5.3: El Camino de Feynman Integral

Como ya se ha mencionado, incluso dentro del ámbito de la mecánica de olas, el lenguaje bra-ket puede simplificar algunos cálculos que serían muy voluminosos utilizando la notación utilizada en los Capítulos 1-3. Probablemente el mejor ejemplo es la famosa alternativa, la formulación integral de ruta de la mecánica cuántica. \({ }^{16}\)

Revisaré este importante concepto, cortando un rincón matemático en aras de la brevedad. \({ }^{17}\)(Este atajo se marcará claramente a continuación).

Multipliquemos en el interior ambas partes de la ecuación (4.157a), que es esencialmente la definición del operador de evolución temporal, por el bra-vector de estado\(x\),\[\langle x \mid \alpha(t)\rangle=\left\langle x\left|\hat{u}\left(t, t_{0}\right)\right| \alpha\left(t_{0}\right)\right\rangle,\] inserte el operador de identidad antes del vector ket-vector en el lado derecho, y luego use la condición de cierre en forma de Ec. (4. 252), con\(x\) 'reemplazado por\(x_{0}\):\[\langle x \mid \alpha(t)\rangle=\int d x_{0}\left\langle x\left|\hat{u}\left(t, t_{0}\right)\right| x_{0}\right\rangle\left\langle x_{0} \mid \alpha\left(t_{0}\right)\right\rangle .\] Según la Ec. (4.233), esta igualdad puede representarse como\[\Psi_{\alpha}(x, t)=\int d x_{0}\left\langle x\left|\hat{u}\left(t, t_{0}\right)\right| x_{0}\right\rangle \Psi_{\alpha}\left(x_{0}, t_{0}\right) .\] Comparando esta expresión con la Eq. (2.44), vemos que el paréntesis largo en esta relación no es otra cosa que el propagador 1D, que se discutió en la Sec. 2.2, es decir,\[G\left(x, t ; x_{0}, t_{0}\right)=\left\langle x\left|\hat{u}\left(t, t_{0}\right)\right| x_{0}\right\rangle .\] permítanme esperar que el lector vea que esta igualdad corresponde al sentido físico del propagador.

Ahora vamos a romper el segmento de tiempo\(\left[t_{0}, t\right]\) en\(N\) (por el momento, no necesariamente iguales) partes, insertando puntos\((N-1)\) intermedios (Fig. 4) con\[t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{k}<\ldots<t_{N-1}<t,\] y usar la definición (4.157) del operador de evolución del tiempo para escribir\[\hat{u}\left(t, t_{0}\right)=\hat{u}\left(t, t_{N-1}\right) \hat{u}\left(t_{N-1}, t_{N-2}\right) \ldots \hat{u}\left(t_{2}, t_{1}\right) \hat{u}\left(t_{1}, t_{0}\right) .\] After enchufando la Eq. (42) a la Ec. (40), insertemos el operador de identidad, nuevamente en la forma de cierre (4.252), pero escrito para en\(x_{k}\) lugar de\(x\) ', entre cada dos operadores de evolución parcial incluyendo el argumento time\(t_{k}\). El resultado es\[G\left(x, t ; x_{0,} t_{0}\right)=\int d x_{N-1} \int d x_{N-2} \ldots \int d x_{1}\left\langle x\left|\hat{u}\left(t, t_{N-1}\right)\right| x_{N-1}\right\rangle\left\langle x_{N-1}\left|\hat{u}\left(t_{N-1}, t_{N-2}\right)\right| x_{N-2}\right\rangle \ldots\left\langle x_{1}\left|\hat{u}\left(t_{1}, t_{0}\right)\right| x_{0}\right\rangle .\] El sentido físico de cada variable de integración\(x_{k}\) es el argumento de wavefunction en el momento\(t_{k}-\) ver Fig. 4.

Fig. 5.4. Partición de tiempo y notación de coordenadas en la etapa inicial de la derivación de la integral del camino de Feynman.

El avance clave de Feynman fue el darse cuenta de que si todos los intervalos se toman similares y suficientemente pequeños\(t_{k}-t_{k-1}=d \tau \rightarrow 0\), todos los paréntesis parciales que participan en la ecuación (43) pueden expresarse a través del propagador de la partícula libre, dado por la Ec. (2.49), incluso si la partícula no es libre, sino que se mueve en un perfil de potencial estacionario\(U(x)\). Para demostrarlo, usemos ya sea la Eq. (4.175) o la Eq. (4.181), que, por un pequeño intervalo de tiempo\(d \tau\), dan el mismo resultado:\[\hat{u}(\tau+d \tau, \tau)=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} \hat{H} d \tau\right\}=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hat{p}^{2}}{2 m} d \tau+U(\hat{x}) d \tau\right)\right\} .\] Generalmente, un exponente de una suma de dos operadores puede ser tratado como el de argumentos\(c\) -number, y en particular factorizado en un producto de dos exponentes, sólo si los operadores conmutan. (En este caso, podemos usar todo el álgebra estándar para los exponentes de argumentos\(c\) -number.) En nuestro caso, esto no es así, porque el operador\(\hat{p}^{2} / 2 m\) no conmuta con\(\hat{x}\), y por lo tanto con\(U(\hat{x})\). Sin embargo, se puede demostrar\({ }^{18}\) que para un intervalo de tiempo infinitesimal\(d \tau\), el conmutador distinto de cero\[\left[\frac{\hat{p}^{2}}{2 m} d \tau, U(\hat{x}) d \tau\right] \neq 0,\] proporcional a\((d \tau)^{2}\), puede ignorarse en la primera aproximación lineal en\(d \tau\). Como resultado, podemos factorizar el lado derecho en la ecuación (44) escribiendo\[\hat{u}(\tau+d \tau, \tau)_{d \tau \rightarrow 0} \rightarrow \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^{2}}{2 m} d \tau\right\} \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} U(\hat{x}) d \tau\right\} .\] (Esta aproximación es muy similar en espíritu a la aproximación trapecial regla en la integración 1D habitual,\({ }^{19}\) que también es asintóticamente implacable.) Desde la segunda función exponencial en el lado derecho de la Eq. (46) conmuta con el operador de coordenadas, podemos moverlo fuera de cada paréntesis parcial participando en la Eq. (43), con\(U(x)\) convertirse en una función\(c\) -number:\[\left\langle x_{\tau+d \tau}|\hat{u}(\tau+d \tau, \tau)| x_{\tau}\right\rangle=\left\langle x_{\tau+d \tau}\left|\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^{2}}{2 m} d \tau\right\}\right| x_{\tau}\right\rangle \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} U(x) d \tau\right\} .\] Pero el corchete restante es solo el propagador de una partícula libre, por lo que que para ello podemos usar la Eq. (2.49):\[\left\langle x_{\tau+d \tau}\left|\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^{2}}{2 m} d \tau\right\}\right| x_{\tau}\right\rangle=\left(\frac{m}{2 \pi i \hbar d \tau}\right)^{1 / 2} \exp \left\{i \frac{m(d x)^{2}}{2 \hbar d \tau}\right\} .\] Como resultado, el propagador completo (43) toma la forma\[G\left(x, t ; x_{0} t_{0}\right)=\lim _{d \tau \rightarrow 0} \int d x_{N-1} \int d x_{N-2} . . . d x_{1}\left(\frac{m}{2 \pi i \hbar d \tau}\right)^{N / 2} \exp \left\{\sum_{k=1}^{N}\left[i \frac{m(d x)^{2}}{2 \hbar d \tau}-i \frac{U(x)}{\hbar} d \tau\right]\right\} .\] At\(N \rightarrow \infty\) y por lo tanto\(d \tau \equiv\left(t-t_{0}\right) / N \rightarrow 0\), la suma bajo el exponente en esta expresión puede aproximarse con la integral correspondiente:\[\sum_{k=1}^{N} \frac{i}{\hbar}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}-U(x)\right]_{\tau=t_{k}} d \tau \rightarrow \frac{i}{\hbar} \int_{t_{0}}^{t}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}-U(x)\right] d \tau,\] y la expresión entre corchetes es solo la función lagrangiana de la partícula\(\mathscr{L}^{20}\) La integral de esta función a lo largo del tiempo es la acción clásica\(S\) calculada a lo largo de un “camino”\(x(\tau){ }^{21}\) particular. Como resultado, definir la integral de ruta (1D) como\[\int(\ldots) D[x(\tau)] \equiv \lim _{d \tau \rightarrow 0 \atop N \rightarrow \infty}\left(\frac{m}{2 \pi i \hbar d \tau}\right)^{N / 2} \int d x_{N-1} \int d x_{N-2} . . \int d x_{1}(\ldots)\] podemos llevar nuestro resultado a la siguiente forma (superficialmente simple):\[G\left(x, t ; x_{0}, t_{0}\right)=\int \exp \left\{\frac{i}{\hbar} s[x(\tau)]\right\} D[x(\tau)] .\] El nombre “path integral” para el constructo matemático (51a) puede explicarse fácilmente si mantenemos el número\(N\) de intervalos de tiempo grande pero finito, y también aproximamos cada una de las integrales encerradas con una suma superior \(M \gg 1\)puntos discretos a lo largo del eje de coordenadas - ver Fig. 5 a.

Fig. 5.5. Varios caminos clásicos 1D: (a) en la aproximación discreta y (b) en el límite continuo.

Entonces la integral de ruta (51a) es el producto de\((N-1)\) sumas correspondientes a diferentes valores de tiempo\(\tau\), cada uno de ellos con\(M\) términos, cada uno de los que representa la función bajo la integral en un punto espacial particular. Multiplicando esas\((N-1)\) sumas, obtenemos una suma de\((N-1) M\) términos, cada uno evaluando la función en un punto espacio-temporal específico\([x, \tau]\). Estos términos pueden ahora agruparse para representar todos los caminos clásicos continuos diferentes posibles\(x[\tau]\) desde el punto inicial\(\left[x_{0}, t_{0}\right]\) hasta el punto finito\([x, t]\). Es evidente que la última interpretación sigue siendo cierta incluso en el límite continuo\(N, M \rightarrow \infty-\) ver Fig. 5b.

¿Por qué tiene sentido esa representación del camino de la suma? Esto se debe a que en el límite clásico la partícula sigue apenas un cierto camino, correspondiente al mínimo de la acción\(S\). Como resultado, para todas las trayectorias cercanas, la diferencia\(\left(S-S_{\mathrm{cl}}\right)\) es proporcional al cuadrado de la desviación de la trayectoria clásica. De ahí que para un movimiento cuasiclásico\(\delta_{\mathrm{cl}} \gg \lambda\), con, hay un montón de trayectorias cercanas, con\(\left(S-S_{\mathrm{cl}}\right)<<\hbar\), que dan aportes sustanciales al camino integral. Por otro lado, trayectorias fuertemente no clásicas, con\(\left(S-S_{\mathrm{cl}}\right) \gg \hbar\), dan fases\(S\) que oscilan rápidamente de una trayectoria a la siguiente, y se promedian sus contribuciones a la integral del camino. \({ }^{22}\)Como resultado, para un movimiento cuasi-clásico, el exponente del propagador puede evaluarse solo en el camino clásico:\[G_{\mathrm{cl}} \propto \exp \left\{\frac{i}{\hbar} S_{\mathrm{cl}}\right\}=\exp \left\{\frac{i}{\hbar} \int_{t_{0}}^{t}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}-U(x)\right] d \tau\right\} .\] La suma de las energías cinética y potencial es la energía completa\(E\) de la partícula, que permanece constante para el movimiento en un estacionario potencial\(U(x)\), para que podamos reescribir la expresión bajo esta integral como\({ }^{23}\)\[\left[\frac{m}{2}\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}-U(x)\right] d \tau=\left[m\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}-E\right] d \tau=m \frac{d x}{d \tau} d x-E d \tau\] Con este reemplazo, la Ec. (52) rinde\[G_{\mathrm{cl}} \propto \exp \left\{\frac{i}{\hbar} \int_{x_{0}}^{x} m \frac{d x}{d \tau} d x\right\} \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} E\left(t-t_{0}\right)\right\}=\exp \left\{\frac{i}{\hbar} \int_{x_{0}}^{x} p(x) d x\right\} \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} E\left(t-t_{0}\right)\right\},\] donde\(p\) está el impulso clásico de la partícula. Pero (al menos, dejando solo el factor preexponencial) este es el resultado de aproximación de WKB que se derivó y estudió en detalle en el Capítulo 2!

Se puede cuestionar el valor de un cálculo tan complicado, que arroja los resultados que podrían obtenerse fácilmente de la mecánica de olas de Schrödinger. De hecho, el enfoque de Feynman no se usa con demasiada frecuencia, pero tiene sus méritos. En primer lugar, tiene un importante valor filosófico (y por lo tanto heurístico). En efecto, la Ec. (51) puede interpretarse diciendo que la esencia de la mecánica cuántica es la exploración, por el sistema, de todos los caminos posibles\(x(\tau)\), cada uno de ellos de tipo clásico, en el sentido de que la coordenada\(x\) y la velocidad de la partícula\(d x / d \tau\) son exactamente definido simultáneamente en cada punto. Las contribuciones resultantes a la integral de ruta se suman coherentemente para formar el propagador real\(G\), y a través de él, la probabilidad final\(W\)\(\propto|G|^{2}\) de propagación de la partícula de\(\left[x_{0}, t_{0}\right]\) a\([x, t]\). A medida que la escala de la acción\(S\) del movimiento disminuye y se vuelve comparable a\(\hbar\), cada vez más caminos producen contribuciones sustanciales a esta suma, y por lo tanto a\(W\), proporcionar una diferencia cada vez mayor entre lo cuántico y lo clásico propiedades del sistema.

Segundo, el camino integral proporciona una justificación para algunas explicaciones simples de los fenómenos cuánticos. Un ejemplo típico son los efectos de interferencia cuántica discutidos en la Sec. \(3.1-\)véase, por ejemplo, la Fig. \(3.1\)y el texto correspondiente. En esa discusión, utilizamos el principio Huygens para argumentar que en la interferencia de dos hendiduras, la aproximación WKB podría restringirse a contribuciones de dos caminos que pasan por diferentes ranuras, pero que por lo demás consisten en segmentos de línea recta. Para tener otra mirada a esa suposición, generalicemos el camino integral a geometrías multidimensionales. Afortunadamente, la estructura simple de la Ec. (51b) hace que tal generalización sea prácticamente evidente:\[G\left(\mathbf{r}, t ; \mathbf{r}_{0}, t_{0}\right)=\int \exp \left\{\frac{i}{\hbar} S[\mathbf{r}(\tau)]\right\} D[\mathbf{r}(\tau)], \quad S \equiv \int_{t_{0}}^{t} \mathscr{L}\left(\mathbf{r}, \frac{d \mathbf{r}}{d \tau}\right) d \tau=\int_{t_{0}}^{t}\left[\frac{m}{2}\left(\frac{d \mathbf{r}}{d \tau}\right)^{2}-U(\mathbf{r})\right] d \tau .\] donde la definición (51a) de la integral de camino también debe modificarse correspondientemente. (No voy a entrar en estos detalles técnicos.) Para el experimento de tipo joven (Fig. 3.1), donde una partícula clásica podría llegar al detector solo después de pasar por una de las hendiduras, las trayectorias clásicas son los segmentos de línea recta mostrados en la Fig. 3.1, y si son mucho más largas que la longitud de onda de Broglie, el propagador puede ser bien aproximado por la suma de dos integrales de\(\mathscr{L} d \tau=i \mathbf{p}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} / \hbar-\) como se hizo en\(\operatorname{Sec} .3 .1\).

Por último, pero no menos importante, el camino integral permite soluciones simples a algunos problemas que serían difíciles de obtener por otros métodos. Como ejemplo más simple, consideremos el problema de la tunelización en el espacio multidimensional, esbozado en la Fig. 6 para el\(2 \mathrm{D}\) caso\(-\) solo por la simplicidad de los gráficos. Aquí, el perfil potencial\(U(x, y)\) tiene una forma de silla de montar. (Otra imagen útil es un sendero montañoso entre dos cumbres, en la Fig. 6 ubicado en la parte superior y en la parte inferior de la región mostrada). Una partícula de energía\(E\) puede moverse clásicamente en las regiones izquierda y derecha con\(U(x, y)<E\), pero si no\(E\) es lo suficientemente alta, puede pasar de una de estas regiones a otra solo a través del túnel cuántico-mecánico debajo del paso. Calculemos la transparencia de esta barrera potencial en la aproximación WKB, ignorando el posible factor preexponencial. \({ }^{24}\)

Fig. \(5.6\). Un perfil de\(2 \mathrm{D}\) potencial tipo silla de montar y la trayectoria instantona de una partícula de energía\(E\) (esquemáticamente).

De acuerdo con la evidente generalización multidimensional Ec. (54), para la región clásicamente prohibida, donde\(E<U(x, y)\), y por lo tanto\(\mathbf{p}(\mathbf{r}) / \hbar=i \boldsymbol{\kappa}(\mathbf{r})\), las contribuciones al propagador (55) son proporcionales a\[e^{-I} \exp \left\{-\frac{i}{\hbar} E\left(t-t_{0}\right)\right\}, \quad \text { where } I \equiv \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \boldsymbol{\kappa}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}\] donde se\(\kappa \equiv \kappa\) pueden calcular solo en el \(1 \mathrm{D}\)caso\(-\) cf. Ec. \((2.97)\):\[\frac{\hbar^{2} \kappa^{2}(\mathbf{r})}{2 m}=U(\mathbf{r})-E \text {. }\] De ahí que el camino integral en esta región sea mucho más sencillo que en la región clásicamente permitida, porque los exponentes espaciales son puramente reales y no hay interferencia compleja entre ellos. Debido al signo menos anterior\(I\) en el exponente (56), la mayor contribución a\(G\) evidentemente proviene de la trayectoria (o un haz estrecho de trayectorias cercanas) para la cual la integral\(I\) tiene el valor más pequeño, de manera que la barrera la transparencia puede calcularse como\[\mathscr{T} \approx|G|^{2} \approx e^{-2 I} \equiv \exp \left\{-2 \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \boldsymbol{\kappa}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime}\right\},\] dónde\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{r}_{0}\) son ciertos puntos en las superficies clásicas opuestas de puntos de giro:\(U(\mathbf{r})=U\left(\mathbf{r}_{0}\right)=E-\) ver Fig. 6.

Así, el problema de transparencia de barrera se reduce a encontrar la trayectoria (incluyendo los puntos\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{r}_{0}\)) que conecta las dos superficies y minimiza la funcional\(I\). Este es, por supuesto, un problema bien conocido del cálculo de las variaciones,\({ }^{25}\) pero es interesante que el camino integral proporcione una forma alternativa sencilla de resolverlo. Consideremos un problema auxiliar del movimiento de la partícula en el perfil de potencial\(U_{\text {inv }}(\mathbf{r})\) que se invierte en relación con la energía de la partícula\(E\), es decir, se define por la siguiente igualdad:\[U_{\text {inv }}(\mathbf{r})-E \equiv E-U(\mathbf{r})\] Como se discutió anteriormente, a la energía fija\(E\), el path integral para el movimiento WKB en la región de potencial clásicamente permitida\(U_{\text {inv }}(x, y)\) (que coincide con la región clásicamente prohibida del problema original) está dominada por la trayectoria clásica correspondiente al mínimo de\[S_{\text {inv }}=\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{p}_{\text {inv }}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime}=\hbar \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{k}_{\text {inv }}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r},\] donde\(\mathbf{k}_{\text {inv }}\) debe ser determinado a partir de la relación WKB\[\frac{\hbar^{2} k_{\text {inv }}^{2}(\mathbf{r})}{2 m} \equiv E-U_{\text {inv }}(\mathbf{r}) .\] Pero comparando las ecuaciones (57), (59) y (61), ¡vemos que\(\mathbf{k}_{\text {inv }}=\mathbf{\kappa}\) en cada punto! Esto significa que la trayectoria de tunelización (en el límite WKB) corresponde a la trayectoria clásica (llamada instanton\({ }^{26}\)) de la misma partícula que se mueve en el potencial invertido\(U_{\text {inv }}(\mathbf{r})\). Si el punto inicial\(\mathbf{r}_{0}\) es fijo, esta trayectoria se puede encontrar fácilmente por medio de la mecánica clásica. (Tenga en cuenta que la energía cinética inicial, y por lo tanto la velocidad inicial del instantón lanzado desde el punto\(\mathbf{r}_{0}\) debe ser cero porque por la definición clásica del punto de inflexión,\(U_{\text {inv }}\left(\mathbf{r}_{0}\right)=U\left(\mathbf{r}_{0}\right)=E\).) Así, el problema se reduce aún más a una tarea más sencilla de maximizar la transparencia (58) eligiendo la posición óptima de\(\mathbf{r}_{0}\) sobre la superficie equipotencial\(U\left(\mathbf{r}_{0}\right)=E-\) ver Fig. 6. Además, para muchos potenciales simétricos, la posición de este punto puede adivinarse fácilmente incluso sin cálculos -como lo es en los Problemas 6 y 7, dejados para el ejercicio del lector.

Obsérvese que además del cálculo de la transparencia de la barrera potencial, la trayectoria instantona tiene una implicación más importante: el llamado tiempo\(\tau_{\mathrm{t}}\) de recorrido del movimiento clásico a lo largo de ella, de punto\(\mathbf{r}_{0}\) a punto\(\mathbf{r}\), en el potencial invertido definido por la ecuación (59), juega el papel de la escala de tiempo más importante (aunque no la única) de la tunelización de la partícula bajo la barrera. \({ }^{27}\)

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\({ }^{16}\)Esta formulación fue desarrollada en 1948 por Richard Phillips Feynman. (Según sus recuerdos, esta obra fue motivada por una observación “misteriosa” de P. Dirac en su libro de texto pionero de 1930 sobre mecánica cuántica.)

\({ }^{17}\)Una discusión más profunda del enfoque path-integral se puede encontrar en el famoso texto de R. Feynman y A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, publicado por primera vez en 1965. (Para su última edición de Dover en 2010, el libro fue editado por D. Styler.) Para una monografía más reciente, en la que se revisan más aplicaciones, véase L. Schulman, Técnicas y aplicaciones de la integración de caminos, Wiley,\(1981 .\)

\({ }^{18}\)Esta es exactamente la esquina que voy a cortar porque una prueba matemática estricta de esta afirmación (intuitivamente evidente) tomaría más tiempo/espacio del que puedo permitirme.

\({ }^{19}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (5.2).

\({ }^{20}\)Véase, por ejemplo, CM Sec. 2.1

\({ }^{21}\)Véase, por ejemplo, CM Sec. 10.3.

\({ }^{22}\)Este hecho puede demostrarse expandiendo la diferencia\(\left(S-S_{\mathrm{cl}}\right)\) en la serie Taylor en la variación de trayectoria (dejando solo los términos cuadráticos principales) y elaborando las integrales gaussianas resultantes. Esta integración, junto con el coeficiente preexponencial en la Ec. (51a), da exactamente el factor preexponencial que ya hemos encontrado refinando la aproximación WKB en la Sec. 2.4.

\({ }^{23}\)El mismo truco se usa a menudo en la mecánica analítica clásica -digamos, para probar el principio de Hamilton, y para la derivación de las ecuaciones Hamilton- Jacobi (ver, por ejemplo, CM Secs. 10.3-4).

\({ }^{24}\)En realidad, se puede argumentar que el factor preexponencial debe estar cerca de 1, al igual que en la Ec. (2.117), especialmente si el potencial es suave, en el sentido de la Ec. (2.107), en todas las direcciones espaciales. (Permítame recordarle al lector que para la mayoría de las aplicaciones prácticas del túnel cuántico, el factor preexponencial es de menor importancia).

\({ }^{25}\)Para una introducción concisa al campo véase, por ejemplo, I. Gelfand y S. Fomin, Cálculo de variaciones, Dover, 2000, o L. Elsgolc, Cálculo de variaciones, Dover,\(2007 .\)

\({ }^{26}\)En la teoría cuántica de campos, el concepto instantón puede formularse de manera algo diferente, y tiene aplicaciones más complejas - véase, por ejemplo R. Rajaraman, Solitons e Instantons, Nord-Holland,\(1987 .\)

\({ }^{27}\)Para más información sobre este interesante tema véase, e.g., M. Buttiker y R. Landauer, Phys. Rev. Lett. 49, 1739 (1982), y referencias en él.