}|\downarrow\rangle\right)=\alpha_{\uparrow}^{*} \alpha_{\uparrow}+\alpha_{\downarrow}^{*} \alpha_{\downarrow}=\left|\alpha_{\uparrow}\right|^{2}+\left|\alpha_{\downarrow}\right|^{2}=1 .\right.\right.\] Este requisito se satisface automáticamente si tomamos los módulos de\(\alpha \uparrow\) e\(\alpha \downarrow\) iguales a el seno y el coseno del mismo ángulo (real). Así podremos escribir, por ejemplo, Por\[\alpha_{\uparrow}=\cos \frac{\theta}{2} e^{i \gamma}, \quad \alpha_{\downarrow}=\sin \frac{\theta}{2} e^{i(\gamma+\varphi)} .\] otra parte, de acuerdo con la Ec general (4.125), si nos ocupamos de un solo sistema,\({ }^{4}\) el factor de fase común\(\exp \{i \gamma\}\) cae fuera del cálculo de cualquier valor de expectativa, para que podamos tomar\(\gamma=0\), y la Eq. ( 10) se reduce a\[\alpha_{\uparrow}=\cos \frac{\theta}{2}, \quad \alpha_{\downarrow}=\sin \frac{\theta}{2} e^{i \varphi} .\] La razón por la que el argumento de estas funciones seno y coseno generalmente se toma en la forma\(\theta / 2\), queda claro a partir de la Fig. 3a: Eq. (11) mapea convenientemente cada estado\(\alpha\) de un sistema de dos niveles en un cierto punto de representación en un radio unitario Esfera Bloch,\({ }^{5}\) con el ángulo polar\(\theta\) y el ángulo azimutal\(\varphi\).

Fig. 5.3. La esfera Bloch: (a) la representación de un estado arbitrario (punto rojo sólido) y los autoestados de las matrices Pauli (puntos punteados), y (b, c) la evolución del sistema de dos niveles: (b) en un “campo” constante\(c\) dirigido a lo largo del\(z\) eje -y (c) en un campo de orientación arbitraria.

En particular, el estado base\(\uparrow\), descrito por la Ec. (1) con\(\alpha \uparrow=1\) y\(\alpha \downarrow=0\), corresponde al Polo Norte de la esfera\((\theta=0)\), mientras que el estado opuesto\(\downarrow\), con\(\alpha \uparrow=0\) y \(\alpha_{\downarrow}=1\), a su Polo Sur (\(\theta\)\(=\pi\)). De igual manera, los autoestados\(\rightarrow\) y\(\leftarrow\) de la matriz\(\sigma_{x}\), descritos por las ecuaciones (4.122), es decir, tener\(\alpha \uparrow=\)\(1 / \sqrt{2}\) y\(\alpha_{\downarrow}=\pm 1 / \sqrt{2}\), corresponden a los\((\theta=\pi / 2)\) puntos del ecuador con, respectivamente,\(\varphi=0\) y\(\varphi=\pi\). Dos puntos especiales más (denotados en la Fig. 3a como\(\odot\) y\(\otimes\)) también se encuentran en el ecuador de la esfera, en\(\theta=\)\(\pi / 2\) y\(\varphi=\pm \pi / 2\); es fácil verificar que corresponden a los autoestados de la matriz \(\sigma_{y}\)(en la misma\(z\) base).

Para entender por qué tal ubicación mutuamente perpendicular de estos tres pares de puntos especiales en la esfera Bloch no es ocasional, conectemos las ecuaciones (11) en las ecuaciones (4.131) - (4.133) para los valores de expectativa de los\(-\frac{1}{2}\) componentes spin-. En términos del operador vectorial Pauli\((4.117), \sigma \equiv \mathbf{S} /(\hbar / 2)\), el resultado está\[\left\langle\sigma_{x}\right\rangle=\sin \theta \cos \varphi, \quad\left\langle\sigma_{y}\right\rangle=\sin \theta \sin \varphi, \quad\left\langle\sigma_{z}\right\rangle=\cos \theta,\] mostrando que el vector de radio de cualquier punto de representación es solo el valor de expectativa de\(\sigma\).

Ahora usemos la ecuación (3) para ver cómo se mueve el punto de representación en diversos casos, ignorando el término\(b\) I -que, nuevamente, describe el desplazamiento de la energía total del sistema en relación con algún nivel de referencia, y no afecta su dinámica. En primer lugar, de acuerdo con la Ec. (4.158), en el caso\(\mathbf{c}=0\) (cuando el operador hamiltoniano gira a cero, y por lo tanto los vectores de estado no dependen del tiempo) el punto no se mueve en absoluto, y su posición está determinada por las condiciones iniciales, es decir, por la preparación del sistema. Si\(\mathbf{c} \neq 0\), podemos reutilizar algunos resultados de la Sec. 4.6, obtenidos para el pauli hamiltoniano (4.163a), que coincide con la Ec. (3) si\(^{6}\)\[\mathbf{c}=-\gamma \mathscr{B} \frac{\hbar}{2}\] En particular, si el campo\(\mathscr{R}\), y por lo tanto el vector\(\mathbf{c}\), se dirige a lo largo del \(z\)-eje y es independiente del tiempo, las ecuaciones (4.170) y (4.173) - (4.174) muestran que el punto de representación\(\langle\sigma\rangle\) en la esfera Bloch gira dentro de un plano normal a este eje (ver Fig. 3b) con la velocidad angular\[\frac{d \varphi}{d t} \equiv \Omega=-\gamma \mathscr{B}_{z} \equiv \frac{2 c_{z}}{\hbar} .\] Casi evidentemente, ya que la selección de la ejes de coordenadas es arbitrario, esta imagen debe seguir siendo válida para cualquier orientación del vector\(\mathbf{c}\), con el punto de representación girando, sobre la esfera Bloch, alrededor de ella dirección, con la velocidad angular\(|\Omega|=2 c / \hbar-\) ver Fig. \(3 \mathrm{c}\). Este hecho puede probarse utilizando cualquier imagen de la dinámica cuántica, discutida en la Sec. 4.6. En realidad, es posible que el lector ya lo haya hecho resolviendo Problemas\(4.25\) y\(4.26\), solo para ver que incluso para el particular, simple estado inicial del sistema (\(\uparrow\)), los resultados finales para los componentes cartesianos del vector \(\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle\)son algo voluminosos. Sin embargo, esta descripción puede simplificarse fácilmente, incluso para la dependencia arbitraria del tiempo del vector “campo”\(\mathbf{c}(t)\) en la Ec. (3), usando el lenguaje vectorial (geométrico).

En efecto, reescribamos la Ec. (3) (nuevamente, con\(b=0\)) en la forma de operador,\[\hat{H}=\mathbf{c}(t) \cdot \hat{\boldsymbol{\sigma}},\] válida de forma arbitraria. De acuerdo con la Ec. (4.199), la ecuación de movimiento de Heisenberg correspondiente para los componentes\(j^{\text {th }}\) cartesianos del vector-operador\(\hat{\boldsymbol{\sigma}}\) (que no depende del tiempo explícitamente, por lo que\(\partial \hat{\sigma} / \partial t=0\)) es

\[i \hbar \dot{\hat{\sigma}}_{j}=\left[\hat{\sigma}_{j}, \hat{H}\right] \equiv\left[\hat{\sigma}_{j}, \mathbf{c}(t) \cdot \hat{\boldsymbol{\sigma}}\right] \equiv\left[\hat{\sigma}_{j}, \sum_{j^{\prime}=1}^{3} c_{j^{\prime}}(t) \hat{\sigma}_{j^{\prime}}\right] \equiv \sum_{j^{\prime}=1}^{3} c_{j^{\prime}}(t)\left[\hat{\sigma}_{j}, \hat{\sigma}_{j^{\prime}}\right] .\]Ahora usando las relaciones de conmutación (4.155), que siguen siendo válidas en cualquier base y en cualquier imagen de evolución del tiempo,\({ }^{7}\) obtenemos\[i \hbar \dot{\hat{\sigma}}_{j}=2 i \sum_{j^{\prime}=1}^{3} c_{j^{\prime}}(t) \hat{\sigma}_{j^{\prime \prime}} \varepsilon_{j j j^{\prime \prime}},\] dónde\(j\) ', es el índice, o el mismo conjunto\(\{1,2,3\}\), complementario a\(j\) y \(j\)'\(\left(j^{\prime \prime} \neq j, j^{\prime}\right)\), y\(\varepsilon_{j j^{\prime} j^{\prime \prime}}\) es el símbolo de Levi-Civita. \({ }^{8}\)Pero es sencillo verificar que el producto vectorial habitual de dos\(3 \mathrm{D}\) vectores puede representarse en una forma similar de componente cartesiano:\[(\mathbf{a} \times \mathbf{b})_{j}=\left|\begin{array}{lll} \mathbf{n}_{1} & \mathbf{n}_{2} & \mathbf{n}_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} a_{j^{\prime}} b_{j^{\prime}} \varepsilon_{j j j^{\prime \prime}},\] Como resultado, la ecuación (17) puede reescribirse en forma de vector, o más bien varias formas equivalentes:\[i \hbar \dot{\hat{\sigma}}_{j}=2 i[\mathbf{c}(t) \times \hat{\boldsymbol{\sigma}}]_{j}, \quad \text { i.e. } i \hbar \dot{\hat{\boldsymbol{\sigma}}}=2 i \mathbf{c}(t) \times \hat{\boldsymbol{\sigma}}, \quad \text { or } \dot{\hat{\boldsymbol{\sigma}}}=\frac{2}{\hbar} \mathbf{c}(t) \times \hat{\boldsymbol{\sigma}}, \quad \text { or } \dot{\hat{\boldsymbol{\sigma}}}=\boldsymbol{\Omega}(t) \times \hat{\boldsymbol{\sigma}},\] donde el vector\(\Omega\) se define como\[\hbar \boldsymbol{\Omega}(t) \equiv 2 \mathbf{c}(t)\]

• una generalización evidente de la Ec. (14). \({ }^{9}\)Como hemos visto en la Sec. 4.6, cualquier relación lineal entre dos operadores de Heisenberg también es válida para los valores de expectativa de los observables correspondientes, de manera que la última forma de la Ec. (19) arroja:

\[\langle\dot{\boldsymbol{\sigma}}\rangle=\boldsymbol{\Omega}(t) \times\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle .\]Pero esta es la conocida fórmula cinemática\({ }^{10}\) para la rotación de un vector 3D clásico de longitud constante\(\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle\) alrededor de la dirección instantánea del vector\(\boldsymbol{\Omega}(t)\), con la velocidad angular instantánea\(\Omega(t)\). Entonces, la evolución temporal del punto de representación en la esfera Bloch es bastante simple, sobre todo en el caso de un tiempo independiente\(\mathbf{c}\), y por lo tanto\(\Omega\) - ver Fig. 3c. \({ }^{11}\)Tenga en cuenta que es suficiente apagar el campo para detener la precesión instantáneamente. (Dado que la ecuación (21) es la ecuación diferencial de primer orden, el punto de representación no tiene inercia efectiva. \({ }^{12}\)) Por lo tanto, cambiando la dirección y la magnitud del campo externo efectivo, es posible impulsar el punto de representación de un sistema de dos niveles desde cualquier posición inicial a cualquier posición final en la esfera Bloch, es decir, hacer que el sistema tome cualquiera de sus posibles estados cuánticos.

En el caso particular de un spin-\(1 / 2\) en un campo magnético\(\mathscr{B}(t)\), es más habitual usar ecuaciones (13) y\((20)\) reescribir la ecuación (21) como la siguiente ecuación para el valor de expectativa del vector spin\(\mathbf{S}=\) (\(\hbar / 2\)) \(\sigma\):\[\langle\dot{\mathbf{S}}\rangle \equiv \gamma\langle\mathbf{S}\rangle \times \mathscr{B}(t)\] Como sabemos por la discusión en el Capítulo 4, una descripción tan clásica de la evolución del giro no da una imagen completa de la realidad cuántica; en particular, no describe las posibles grandes incertidumbres de sus componentes - véase, por ejemplo, Eq. (4.135). La situación, sin embargo, es diferente para una colección de giros\(N \gg 1\) similares que no interactúan, inicialmente preparados para estar en el mismo estado, por ejemplo, polarizando todos los giros con un campo externo fuerte\(\mathscr{R}_{0}\), a temperaturas relativamente bajas\(T\), con \(k_{\mathrm{B}} T<\gamma \mathscr{B}_{0} \hbar\). (Un ejemplo prácticamente importante de tal colección es un conjunto de espines nucleares en muestras macroscópicas de materia condensada, donde la interacción del espín entre sí y el entorno suele ser muy pequeña). Para tal colección, la ecuación (22) sigue siendo válida, mientras que la incertidumbre relativa de la magnetización de la muestra resultante\(\mathbf{M}=n\langle\mathbf{m}\rangle=n \gamma\langle\mathbf{S}\rangle\) (donde\(n \equiv N / V\) está la densidad de espín) es proporcional a\(1 / N^{1 / 2}<<1\). Así, la evolución de la magnetización puede describirse, con buena precisión, por la ecuación esencialmente clásica (válida para cualquier giro, no necesariamente spin-\(1 / 2\)):\[\dot{\mathbf{M}}=\gamma \mathbf{M} \times \mathscr{R}(t) .\] Esta ecuación, o el conjunto equivalente de tres ecuaciones Bloch 13 para sus componentes cartesianos, con la mano derecha lado incrementado con términos pequeños que describen los efectos de la desfase y la relajación (a discutir en el Capítulo 7), se utiliza, en particular, para describir la resonancia magnética, teniendo lugar cuando la frecuencia (4.164) de la precesión del espín en un campo magnético do fuerte se acerca a la frecuencia de un aplicado (y generalmente débil) campo ac. \({ }^{14}\)

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\({ }^{1}\)Es por ello que permítanme dedicar un poco más de tiempo a revisar las principales propiedades de un sistema arbitrario de dos niveles.

\({ }^{2}\)Dado que los átomos de hidrógeno son mucho más ligeros, sería más justo hablar sobre el túnel de su triángulo alrededor del átomo de nitrógeno (casi inmóvil).

\({ }^{3}\)En particular, estas moléculas fueron utilizadas en la demostración del primer máser por el grupo de C. Townes' en\(1954 .\)

\({ }^{4}\)Si necesita un recordatorio de por qué esta condición es crucial, vuelva a visitar la discusión al final de la Sec. 1.6. Obsérvese también que los desplazamientos de fase mutuos entre diferentes qubits son importantes, en particular, para el procesamiento cuántico de información (ver Sec. \(8.5\)abajo), de manera que la mayoría de las discusiones de estas aplicaciones tienen que partir de la Ec. (10) en lugar de la Ec. (11).

\({ }^{5}\)Esta representación fue sugerida en 1946 por el mismo Felix Bloch quien ha sido pionero en la teoría de bandas de energía discutida en los Capítulos 2-3.

\({ }^{6}\)Esta correspondencia justifica el uso del término “campo” para el vector\(\mathbf{c}\).

\({ }^{7}\)En efecto, si unos tres operadores en la imagen de Schrödinger están relacionados como\(\left[\hat{A}_{\mathrm{s}}, \hat{B}_{\mathrm{S}}\right]=\hat{C}_{\mathrm{S}}\), entonces según la Ec. (4.190), en la imagen de Heisenberg:\[\left[\hat{A}_{\mathrm{H}}, \hat{B}_{\mathrm{H}}\right]=\left[\hat{u}^{\dagger} \hat{A}_{\mathrm{H}} \hat{u}, \hat{u}^{\dagger} \hat{B}_{\mathrm{H}} \hat{u}\right] \equiv \hat{u}^{\dagger} \hat{A}_{\mathrm{H}} \hat{u} \hat{u}^{\dagger} \hat{B}_{\mathrm{H}} \hat{u}-\hat{u}^{\dagger} \hat{B}_{\mathrm{H}} \hat{u} \hat{u}^{\dagger} \hat{A}_{\mathrm{H}} \hat{u} \equiv \hat{u}^{\dagger}\left[\hat{A}_{\mathrm{s}}, \hat{B}_{\mathrm{S}}\right] \hat{u} \equiv \hat{u}^{\dagger} \hat{C}_{\mathrm{S}} \hat{u}=\hat{C}_{\mathrm{H}} .\]\({ }^{8}\) Ver, e.g., MA Eq. (9.2). Obsérvese que en las ecuaciones (17) - (18) y expresiones similares a continuación, la condición\(j^{\prime \prime} \neq j, j^{\prime}\) puede ser (y frecuentemente es) reemplazada por la suma sobre no sólo\(j\) ', sino también\(j\) “, en sus lados derechos.

\({ }^{9}\)También es fácil verificar que en el caso particular\(\Omega=\Omega \mathbf{n}_{z}\), las ecuaciones (19) se reducen, en la\(z\) base, a ecuaciones (4.200) para la matriz vectorial spin-1/2\(\mathbf{S}=(\hbar / 2) \sigma\).

\({ }^{10}\)Véase, por ejemplo, CM Sec. 4.1, en particular la Ec. (4.8).

\({ }^{11}\)El volumen de las soluciones de Problemas\(4.25\) y\(4.26\) (que se ofrecieron igual de ejercicios útiles en formalismos dinámicos cuánticos) refleja la expresión incómoda del movimiento circular resultante del vector\(\langle\boldsymbol{\sigma}\rangle\) (ver Fig. 3c) a través de sus componentes cartesianos.

\({ }^{12}\)Esto también es cierto para el\(\mathbf{L}\) momento angular clásico en su precesión inducida por par - véase, por ejemplo,\(\mathrm{CM}\) Sec. \(4.5\).

\({ }^{13}\)Fueron introducidos por F. Bloch en el mismo artículo de 1946 que la representación de la esfera Bloch.

\({ }^{14}\)La teoría cuántica de este efecto se discutirá en el próximo capítulo.