6.2: El efecto Stark lineal

Como ejemplo más involucrado del levantamiento de degeneración de nivel por una perturbación, discutamos el efecto Stark\(^{6}\): la división del nivel atómico por un campo eléctrico externo. Estudiemos este efecto, en la aproximación lineal, para un átomo/ion similar al hidrógeno. Tomando la dirección del campo eléctrico externo\(\mathscr{E}\) (que prácticamente siempre es uniforme en la escala atómica) para el\(z\) eje -eje, la perturbación puede estar representada por el siguiente hamiltoniano:\[\hat{H}^{(1)}=-F \hat{z}=-q \mathscr{E} \hat{z}=-q \mathscr{E} r \cos \theta .\] (En la última forma, se deja caer el signo del operador, porque lo haremos trabajar en la representación de coordenadas.)

Como usted (debería: -) recordar, los niveles de energía de un átomo/ion similar al hidrógeno dependen únicamente del número cuántico principal\(n\) - véase la Ec. (3.201); de ahí todos los estados, además del\(1 s\) estado fundamental en el que\(n=1\) y\(l=m=0\), tienen algunos orbitales degeneración, que crece rápidamente con\(n\). Consideremos el nivel degenerado más bajo con\(n=2\). Ya que, de acuerdo con la Ec. (3.203)\(0 \leq l \leq n-1\), en este nivel el número cuántico orbital\(l\) puede ser igual a 0 (un\(2 s\) estado, con\(m=0\)) o 1 (tres\(2 p\) estados, con\(m=0, \pm 1\)). Debido a esta degeneración de 4 veces,\(\mathrm{H}^{(1)}\) es una\(4 \times 4\) matriz con 16 elementos:\[\begin{array}{rl} & \overbrace{m=0}^{l=0} \overbrace{m=0 m=+1 m=-1}^{l=1} \\ \mathrm{H}^{(1)}= & \left(\begin{array}{llll} H_{11} & H_{12} & H_{13} & H_{14} \\ H_{21} & H_{22} & H_{23} & H_{24} \\ H_{31} & H_{32} & H_{33} & H_{34} \\ H_{41} & H_{42} & H_{43} & H_{44} \end{array}\right) m=0, \quad m=0, \quad m=0, \\ m & m=1 . \end{array}\] Sin embargo, no hay necesidad de asustarse. Primero, debido a la naturaleza hermitiana del operador, solo diez de estos elementos de matriz (cuatro diagonales y seis fuera de la diagonal) pueden ser sustancialmente diferentes entre sí. Además, debido a una alta simetría del problema, hay muchos ceros incluso entre estos elementos. En efecto, echemos un vistazo a los componentes angulares\(Y_{l}^{m}\) de las correspondientes funciones de onda, con\(l=0\) y\(l=1\), descritas por las ecuaciones (3.174) - (3.175). Para los estados con\(m=\pm 1\), las partes azimutales de las funciones de onda son proporcionales a\(\exp \{\pm i \varphi\}\); de ahí que los elementos fuera de la diagonal\(H_{34}\) y\(H_{43}\) de la matriz (30), relacionando estas funciones, son proporcionales a\[\oint d \Omega Y_{1}^{\pm}{ }^{*} \hat{H}^{(1)} Y_{1}^{\mp} \propto \int_{0}^{2 \pi} d \varphi\left(e^{\pm i \varphi}\right)^{*}\left(e^{\mp i \varphi}\right)=0 .\] El azimutal- simetría angular también mata a los elementos fuera de la diagonal\(H_{13}, H_{14}, H_{23}, H_{24}\) (y por lo tanto sus conjugados complejos\(\mathrm{H}_{31}, \mathrm{H}_{41}, \mathrm{H}_{32}\), y\(\mathrm{H}_{42}\)), porque relacionan estados con\(m=0\) y\(m=\pm 1\), y por lo tanto son proporcionales a\[\oint d \Omega Y_{1}^{0^{*}} \hat{H}^{(1)} Y_{1}^{\pm 1} \propto \int_{0}^{2 \pi} d \varphi e^{\pm i \varphi}=0\] Para el los elementos de matriz diagonal\(H_{33}\) y\(H_{44}\), correspondientes a\(l=1\) y\(m=\pm 1\), las integrales de ángulo azimutal no desaparecen, sino que ya que las funciones esféricas correspondientes dependen del ángulo polar ya que\(\sin \theta\), estos los elementos son proporcionales\[\oint d \Omega Y_{1}^{\pm 1^{*}} \hat{H}^{(1)} Y_{1}^{\pm 1} \propto \int_{0}^{\pi} \sin \theta d \theta \sin \theta \cos \theta \sin \theta=\int_{-1}^{+1} \cos \theta\left(1-\cos ^{2} \theta\right) d(\cos \theta),\] y por lo tanto son iguales a cero, como cualquier integral simétrica de límite de una función impar. Finalmente, para los estados\(2 s\) y\(2 p\) con\(m=0\), los elementos diagonales\(H_{11}\) y también\(H_{22}\) son asesinados por la integración polar-ángulo:\[\begin{aligned} &\oint d \Omega Y_{0}^{0^{*}} \hat{H}^{(1)} Y_{0}^{0} \propto \int_{0}^{\pi} \sin \theta d \theta \cos \theta=\int_{-1}^{1} \cos \theta d(\cos \theta)=0, \\ &\oint d \Omega Y_{0}^{1^{*}} \hat{H}^{(1)} Y_{0}^{1} \propto \int_{0}^{\pi} \sin \theta d \theta \cos ^{3} \theta=\int_{-1}^{+1} \cos ^{3} \theta d(\cos \theta)=0 . \end{aligned}\] De ahí que los únicos elementos distintos de cero de la matriz (30) son dos elementos fuera de diagonal\(H_{12}\) y\(H_{21}\), que relacionan dos estados con el mismo\(m=0\), pero diferentes\(l=\{0,1\}\), porque son proporcionales a\[\oint d \Omega Y_{0}^{0^{*}} \cos \theta Y_{1}^{0}=\frac{\sqrt{3}}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta d \theta \cos ^{2} \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \neq 0 .\] lo que queda es usar Eqs. (3.209) para que las partes radiales de estas funciones completar el cálculo de esos dos elementos de la matriz:\[H_{12}=H_{21}=-\frac{q \mathscr{E}}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\infty} r^{2} d r R_{2,0}(r) r R_{2,1}(r) .\] Debido a la estructura aditiva de la función\(R_{2,0}(r)\), la integral cae en una suma de dos integrales de tabla, ambas del tipo MA Eq. (6.7d), finalmente dando\[H_{12}=H_{21}=3 q \delta r_{0},\] dónde\(r_{0}\) está la escala espacial (3.192 ); para el átomo de hidrógeno, es solo el radio de Bohr\(r_{\mathrm{B}}\) - ver Ec. (1.10).

Así, la matriz de perturbación (30) se reduce a de\[\mathrm{H}^{(1)}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 3 q \mathscr{E} r_{0} & 0 & 0 \\ 3 q \mathscr{E} r_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\] tal manera que la condición (26) de autoconsistencia del sistema (25),\[\left|\begin{array}{cccc} -E_{2}^{(1)} & 3 q \delta r_{0} & 0 & 0 \\ 3 q \delta r_{0} & -E_{2}^{(1)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -E_{2}^{(1)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -E_{2}^{(1)} \end{array}\right|=0\] da una ecuación característica muy simple\[\left(E_{2}^{(1)}\right)^{2}\left[\left(E_{2}^{(1)}\right)^{2}-\left(3 q \mathscr{E} r_{0}\right)^{2}\right]=0 .\] con cuatro raíces: de\[\left(E_{2}^{(1)}\right)_{1,2}=0, \quad\left(E_{2}^{(1)}\right)_{3,4}=\pm 3 q \mathscr{E} r_{0} .\] manera que la degeneración sólo se levanta parcialmente - ver los niveles en la Fig. 3. 7

Fig. 6.3. El efecto lineal de Stark para el nivel\(n=2\) de un átomo similar a hidrógeno.

Generalmente, para entender la naturaleza de los estados correspondientes a estos niveles, debemos regresar a la Ec. (25) con cada valor calculado de\(E_{2}{ }^{(1)}\), y encontrar los coeficientes de expansión correspondientes\(\left\langle n^{\prime \prime(0)} \mid n^{\prime}\right\rangle\) que describen los estados perturbados. No obstante, en nuestro sencillo caso, el resultado de este procedimiento es claro de antemano. En efecto, dado que los estados con no\(\{l=1, m=\pm 1\}\) se ven afectados por la perturbación en absoluto (en la aproximación lineal en el campo eléctrico), su degeneración no se levanta, y la energía no se ve afectada - ver la línea media en la Fig. 3. Por otro lado, la matriz de perturbación parcial que conecta los estados\(2 s\) y\(2 p\), es decir, la\(2 \times 2\) parte superior izquierda de la matriz completa (39), es proporcional a la matriz de Pauli\(\sigma_{x}\), y ya conocemos el resultado de su diagonalización - ver Eqs. (4.113) - (4.114). Esto significa que los niveles de división superior e inferior corresponden a combinaciones lineales muy simples de los estados previamente degenerados con\(m=0\),\[|\pm\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|2 s\rangle \pm|2 p\rangle) .\] Finalmente, estimaremos la magnitud del efecto Stark lineal para un átomo de hidrógeno. Para un campo eléctrico muy alto de\(\mathscr{E}=3 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m},{ }^{8}|q|=e \approx 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}\), y\(r_{0}=r_{\mathrm{B}} \approx 0.5 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\), obtenemos una división de nivel de\(3 q \delta r_{0} \approx 0.8 \times 10^{-22} \mathrm{~J} \approx 0.5 \mathrm{meV}\). Este número es mucho menor que la energía imperturbable del nivel,\(E_{2}=-E_{\mathrm{H}} /\left(2 \times 2^{2}\right) \approx-3.4 \mathrm{eV}\), por lo que el resultado perturbador es bastante aplicable. Por otro lado, la división calculada es mucho mayor que el límite de resolución impuesto por el ancho natural de la línea\(\left(\sim 10^{-7} E_{2}\right.\), ver Capítulo 9), de manera que el efecto es bastante observable incluso en campos eléctricos sustancialmente menores. Tenga en cuenta, sin embargo, que nuestros resultados simples son cuantitativamente correctos solo cuando la división Stark (42) es mucho mayor que la división de estructura fina del mismo nivel en ausencia del campo- vea la siguiente sección.

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\({ }^{6}\)Este efecto fue descubierto experimentalmente en 1913 por Johannes Stark e independientemente por Antonio Lo Surdo, por lo que a veces (y más justamente) se le llama el “efecto Stark - Lo Surdo”. En ocasiones este nombre se usa con el calificador “dc” para distinguirlo del efecto\(a c\) Stark -el cambio de nivel de energía bajo el efecto de un campo ac- ver Sec. 5 a continuación.

\({ }^{7}\)La proporcionalidad de esta división al campo pequeño es responsable del calificador “lineal” en nombre de este efecto. Si los efectos observables crecen solo como\(\varepsilon^{2}\) (ver, por ejemplo, Problema 9), se usa en su lugar el término efecto Stark cuadrático.

\({ }^{8}\)Este valor corresponde aproximadamente al umbral de avería eléctrica en el aire en condiciones ambientales, debido a la ionización de impacto. Como resultado, los experimentos con campos de dc más altos son bastante difíciles.