6.1: Perturbaciones independientes del tiempo

Desafortunadamente, solo unos pocos problemas de la mecánica cuántica pueden resolverse exactamente de forma analítica. En realidad, en los capítulos anteriores hemos resuelto una parte sustancial de tales problemas para una sola partícula, mientras que para los sistemas multipartículas, los casos exactamente solucionables son aún más raros. Sin embargo, la mayoría de los problemas prácticos de la física presentan un cierto parámetro pequeño, y esta pequeñez puede ser explotada por varios métodos analíticos aproximados dando resultados asintóticamente correctos,\(-\) es decir, los resultados cuyo error tiende a cero en la reducción del (de los) parámetro (s) pequeño (s). Anteriormente en el curso, hemos explorado una de ellas, la aproximación WKB, que es adecuada para que una partícula se mueva a través de un perfil de potencial blando. En este capítulo, discutiremos otras técnicas que son más adecuadas para otros casos. El nombre histórico de estas técnicas es la teoría de la perturbación, aunque es más justo hablar de varios enfoques perturbadores, porque son sustancialmente diferentes para diferentes situaciones.

La versión más simple de la teoría de la perturbación aborda el problema de los estados estacionarios y los niveles de energía de los sistemas descritos por los hamiltonianos independientes del tiempo del tipo\[\hat{H}=\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{(1)},\] donde el operador\(\hat{H}^{(1)}\), que describe la “perturbación” del sistema, es relativamente pequeño, en el sentido de que su además del operador imperturbable\(\hat{H}^{(0)}\) da como resultado un cambio relativamente pequeño de las energías\(E_{n}\) propias del sistema, y los estados propios correspondientes. Un problema típico de este tipo es el oscilador débilmente anarmónico 1D (Fig. 1), descrito por el hamiltoniano (1) con

\[\ \text{Weakly anharmonic oscillator}\quad\quad\quad\quad\hat{H}^{(0)}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega_{0}^{2} \hat{x}^{2}}{2}, \quad \hat{H}^{(1)}=\alpha \hat{x}^{3}+\beta \hat{x}^{4}+\ldots\]

con coeficientes suficientemente pequeños\(\alpha, \beta, \ldots\).

Fig. 6.1. La aplicación más simple de la teoría de la perturbación: un oscilador 1D débilmente anarmónico. (Las líneas discontinuas caracterizan al oscilador armónico imperturbable).

Utilizaré este sistema como nuestro primer ejemplo, pero permítanme comenzar describiendo el enfoque perturbador del hamiltoniano general independiente del tiempo (1). En el formalismo bra-ket, el problema propio (4.68) para el hamiltoniano perturbado, es decir, la ecuación estacionaria de Schrödinger del sistema, es\[\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{(1)}\right)|n\rangle=E_{n}|n\rangle \text {. }\] Dejar que los autoestados y valores propios del hamiltoniano imperturbado, que satisfacen la ecuación\[\hat{H}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle=E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle,\] sean considerados como conocidos. En este caso, la solución del problema (3) significa encontrar, primero, sus propios valores perturbados\(E_{n}\) y, segundo, los coeficientes\(\left\langle n^{,(0)} \mid n\right\rangle\) de expansión de los vectores del estado perturbado\(|n\rangle\) en las siguientes series sobre las no perturbadas, \(\left|n^{\prime}{ }^{(0)}\right\rangle\):\[|n\rangle=\sum_{n^{\prime}}\left|n^{\prime(0)}\right\rangle\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle .\] Tapemos la Ec. (5), con el índice de suma\(n\) 'reemplazado por\(n\) "(solo para tener una notación más compacta en nuestro próximo resultado), en ambos lados de la ecuación (3):\[\sum_{n^{\prime \prime}}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle \hat{H}^{(0)}\left|n^{\prime \prime(0)}\right\rangle+\sum_{n^{\prime \prime}}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle \hat{H}^{(1)}\left|n^{\prime \prime(0)}\right\rangle=\sum_{n^{\prime \prime}}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle E_{n}\left|n^{\prime \prime(0)}\right\rangle .\] y luego multiplicar internamente todos los términos por un arbitrario imperturbable bra-vector\(\left\langle n^{\prime}{ }^{(0)}\right|\) del sistema. Suponiendo que los autoestados imperturbables son ortonormales\(\left\langle n^{\prime}{ }^{(0)} \mid n^{\prime,(0)}\right\rangle=\delta_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}\), y usando la Eq. (4) en el primer término en el lado izquierdo, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales\[\sum_{n^{\prime \prime}}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle H_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}^{(1)}=\left\langle n^{(0)} \mid n\right\rangle\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}^{(0)}\right),\] donde los elementos de la matriz de la perturbación se calculan, por definición, en los corchetes no perturbados: \[H_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}^{(1)} \equiv\left\langle n^{\prime(0)}\left|\hat{H}^{(1)}\right| n^{\prime \prime(0)}\right\rangle .\]El sistema de ecuaciones lineales\((7)\) sigue siendo exacto\({ }^{1}\) y se utiliza frecuentemente para cálculos numéricos. (Dado que los coeficientes de matriz (8) normalmente disminuyen cuando\(n\) 'y/o\(n\) “' llegan a ser suficientemente grandes, la suma en el lado izquierdo de la ecuación (7) generalmente puede ser truncada, dando aún una precisión aceptable de la solución). Para obtener resultados analíticos, necesitamos hacer aproximaciones. En la teoría de perturbación simple que estamos discutiendo ahora, esto se logra mediante la expansión tanto de las energías propias como de los coeficientes de expansión en la serie Taylor en un cierto pequeño parámetro\(\mu\) del problema:\[\begin{gathered} E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)} \cdots, \\ \left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle=\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle^{(0)}+\left\langle n^{(0)} \mid n\right\rangle^{(1)}+\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle^{(2)} \cdots, \end{gathered}\] donde

\[E_{n}^{(k)} \propto\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle^{(k)} \propto \mu^{k} .\]Para explorar la aproximación\(1^{\text {st }}\) -orden, que ignora todos los términos\(O\left(\mu^{2}\right)\) y superior, conectemos solo los dos primeros términos de las expansiones (9) y (10) en la ecuación básica (7):\[\sum_{n^{\prime \prime}} H_{n^{n} n^{\prime \prime}}^{(1)}\left(\delta_{n^{\prime \prime} n}+\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle^{(1)}\right)=\left(\delta_{n^{\prime} n}+\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle^{(1)}\right)\left(E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}\right) .\] Ahora abramos los paréntesis, y despreciemos todos los restantes términos\(O\left(\mu^{2}\right)\). El resultado es\[H_{n^{\prime} n}^{(1)}=\delta_{n^{\prime} n} E_{n}^{(1)}+\left\langle n^{(0)} \mid n\right\rangle^{(1)}\left(E_{n}^{(0)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}\right),\] Esta relación es válida para cualquier conjunto de índices\(n\) y\(n\) '; empecemos por el caso\(n=n\), consiguiendo de inmediato una muy sencilla (y prácticamente, ¡la más importante!) resultado:\[E_{n}^{(1)}=H_{n n}^{(1)} \equiv\left\langle n^{(0)}\left|\hat{H}^{(1)}\right| n^{(0)}\right\rangle\] Por ejemplo, veamos qué da este resultado para dos primeros términos de perturbación en el oscilador débilmente anarmónico (2):\[E_{n}^{(1)}=\alpha\left\langle n^{(0)}\left|\hat{x}^{3}\right| n^{(0)}\right\rangle+\beta\left\langle n^{(0)}\left|\hat{x}^{4}\right| n^{(0)}\right\rangle .\] Como el lector sabe (o debería saber :-) a partir de la solución del Problema 5.9, el primer paréntesis es igual a cero, mientras que el segundo cede\({ }^{2}\) \[E_{n}^{(1)}=\frac{3}{4} \beta x_{0}^{4}\left(2 n^{2}+2 n+1\right) .\]Naturalmente, debería haber alguna contribución no desaparecida a las energías de la perturbación (típicamente, mayor) proporcional a\(\alpha\), de modo que para su cálculo necesitamos explorar el\(2^{\text {nd }}\) orden de la teoría. No obstante, antes de hacer eso, concluyamos nuestra discusión sobre su\(1^{\text {st }}\) orden.

Para\(n^{\prime} \neq n\), la Ec. (13) se puede utilizar para calcular los autoestados en lugar de los valores propios:\[\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle^{(1)}=\frac{H_{n^{n} n}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}}, \quad \text { for } n^{\prime} \neq n .\] Esto significa que la expansión del propio mercado (5), en el\(1^{\text {st }}\) orden, puede representarse como\[\left|n^{(1)}\right\rangle=C\left|n^{(0)}\right\rangle+\sum_{n^{\prime} \neq n} \frac{H_{n^{\prime} n}^{(1)}}{E_{n}^{(0)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}}\left|n^{(0)}\right\rangle .\] El coeficiente\(C \equiv\left\langle n^{(0)} \mid n^{(1)}\right\rangle\) no se puede encontrar a partir de la Ec. (17); sin embargo, requiriendo que se normalice el estado\(n\) final, vemos que otros términos pueden proporcionar únicamente correcciones\(O\left(\mu^{2}\right)\), de manera que en el\(1^{\text {st }}\) orden que debemos tomar\(C=1\). La característica más importante de la ecuación (18) son sus denominadores: cuanto más cerca están las energías propias imperturbadas de dos estados, mayor es su “interacción” mutua debido a la perturbación.

Esta característica también afecta a la condición de validez de\(1^{\text {st }}\) -order, que puede cuantificarse usando la ecuación (17): las magnitudes de los corchetes que describe tienen que ser mucho menores que el corchete no perturbado\(\langle n \mid n\rangle^{(0)}=1\), de modo que todos los elementos de la matriz de perturbación tienen que ser mucho menores que diferencia entre las energías imperturbadas correspondientes. Para las correcciones de energía del oscilador anarmónico (16), este requisito se reduce a\(E_{n}{ }^{(1)}<<\hbar \omega_{0}\).

Ahora estamos listos para ir después de la aproximación de\(2^{\text {nd }}\) orden -order a la Ec. (7). Centrémonos en el caso\(n^{\prime}=n\), porque como ya sabemos, sólo este término nos va a dar una corrección a las energías propias. Además, dado que el lado izquierdo de la ecuación (7) ya tiene un factor pequeño\(H_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}^{(1)} \propto\), los coeficientes de paréntesis en esa parte pueden tomarse del resultado\(1^{\text {st }}\) -order (17). Como resultado, obtenemos\[E_{n}^{(2)}=\sum_{n^{n}}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle^{(1)} H_{n n^{\prime \prime}}^{(1)}=\sum_{n^{n} \neq n} \frac{H_{n^{\prime \prime} n}^{(1)} H_{n n^{n}}^{(1)}-E_{n^{\prime \prime}}^{(0)}}{E} .\] Dado que\(\hat{H}^{(1)}\) tiene que ser hermitiano, podemos reescribir esta expresión como\[E_{n}^{(2)}=\sum_{n^{\prime} \neq n} \frac{\left|H_{n^{\prime} n}^{(1)}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}} \equiv \sum_{n^{\prime} \neq n} \frac{\left|\left\langle n^{(0)}\left|\hat{H}^{(1)}\right| n^{(0)}\right\rangle\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{n^{\prime}}^{(0)}} .\] Este es el resultado de perturbación de\(2^{\text {nd }}\) orden tan celebrado, que frecuentemente (en problemas suficientemente simétricos) es la primera corrección no desaparecida a la energía estatal - por ejemplo, del término cúbico (proporcional a\(\alpha\)) en nuestro problema de oscilador débilmente anarmónico (2). Para calcular la corrección correspondiente, podemos usar otro resultado de la solución del Problema 5.9:\[\begin{aligned} &\left\langle n^{\prime}\left|\hat{x}^{3}\right| n\right\rangle=\left(\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\right)^{3} \\ &\times\left\{[n(n-1)(n-2)]^{1 / 2} \delta_{n^{\prime}, n-3}+3 n^{3 / 2} \delta_{n^{\prime}, n-1}+3(n+1)^{3 / 2} \delta_{n^{\prime}, n+1}+[(n+1)(n+2)(n+3)]^{1 / 2} \delta_{n^{\prime}, n+3}\right\} . \end{aligned}\] Entonces, según la Ec. (20), necesitamos calcular\[\begin{aligned} &E_{n}^{(2)}=\alpha^{2}\left(\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}\right)^{6} \\ &\times \sum_{n^{\prime} \neq n} \frac{\left\{[n(n-1)(n-2)]^{1 / 2} \delta_{n^{\prime}, n-3}+3 n^{3 / 2} \delta_{n^{\prime}, n-1}+3(n+1)^{3 / 2} \delta_{n^{\prime}, n+1}+[(n+1)(n+2)(n+3)]^{1 / 2} \delta_{n^{\prime}, n+3}\right\}^{2}}{\hbar \omega_{0}\left(n-n^{\prime}\right)} . \end{aligned}\] La suma no es tan engorrosa como puede parecer, porque en la cuadratura de los corchetes rizados, todos los productos mixtos son proporcionales a la productos de diferentes deltas de Kronecker y de ahí desaparecer, de manera que necesitamos resumir solo los cuadrados de cada término, finalmente obteniendo\[E_{n}^{(2)}=-\frac{15}{4} \frac{\alpha^{2} x_{0}^{6}}{\hbar \omega_{0}}\left(n^{2}+n+\frac{11}{30}\right) .\] Esta fórmula muestra que todas las correcciones de nivel de energía son negativas, independientemente del signo de Por el\(\alpha \cdot{ }^{3}\) contrario, el\(1^{\text {st }}\) orden corrección\(E_{n}{ }^{(1)}\), dada por la Ec. (16), sí depende del signo de\(\beta\), por lo que la corrección neta,\(E_{n}{ }^{(1)}+E_{n}{ }^{(2)}\), puede ser de cualquier signo.

Los resultados (18) y (20) son claramente inaplicables al caso degenerado donde, en ausencia de perturbación, varios estados corresponden al mismo nivel de energía, debido a la divergencia de sus denominadores. \({ }^{4}\)Esta divergencia insinúa que en este caso, el mayor efecto de la perturbación es el levantamiento de degeneración, por ejemplo, alguna división del nivel de energía inicialmente degenerada\(E^{(0)}\) (Fig. 2), y que para el análisis de este caso podemos, en la primera aproximación, ignorar el efecto de todos los demás niveles de energía. (Un análisis cuidadoso muestra que este es efectivamente el caso hasta que la división de niveles se vuelve comparable con la distancia a otros niveles de energía).

Fig. 5.2. Elevar la degeneración del nivel de energía por una perturbación (esquemáticamente).

Limitando la suma en la Ec. (7) al grupo de estados\(N\) degenerados con igual\(E_{n}{ }^{(0)} \equiv E^{(0)}\), la reducimos a\[\sum_{n^{n}=1}^{N}\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n\right\rangle H_{n^{\prime} n^{\prime}}^{(1)}=\left\langle n^{\prime(0)} \mid n\right\rangle\left(E_{n}-E^{(0)}\right),\] donde ahora\(n^{\prime}\) y\(n\) "numeramos los\(N\) estados del grupo degenerado. \(^{5}\)Para\(n=n^{\prime}\), la Ec. (24) puede reescribirse como\[\sum_{n^{n}=1}^{N}\left(H_{n^{\prime} n^{\prime}}^{(1)}-E_{n^{n}}^{(1)} \delta_{n^{\prime} n^{\prime \prime}}\right)\left(n^{\prime \prime(0)}\left|n^{\prime}\right\rangle=0, \quad \text { where } E_{n}^{(1)} \equiv E_{n}-E^{(0)}\right.\] Para cada uno\(n^{\prime}=1,2, \ldots N\), este es un sistema de ecuaciones\(N\) lineales y homogéneas (con\(N\) términos cada uno) para coeficientes\(N\) desconocidos \(\left\langle n^{\prime,(0)} \mid n^{\prime}\right\rangle\). En este problema, podemos reconocer fácilmente el problema de la diagonalización de la matriz de perturbación\(\mathrm{H}^{(1)}-\mathrm{cf}\). Sec. \(4.4\)y en particular la Ec. (4.101). Como en el caso general, la condición de autoconsistencia del sistema es:\[\left|\begin{array}{ccc} H_{11}^{(1)}-E_{n}^{(1)} & H_{12}^{(1)} & \ldots \\ H_{21}^{(1)} & H_{22}^{(1)}-E_{n}^{(1)} & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{array}\right|=0,\] donde ahora el índice\(n\) numera las\(N\) raíces de esta ecuación, en un orden arbitrario. De acuerdo con la definición (25) de\(E_{n}{ }^{(1)}\), los niveles de\(N\) energía resultantes se\(E_{n}\) pueden encontrar como\(E^{(0)}+E_{n}{ }^{(1)}\). Si la matriz de perturbación es diagonal en la base elegida\(n^{(0)}\), el resultado es extremadamente simple,\[E_{n}-E^{(0)} \equiv E_{n}^{(1)}=H_{n n}^{(1)},\] y coincide formalmente con la ecuación (14) para el caso no degenerado, pero ahora puede dar un resultado diferente para cada uno de los estados\(N\) previamente degenerados \(n\).

Ahora veamos qué da esta teoría general para varios ejemplos importantes. Ante todo, consideremos un sistema con sólo dos estados degenerados con energía suficientemente alejada de todos los demás niveles. Entonces, en la base de estos dos estados degenerados, la matriz de perturbación más general es\[\mathrm{H}^{(1)}=\left(\begin{array}{ll} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{array}\right)\] Esta matriz coincide con la matriz general (5.2) de un sistema de dos niveles. De ahí que lleguemos a la conclusión muy importante: para una débil perturbación, todas las propiedades de cualquier sistema doblemente degenerado son idénticas a las de los sistemas genuinos de dos niveles, que fueron objeto de numerosas discusiones en el Capítulo 4 y nuevamente en la Sec. 5.1. En particular, sus energías propias están dadas por la Ec. (5.6), y pueden ser descritas por el diagrama de nivel-anticrosamiento mostrado en la Fig. 5.1.

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\({ }^{1}\)Tenga en cuenta la similitud de la Ec. (7) con la Ec. (2.215) de la teoría de bandas 1D. De hecho, esta última ecuación no es mucho más que una forma particular de la ecuación (7) para la mecánica de ondas 1D, y un potencial específico (periódico)\(U(x)\) considerado como la perturbación hamiltoniana. Además, todo el tratamiento aproximado del límite de potencial débil en la Sec. \(2.7\)es esencialmente un caso particular de la teoría de la perturbación que estamos discutiendo ahora (en su\(1^{\text {st }}\) orden).

\({ }^{2}\)Un ejercicio útil para el lector: analizar la relación entre la Ec. (16) y el resultado de la teoría clásica de dicho oscilador débilmente anarmónico (“no lineal”) - véase, por ejemplo, CM Sec. 5.2, en particular, la Ec. (5.49).

\({ }^{3}\)Obsérvese que esto es correcto para la corrección energética\(E_{\mathrm{g}}^{(2)}\) del estado fundamental de cualquier sistema, ya que para este estado, los denominadores de todos los términos de la suma (20) son negativos, mientras que sus numeradores son siempre no negativos.

\({ }^{4}\)Esta es exactamente la razón por la cual un enfoque de perturbación tan simple se encuentra con serios problemas para sistemas con un espectro continuo, y otras técnicas (como la aproximación WKB) a menudo son necesarias.

\({ }^{5}\)Obsérvese que aquí la elección de la base es en cierta medida arbitraria, ya que debido a la linealidad de las ecuaciones de la mecánica cuántica, cualquier combinación lineal de los estados\(n^{\prime \prime(0)}\) es también un estado propio del imperturbable hamiltoniano. Sin embargo, para usar la Ec. (25), estas combinaciones tienen que ser ortonormales, como se suponía en la derivación de la Ec. (7).