5.2: El Teorema de Ehrenfest

En la Sec. 4.7, hemos derivado todas las relaciones básicas de la mecánica de olas a partir del formalismo de bra-ket, lo que también nos permitirá obtener algunos resultados adicionales importantes en esa área. Una de ellas es un par de relaciones muy interesantes, juntas llamadas el teorema de Ehrenfest. Para derivarlos, para el caso más simple de movimiento orbital 1D, calculemos el siguiente conmutador:\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right] \equiv \hat{x} \hat{p}_{x} \hat{p}_{x}-\hat{p}_{x} \hat{p}_{x} \hat{x} \text {. }\] Apliquemos la relación de conmutación (4.238) de la siguiente forma:\[\hat{x} \hat{p}_{x}=\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I},\] al primer término del lado derecho de la Ec. (24) dos veces, con el objetivo de mover el operador de coordenadas al posición más a la derecha:\[\hat{x} \hat{p}_{x} \hat{p}_{x}=\left(\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I}\right) \hat{p}_{x} \equiv \hat{p}_{x} \hat{x} \hat{p}_{x}+i \hbar \hat{p}_{x}=\hat{p}_{x}\left(\hat{p}_{x} \hat{x}+i \hbar \hat{I}\right)+i \hbar \hat{p}_{x} \equiv \hat{p}_{x} \hat{p}_{x} \hat{x}+2 i \hbar \hat{p}_{x} .\] El primer término de este resultado se cancela con el último término de la Ec. (24), de manera que el conmutador se vuelve bastante simple:\[\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right]=2 i \hbar \hat{p}_{x} .\] Usemos esta igualdad para calcular la ecuación de movimiento de Heisenberg Picture del operador\(\hat{x}\), aplicando la Heisenberg general ecuación (4.199) al movimiento\(1 \mathrm{D}\) orbital descrito por el hamiltoniano (4.237), pero posiblemente con una energía potencial más general, dependiente del tiempo\(U\):\[\frac{d \hat{x}}{d t}=\frac{1}{i \hbar}[\hat{x}, \hat{H}]=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{x}, \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2 m}+U(\hat{x}, t)\right] .\] El operador de energía potencial es una función del operador de coordenadas y por lo tanto, como sabemos, viaja con ello. Así, el lado derecho de la ecuación (28) es proporcional al conmutador (27), y obtenemos\[\frac{d \hat{x}}{d t}=\frac{\hat{p}_{x}}{m} .\] En esta igualdad de operador, reconocemos fácilmente el análogo completo de la relación clásica entre el momento de la partícula y es la velocidad.

Ahora veamos qué da un procedimiento similar para la derivada del impulso:\[\frac{d \hat{p}_{x}}{d t}=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{p}_{x}, \hat{H}\right]=\frac{1}{i \hbar}\left[\hat{p}_{x}, \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2 m}+U(\hat{x}, t)\right] .\] El operador de energía cinética viaja con el operador de impulso y, por lo tanto, cae desde el lado derecho de esta ecuación. Para calcular el conmutador restante del impulso y la energía potencial, usemos el hecho de que cualquier función suave (infinitamente diferenciable) puede ser representada por su expansión Taylor:\[U(\hat{x}, t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}} \hat{x}^{k},\] donde las derivadas de\(U\) pueden entenderse como\(c\) -números ( evaluado en\(x=0\), y el tiempo dado\(t\)), para que podamos escribir\[\left[\hat{p}_{x}, U(\hat{x}, t)\right]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}}\left[\hat{p}_{x}, \hat{x}^{k}\right]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}}(\hat{p}_{x} \underbrace{\hat{x} \hat{x} \ldots \hat{x}}_{k \text { times }}-\underbrace{\hat{x} \hat{x} \ldots \ldots \hat{x}}_{k \text { times }} \hat{p}_{x})\] Aplicando la Eq. (25)\(k\) veces al último término entre paréntesis, exactamente como lo hicimos en la Ec. (26), obtenemos\[\left[\hat{p}_{x}, U(\hat{x}, t)\right]=-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}} i k \hbar \hat{x}^{k-1} \equiv-i \hbar \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1) !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}} \hat{x}^{k-1} .\] Pero la última suma es solo la expansión Taylor de la derivado\(\partial U / \partial x\). En efecto,\[\frac{\partial U}{\partial \hat{x}}=\sum_{k^{\prime}=0}^{\infty} \frac{1}{k^{\prime} !} \frac{\partial^{k^{\prime}}}{\partial \hat{x}^{k^{\prime}}}\left(\frac{\partial U}{\partial \hat{x}}\right) \hat{x}^{k^{\prime}}=\sum_{k^{\prime}=0}^{\infty} \frac{1}{k^{\prime} !} \frac{\partial^{k^{\prime}+1} U}{\partial \hat{x}^{k^{\prime}+1}} \hat{x}^{k^{\prime}}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1) !} \frac{\partial^{k} U}{\partial \hat{x}^{k}} \hat{x}^{k-1}\] donde en el último paso se cambió el índice de suma de\(k\) 'a\(k-1\). Como resultado, podemos reescribir la Eq. (5.32b)\[\left[\hat{p}_{x}, U(\hat{x}, t)\right]=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \hat{x}} U(\hat{x}, t),\] para que la Ec. (30) rinda: ¡\[\frac{d \hat{p}_{x}}{d t}=-\frac{\partial}{\partial \hat{x}} U(\hat{x}, t)\]Esta ecuación también coincide con la ecuación clásica del movimiento! Además, promediando las ecuaciones (29) y (35) sobre el estado inicial (como lo prescribe la Ec. (4.191)), obtenemos resultados similares para los valores de expectativa:\({ }^{: 15}\)\[\frac{d\langle x\rangle}{d t}=\frac{\left\langle p_{x}\right\rangle}{m}, \quad \frac{d\left\langle p_{x}\right\rangle}{d t}=-\left\langle\frac{\partial U}{\partial x}\right\rangle .\] Sin embargo, es importante recordar que la equivalencia entre estas ecuaciones cuántico-mecánicas y ecuaciones similares de la mecánica clásica es superficial, y el grado de similitud entre las dos mecánicas depende mucho del problema. Como un extremo, consideremos el caso cuando el estado de una partícula, en cualquier momento entre\(t_{0}\) y\(t\), puede ser representado con precisión por un paquete\(p_{x}\) de onda relativamente estrecha. Entonces podemos interpretar las ecuaciones (36) como las ecuaciones del movimiento esencialmente clásico del centro del paquete de ondas, de acuerdo con el principio de correspondencia. Sin embargo, incluso en este caso, es importante recordar los efectos mecánicos puramente cuánticos del ancho de paquete de onda distinta de cero y su propagación en el tiempo, los cuales fueron discutidos en la Sec. 2.2.

Como extremo opuesto, volvamos a examinar el potencial “permeable” bien discutido en la Sec. \(2.5-\)ver Fig. 2.15. Dado que tanto el potencial\(U(x)\) como la función de onda inicial de ese sistema son simétricos en relación con el punto\(x=0\) en todo momento, los lados derecho de ambas ecuaciones (36) equivalen de manera idéntica a cero. Por supuesto, el resultado que predicen (que los valores promedio de la coordenada y el impulso permanecen iguales a cero en todo momento) es correcto, pero este hecho no nos dice mucho sobre la rica dinámica del sistema: la vida finita del estado metaestable, la formación de dos paquetes de ondas, su forma de onda y velocidad de propagación (ver Fig. \(2.17)\), y sobre los conocimientos que ofrece la solución completa para la teoría de la medición cuántica y la irreversibilidad del sistema. Otro ejemplo similar es la teoría de bandas de energía (Sec. 2.7), con su efecto puramente cuántico de las bandas de energía permitidas y las brechas de energía prohibidas, de las cuales las ecuaciones (36) no dan ninguna pista.

En resumen, el teorema de Ehrenfest es importante como ilustración del principio de correspondencia, pero su poder predictivo no debe exagerarse.

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\({ }^{15}\)El conjunto de ecuaciones (36) constituye el teorema de Ehrenfest, llamado así por su autor, P. Ehrenfest.