7.3: Dinámica del Sistema Abierto- Desfase

Hasta el momento hemos discutido el operador de densidad como algo dado en un momento determinado instante. Ahora discutamos cómo se forma, es decir, su evolución en el tiempo, partiendo del caso más simple cuando las probabilidades que\(W_{j}\) participan en la ecuación (15) son independientes del tiempo, por esta o aquella razón, para ser discutidas en un momento. En este caso, en la imagen de Schrödinger, podemos reescribir la Eq. (15) como\[\hat{w}(t)=\sum_{j}\left|w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)\right| .\] Tomando una derivada del tiempo de ambos lados de esta ecuación, multiplicándolos por\(i \hbar\), y aplicando la Eq. (4.158) a los estados base\(w_{j}\), con la cuenta de que el operador hamiltoniano es Hermitiano, obtenemos\[\begin{aligned} i \hbar \dot{\hat{w}} &=i \hbar \sum_{j}\left(\left|\dot{w}_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)|+| w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle\dot{w}_{j}(t)\right|\right) \\ &=\sum_{j}\left(\hat{H}\left|w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)|-| w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)\right| \hat{H}\right) \\ & \equiv \hat{H} \sum_{j}\left|w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)\left|-\sum_{j}\right| w_{j}(t)\right\rangle W_{j}\left\langle w_{j}(t)\right| \hat{H} \end{aligned}\] Ahora usando la Eq. (64) otra vez (dos veces), obtenemos la llamada ecuación de von Neumann\(^{22}\)\[i \hbar \dot{\hat{w}}=[\hat{H}, \hat{w}] .\] Tenga en cuenta que esta ecuación es similar en estructura a la Eq. (4.199) que describe la evolución temporal de los operadores independientes del tiempo en los operadores de imagen de Heisenberg: \[i \hbar \dot{\hat{A}}=[\hat{A}, \hat{H}]\]además del orden opuesto de los operadores en el conmutador, equivalente al cambio de signo del lado derecho. Esto no debería ser demasiado sorprendente, porque la ecuación (66) pertenece al cuadro Schrödinger de dinámica cuántica, mientras que la ecuación (67), a su imagen de Heisenberg.

El caso más importante cuando la ecuación de von Neumann es (aproximadamente) válida es cuando el “propio” hamiltoniano\(\hat{H}_{s}\) del sistema\(s\) de nuestro interés es independiente del tiempo, y su interacción con el entorno es tan pequeña que su efecto en la evolución del sistema durante el considerado intervalo de tiempo es insignificante, pero había durado tanto que poco a poco puso el sistema en un estado no puro -por ejemplo, pero no necesariamente, en la mezcla clásica (24). \({ }^{23}\)(Este es un ejemplo del segundo caso discutido en la Sec. 1, cuando necesitamos la descripción de conjunto mixto del sistema aunque su interacción actual con el entorno sea insignificante). Si la interacción con el entorno es más fuerte, y por lo tanto no es despreciable en el intervalo de tiempo considerado, la ecuación (66) generalmente no es válida,\({ }^{24}\) porque las probabilidades\(W_{j}\) pueden cambiar en el tiempo. Sin embargo, esta ecuación todavía puede ser utilizada para una discusión de un efecto importante del entorno, a saber, la desfase (también llamada “decoherencia”), dentro de un modelo simple.Comencemos con el siguiente modelo general un sistema que interactúa con su entorno, el cual será utilizado a lo largo de este capítulo:\[\hat{H}=\hat{H}_{s}+\hat{H}_{e}\{\lambda\}+\hat{H}_{\text {int }}\] donde\(\{\lambda\}\) denota el (enorme) conjunto de grados de libertad del medio ambiente. \({ }^{25}\)Evidentemente, este modelo solo es útil si de alguna manera podemos domar el enorme tamaño del espacio Hilbert de estos grados de libertad, y así elaborar los cálculos hasta llegar a un resultado prácticamente simple. Esto resulta ser posible sobre todo si el acto elemental de interacción del sistema y su entorno es en cierto sentido pequeño. A continuación, describiré varios casos en los que esto es cierto; el ejemplo clásico es la partícula browniana que interactúa con las moléculas del gas o fluido circundante. \({ }^{26}\)(En este ejemplo, un solo golpe de una molécula cambia el impulso de la partícula en una fracción menor). Por otro lado, el modelo (68) no es muy productivo para una partícula que interactúa con el ambiente consistente en partículas similares, cuando una sola colisión puede cambiar su impulso dramáticamente. En tales casos, los métodos discutidos en el siguiente capítulo son más relevantes.

Ahora analicemos un modelo muy simple de un sistema cuántico abierto de dos niveles, con su intrínseca hamiltoniana teniendo la forma\[\hat{H}_{s}=c_{z} \hat{\sigma}_{z},\] similar a la hamiltoniana Pauli (4.163),\({ }^{27}\) y una interacción factoriable, bilineal - cf. Ec. (6.145) y su discusión:\[\hat{H}_{\text {int }}=\hat{f}\{\lambda\} \hat{\sigma}_{z},\] dónde \(\hat{f}\)es un operador hermitiano que depende únicamente del conjunto\(\{\lambda\}\) de grados de libertad ambiental (“coordenadas”), definidos en su espacio Hilbert, diferente al del sistema de dos niveles. Como resultado, los operadores\(\hat{f}\{\lambda\}\) y\(\hat{H}_{e}\{\lambda\}\) viajan con\(\hat{\sigma}_{z}\) - y con cualquier otro operador intrínseco del sistema de dos niveles. Por supuesto, cualquier realista\(\hat{H}_{e}\{\lambda\}\) es sumamente complejo, por lo que cuánto podremos lograr sin especificarlo, puede ser una grata sorpresa para el lector.Antes de proceder al análisis, reconozcamos dos ejemplos de sistemas de dos niveles que pueden ser descritos por este modelo. El primer ejemplo es un giro-\(1 / 2\) en un campo magnético externo de una dirección fija (tomada para el eje\(z\)), que incluye tanto una componente\(\overline{\mathcal{B}}\) promedio como una componente aleatoria (fluctuante)\(\widetilde{\mathcal{B}_{z}}(t)\) inducida por el entorno. Como se desprende de la Ec. (4.163b), puede ser descrita por el hamiltoniano (68) - (70) con\[c_{z}=-\frac{\hbar \gamma}{2} \overline{\mathscr{B}}_{z}, \quad \text { and } \quad \hat{f}=-\frac{\hbar \gamma}{2} \overbrace{\widetilde{B}_{z}}(t) .\] Otro ejemplo es una partícula en un potencial simétrico de doble pozo\(U_{s}\) (Fig. 4), con una barrera entre ellos suficientemente alta para ser prácticamente impenetrable, y una fuerza adicional \(F(t)\), ejercida por el medio ambiente, de manera que la energía potencial total es\(U(x, t)=U_{s}(x)-F(t) x\). Si la fuerza, incluyendo su parte estática\(\bar{F}\) y fluctuaciones\(\widetilde{F}(t)\), es suficientemente débil, podemos descuidar sus efectos sobre la forma de los pozos potenciales y, por lo tanto, sobre las funciones de onda localizadas\(\psi_{\mathrm{L}, \mathrm{R}}\), de manera que el efecto de fuerza se reduce a la variación de la diferencia\(E_{\mathrm{L}}-E_{\mathrm{R}}=F(t) \Delta x\) entre las energías propias. Como resultado, el sistema puede ser descrito por las ecuaciones (68) - (70) con\[c_{z}=-\bar{F} \Delta x / 2 ; \quad \hat{f}=-\hat{\widetilde{F}}(t) \Delta x / 2 .\]

Fig. 7.4. Desfase en un sistema de doble pozo.

Comencemos nuestro análisis general del modelo descrito por las ecuaciones (68) - (70) escribiendo la ecuación de movimiento para el operador de Heisenberg\(\hat{\sigma}_{z}(t)\):\[i \hbar \dot{\hat{\sigma}}_{z}=\left[\hat{\sigma}_{z}, \hat{H}\right]=\left(c_{z}+\hat{f}\right)\left[\hat{\sigma}_{z}, \hat{\sigma}_{z}\right]=0,\] mostrando que en nuestro modelo simple (68) - (70), el operador\(\hat{\sigma}_{z}\) no evoluciona en el tiempo. ¿Qué significa esto para los observables? Para una matriz de densidad arbitraria de cualquier sistema de dos niveles,\[w=\left(\begin{array}{ll} w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \end{array}\right),\] podemos calcular fácilmente la traza del operador\(\hat{\sigma}_{z} \hat{w}\). En efecto, dado que las trazas del operador son basisindependent, podemos hacer esto en cualquier base, en particular en la\(z\) base habitual:\[\operatorname{Tr}\left(\hat{\sigma}_{z} \hat{w}\right)=\operatorname{Tr}\left(\sigma_{z} \mathrm{w}\right)=\operatorname{Tr}\left[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \end{array}\right)\right]=w_{11}-w_{22}=W_{1}-W_{2} .\] Ya que, de acuerdo con la Ec. (5),\(\hat{\sigma}_{z}\) puede considerarse el operador para la diferencia del número de partículas en los estados base 1 y 2, en\((73)\) el caso de que la diferencia\(W_{1}-W_{2}\) no dependa del tiempo, y como también se fija la suma de estas probabilidades\(W_{1}+W_{2}=1\),, ambas son constantes. La física de este simple resultado es especialmente clara para el modelo mostrado en la Fig. 4: dado que la barrera potencial que separa los pozos potenciales es tan alta que la tunelización a través de ella es insignificante, la interacción con el entorno no puede mover el sistema de un pozo a otro.

Puede parecer que nada interesante puede pasar en una situación tan sencilla, pero en un minuto veremos que esto no es cierto. Debido a la independencia temporal de\(W_{1}\) y\(W_{2}\), podemos usar la ecuación de von Neumann (66) para describir la evolución de la matriz de densidad. En la\(z\) base habitual:\[\begin{aligned} i \hbar \dot{\mathrm{w}} & \equiv i \hbar\left(\begin{array}{ll} \dot{w}_{11} & \dot{w}_{12} \\ \dot{w}_{21} & \dot{w}_{22} \end{array}\right)=[\mathrm{H}, \mathrm{w}] \equiv\left(c_{z}+\hat{f}\right)\left[\sigma_{z}, \mathrm{w}\right] \\ & \equiv\left(c_{z}+\hat{f}\right)\left[\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} w_{11} & w_{12} \\ w_{21} & w_{22} \end{array}\right)\right]=\left(c_{z}+\hat{f}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 w_{12} \\ -2 w_{21} & 0 \end{array}\right) . \end{aligned}\] Este resultado significa que mientras los elementos diagonales, es decir, las probabilidades de los estados, no evolucionan en el tiempo (como ya sabemos), los elementos fuera de la diagonal sí cambian; por ejemplo,\[i \hbar \dot{w}_{12}=2\left(c_{z}+\hat{f}\right) w_{12},\] con una ecuación similar pero compleja-conjugada para \(w_{21}\). La solución de esta ecuación diferencial lineal (77) es directa, y rinde\[w_{12}(t)=w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 c_{z}}{\hbar} t\right\} \exp \left\{-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{t} \hat{f}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right\} .\] El primer exponente es un factor determinístico\(c\) -numérico, mientras que en la segunda\(\hat{f}(t) \equiv \hat{f}\{\lambda(t)\}\) sigue siendo un operador en el espacio Hilbert del entorno, pero desde el punto de vista del sistema de dos niveles de nuestro interés, es una función aleatoria del tiempo. La parte promedio de tiempo de esta función puede incluirse en\(c_{z}\), así que en lo que sigue, asumiremos que es igual a cero.

Partimos desde el límite cuando el ambiente se comporta de manera clásica. \({ }^{28}\)En este caso, el operador en la ecuación (78) puede ser considerado como una función aleatoria clásica del tiempo\(f(t)\), siempre que promediemos sus efectos sobre un conjunto estadístico de muchas funciones que\(f(t)\) describen muchos experimentos (macroscópicamente similares). Para un pequeño intervalo de tiempo\(t=d t \rightarrow 0\), podemos usar la expansión Taylor del exponente, truncándola después del término cuadrático:\[\begin{aligned} \left\langle\exp \left\{-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{d t} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right\}\right.& \approx 1+\left\langle-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{d t} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right\rangle+\left\langle\frac{1}{2}\left(-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{d t} f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right)\left(-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{d t} f\left(t^{\prime \prime}\right) d t^{\prime \prime}\right)\right\rangle \\ & \equiv 1-i \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{d t}\left\langle f\left(t^{\prime}\right)\right\rangle d t^{\prime}-\frac{2}{\hbar^{2}} \int_{0}^{d t} d t^{\prime} \int_{0}^{d t} d t^{\prime \prime}\left\langle f\left(t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle \equiv 1-\frac{2}{\hbar^{2}} \int_{0}^{d t} d t^{d t} \int_{0}^{d t} d t^{\prime \prime} K_{f}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) . \end{aligned}\] Aquí hemos utilizado los hechos de que el promedio estadístico de\(f(t)\) es igual a cero, mientras que el segundo promedio, llamado la función de correlación, en un estado estacionario estadísticamente (es decir, macroscópicamente) de cualquier entorno solo puede depender de la diferencia de tiempo\(\tau \equiv t^{\prime}-t^{\prime \prime}\):\[\left\langle f\left(t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle=K_{f}\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) \equiv K_{f}(\tau) .\] Si esta diferencia es mucho mayor que alguna escala de tiempo\(\tau_{\mathrm{c}}\), llamada el tiempo de correlación del entorno, los valores \(f\left(t^{\prime}\right)\)y\(f\left(t^{\prime \prime}\right)\) son completamente independientes (no correlacionados), como se ilustra en la Fig. \(5 \mathrm{a}\), de manera que at\(\tau\)\(\rightarrow \infty\), la función de correlación tiene que tender a cero. Por otro lado, at\(\tau=0\), es decir\(t\) '\(=t\)”, la función de correlación es solo la varianza de\(f\):

\[K_{f}(0)=\left\langle f^{2}\right\rangle,\]y tiene que ser positivo. Como resultado, la función se ve (semicuantitativamente) como se muestra en la Fig. \(5 \mathrm{~b}\).

Fig. 7.5. (a) Un proceso aleatorio típico y (b) su función de correlación - esquemáticamente.

De ahí que si solo nos interesan las diferencias de tiempo\(\tau\) mucho más largas que\(\tau_{\mathrm{c}}\), lo cual suele ser muy corto, podemos aproximarnos\(K_{f}(\tau)\) bien con una función delta de la diferencia de tiempo. Tomémoslo de la siguiente forma, conveniente para su posterior discusión:\[K_{f}(\tau) \approx \hbar^{2} D_{\varphi} \delta(\tau),\] donde\(D_{\varphi}\) se encuentra una constante positiva llamada coeficiente de difusión de fase. El origen de este término deriva del efecto muy similar de la difusión clásica de partículas brownianas en un medio altamente viscoso. De hecho, la velocidad de la partícula en dicho medio es aproximadamente proporcional a la fuerza externa. Por lo tanto, si los impactos aleatorios de una partícula por las moléculas del medio pueden ser descritos por una fuerza que obedece a una ley similar a la Ec. (82), la velocidad (a lo largo de cualquier coordenada cartesiana) también se correlaciona delta:\[\langle v(t)\rangle=0, \quad\left\langle v\left(t^{\prime}\right) v\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle=2 D \delta\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) .\] Ahora podemos integrar la relación cinemática\(\dot{x}=v\), para calcular las partículas desplazamiento desde su posición inicial durante un intervalo de tiempo\([0, t]\) y su varianza:\[\begin{gathered} x(t)-x(0)=\int_{0}^{t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}, \\ \left\langle(x(t)-x(0))^{2}\right\rangle=\left\langle\int_{0}^{t} v\left(t^{\prime}\right) d t^{t} \int_{0}^{t} v\left(t^{\prime \prime}\right) d t^{\prime \prime}\right\rangle=\int_{0}^{t} d t^{t} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime}\left\langle v\left(t^{\prime}\right) v\left(t^{\prime \prime}\right)\right\rangle=\int_{0}^{t} d t^{\prime} \int_{0}^{t} d t^{\prime \prime} 2 D \delta\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right)=2 D t . \end{gathered}\] Esta es la famosa ley de difusión, mostrando que la desviación r.m.s. de la partícula desde el punto inicial crece con el tiempo como\((2 D t)^{1 / 2}\), donde la constante \(D\)se llama el coeficiente de difusión.

Volviendo a la difusión de la fase cuántico-mecánica, con la Ec. (82) la última doble integral en la Ec. (79) rinde\(\hbar^{2} D_{\varphi} d t\), de manera que el promedio estadístico de la Ec. (78) es\[\left\langle w_{12}(d t)\right\rangle=w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 c_{z}}{\hbar} d t\right\}\left(1-2 D_{\varphi} d t\right) .\] Aplicando esta fórmula a intervalos de tiempo secuenciales,\[\left\langle w_{12}(2 d t)\right\rangle=\left\langle w_{12}(d t)\right\rangle \exp \left\{-i \frac{2 c_{z}}{\hbar} d t\right\}\left(1-2 D_{\varphi} d t\right)=w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 c_{z}}{\hbar} 2 d t\right\}\left(1-2 D_{\varphi} d t\right)^{2},\] etc., por un tiempo finito\(t=N d t\), en el límite\(N \rightarrow \infty\) y\(d t \rightarrow 0\) (a fijo\(t\)) obtenemos\[\left\langle w_{12}(t)\right\rangle=w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 c_{z}}{\hbar} t\right\} \times \lim _{N \rightarrow \infty}\left(1-2 D_{\varphi} t \frac{1}{N}\right)^{N} .\] Por la definición de la base logaritmo natural\(e,{ }^{29}\) este límite es justo\(\exp \left\{-2 D_{\varphi} t\right\}\), de manera que, finalmente:\[\left\langle w_{12}(t)\right\rangle=w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 a}{\hbar} t\right\} \exp \left\{-2 D_{\varphi} t\right\} \equiv w_{12}(0) \exp \left\{-i \frac{2 a}{\hbar} t\right\} \exp \left\{-\frac{t}{T_{2}}\right\} .\] Entonces, debido al acoplamiento al entorno, los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad se desintegran con cierto tiempo de desfase\(T_{2}=1 / 2 D_{\varphi}\), proporcionando una evolución natural desde la matriz de densidad (22) de estado puro a la matriz diagonal (23), con las mismas probabilidades\(W_{1,2}\), describiendo una completamente desfasada (incoherente) mezcla clásica. \({ }^{30}\)

Este sencillo modelo ofrece una mirada muy clara a la naturaleza de la decoherencia: la “fuerza” aleatoria\(f(t)\), ejercida por el entorno, “sacude” la diferencia de energía entre dos estados propios del sistema y de ahí la velocidad instantánea\(2\left(c_{z}+f\right) / \hbar\) de su desplazamiento de fase mutuo \(\varphi(t)-\)cf. Ec. (22). Debido a la aleatoriedad de la fuerza,\(\varphi(t)\) realiza una caminata aleatoria alrededor del círculo trigonométrico, de manera que el promedio de sus funciones trigonométricas a lo\(\exp \{\pm i \varphi\}\) largo del tiempo tiende gradualmente a cero, matando los elementos offdiagonal de la matriz de densidad. Nuestro análisis, sin embargo, ha dejado abiertos dos temas importantes:

(i) ¿Este enfoque es válido para una descripción cuántica de un ambiente típico?

ii) En caso afirmativo, ¿qué es físicamente lo\(D_{\varphi}\) que fue formalmente definido por la Ec. (82)?

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\({ }^{22}\)En algunos textos, se le llama la “ecuación de Liouville”, debido a su proximidad filosófica al teorema clásico de Liouville para la función de distribución clásica\(w_{\mathrm{cl}}(X, P)\) - véase, por ejemplo, SM Sec. \(6.1\)y en particular la Ec. (6.5).

\({ }^{23}\)En el último caso, el operador estadístico es diagonal en la base del estado estacionario y por lo tanto viaja con el hamiltoniano. De ahí que el lado derecho de la ecuación (66) se desvanezca, y muestra que en esta base, la matriz de densidad es completamente independiente del tiempo.

\({ }^{24}\)Muy desgraciadamente, este hecho no se explica en algunos libros de texto, que citan la ecuación de von Neumann sin las calificaciones adecuadas.

\({ }^{25}\)Tenga en cuenta que al escribir la Ec. (68), estamos tratando a todo el sistema, incluido el medio ambiente, como uno hamiltoniano. Esto siempre se puede hacer si la parte contabilizada del entorno es lo suficientemente grande como para que los procesos en el sistema\(s\) de nuestro interés no dependan del tipo de límite entre esta parte y el entorno “externo” (aún mayor); en particular, podemos suponer que el sistema total es cerrado, es decir, hamiltoniano.

\({ }^{26}\)La teoría del movimiento browniano, el efecto observado por primera vez experimentalmente por el biólogo Robert Brown en el\(1820 \mathrm{~s}\), fue pionera por Albert Einstein en 1905 y desarrollada en detalle por Marian Smoluchowski en 1906-1907 y Adriaan Fokker en 1913. Debido a este trasfondo histórico, en algunos textos más antiguos, el enfoque descrito en el balance de este capítulo se llama la “teoría cuántica del movimiento browniano”. Permítanme, sin embargo, enfatizar que debido al avance posterior de las técnicas experimentales, los comportamientos cuántico-mecánicos, incluyendo los efectos ambientales en ellas, se han observado en un número cada vez mayor de diversos sistemas cuasi-macroscópicos, para lo cual este enfoque es bastante aplicable. En particular, esto es cierto para la mayoría de los sistemas que se están explorando como posibles qubits de posibles sistemas de computación cuántica y cifrado - ver Sec. \(8.5\)a continuación.

\({ }^{27}\)Como sabemos por Secs. \(4.6\)y 5.1, tal hamiltoniano es suficiente para levantar la degeneración del nivel energético.

\({ }^{28}\)Esta suposición no está en contradicción con la necesidad del tratamiento cuántico del sistema de dos niveles\(s\), ya que un ambiente típico es grande, y por lo tanto tiene un espectro de energía muy denso, con las distancias adyacentes a niveles que pueden ser fácilmente puenteados por excitaciones de pequeñas energías, a menudo haciéndola esencialmente clásica.

\({ }^{29}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (1.2a) con\(n=-N / 2 D_{\varnothing} t\).

\({ }^{30}\)Obsérvese que este resultado es válido solo si la aproximación (82) puede aplicarse en un intervalo de tiempo\(d t\) que, a su vez, debería ser mucho menor que el\(T_{2}\) de la ecuación (88), es decir, si el tiempo de desfase es mucho más largo que el tiempo de correlación del entorno \(\tau_{\mathrm{c}}\). Este requisito puede cumplirse siempre haciendo que el acoplamiento al medio ambiente sea suficientemente débil. Además, en ambientes típicos,\(\tau_{\mathrm{c}}\) es muy corto. Por ejemplo, en los experimentos originales de movimiento browniano con unos pocos- granos de\(\mu \mathrm{m}\) polen en agua, es del orden del intervalo promedio entre impactos moleculares secuenciales, del orden de\(10^{-21} \mathrm{~s}\).