8.1: Partículas distinguibles e indistinguibles

La importancia de los sistemas cuánticos de muchas partículas similares es probablemente evidente por sí misma; solo el hecho mismo de que la mayoría de los átomos incluyan varios/muchos electrones es suficiente para atraer nuestra atención. También hay sistemas importantes donde el número total de electrones es mucho mayor que en un átomo; por ejemplo, un centímetro cúbico de un metal típico alberga electrones de\(\sim 10^{23}\) conducción que no pueden atribuirse a átomos particulares, y tienen que ser considerados como partes comunes del sistema como el entero. Aunque la mecánica cuántica prácticamente no ofrece resultados analíticos exactos para sistemas de partículas\({ }^{1}\) que interactúan sustancialmente, revela nuevos efectos cuánticos muy importantes incluso en los casos más simples cuando las partículas no interactúan, y menos explícitamente (directamente).

Si las partículas que no interactúan son diferentes entre sí por su naturaleza, o físicamente similares pero aún distinguibles por otras razones, todo es simple, al menos, conceptualmente. Entonces, como ya se discutió en la Sec. 6.7, un sistema de dos partículas, 1 y 2, cada una en un estado cuántico puro, puede ser descrito por un vector de estado que es un producto directo,\[|\alpha\rangle=|\beta\rangle_{1} \otimes\left|\beta^{\prime}\right\rangle_{2},\] Distinguir- de vectores de una sola partícula, describiendo sus estados\(\beta\) y\(\beta\) 'definido en diferentes espacios de Hilbert. (A continuación, podré usar frecuentemente, para tal producto directo, la siguiente taquigrafía conveniente:\[\begin{aligned} &\text { able } \text { particles } \text { will frequently use, for such direct product, the following conve } \\ &\qquad|\alpha\rangle=\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle \end{aligned}\] en la que el número de la partícula está codificado por la posición del símbolo de estado.) De ahí que el estado permutado\[\hat{\mathcal{P}}\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle \equiv\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle \equiv\left|\beta^{\prime}\right\rangle_{1} \otimes|\beta\rangle_{2},\] donde\(\hat{P}\) está el operador de permutación definido por la Ec. (2), es claramente diferente del inicial.

Este operador también puede ser utilizado para estados de sistemas de partículas idénticas. En física, el último término puede ser utilizado para describir:

(i) las partículas “realmente elementales” como electrones, que (al menos en esta etapa de desarrollo de la física) son consideradas como entidades sin estructura, y por lo tanto son todas idénticas;

(ii) cualquier objeto (por ejemplo, hadrones o mesones) que pueda considerarse como un sistema de partículas “más elementales” (por ejemplo, quarks y gluones), pero que se coloquen en el mismo estado cuántico interno, lo más simple, aunque no necesariamente, en el estado fundamental. \({ }^{2}\)

Es importante señalar que las partículas idénticas aún pueden ser distinguibles, digamos por su clara separación espacial. Tales sistemas de partículas (o subsistemas) similares pero distinguibles se discuten ampliamente hoy en día en el contexto de la computación cuántica y el cifrado - ver Sec. 5 a continuación. Por ello es insuficiente utilizar el término “partículas idénticas” si queremos decir que son genuinamente indistinguibles, así que a continuación voy a usar este último término, a pesar de ser bastante desagradable gramaticalmente.

Resulta que para una descripción cuantitativa de sistemas de partículas indistinguibles necesitamos usar, en lugar de productos directos del tipo (1), combinaciones lineales de dichos productos, por ejemplo de\(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle\) y\(\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle .{ }^{3}\) Para ver esto, discutamos las propiedades de la operador de permutación definido por la Ec. (2). Considerar un observable\(A\), y un sistema de estados propios de su operador:\[\hat{A}\left|a_{j}\right\rangle=A_{j}\left|a_{j}\right\rangle .\] Si las partículas son indistinguibles, el valor de expectativa del observable no debe verse afectado por su permutación. De ahí que los operadores\(\hat{A}\) y\(\hat{\mathcal{P}}\) tengan que viajar y compartir sus propios estados. Es por ello que los autoestados del operador\(\hat{\mathcal{P}}\) son tan importantes: en particular, incluyen los autoestados del hamiltoniano, es decir, los estados estacionarios de un sistema de partículas indistinguibles.Echemos un vistazo a la acción del operador de permutación al cuadrado, sobre un ket- producto vectorial:\[\hat{\mathcal{P}}^{2}\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle=\hat{\mathcal{P}}\left(\hat{\mathcal{P}}\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle\right)=\hat{\mathcal{P}}\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle=\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle,\] es decir,\(\hat{P}^{2}\) devuelve el estado a su forma original. Dado que cualquier estado puro de un sistema de dos partículas puede representarse como una combinación lineal de dichos productos, este resultado no depende del estado, y puede representarse como la siguiente relación de operador:\[\hat{P}^{2}=\hat{I} \text {. }\] Ahora encontremos los posibles valores propios\(\mathcal{P}_{j}\) de la permutación operador. Actuando por ambos lados de la ecuación (5) sobre cualquiera de los autoestados\(\left|\alpha_{j}\right\rangle\) del operador de permutación, obtenemos una ecuación muy simple para sus valores propios:\[\mathcal{P}_{j}^{2}=1,\] con dos soluciones posibles:\[\mathcal{P}_{j}=\pm 1 .\] Encontremos los estados propios del operador de permutación en el caso más simple cuando cada uno de los las partículas componentes pueden estar solo en uno de los dos estados de una sola partícula, digamos,\(\beta\) y\(\beta\) '. Evidentemente, ninguno de los productos simples\(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle\) y\(\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle\), tomado solo, sí califica para el eigenstate -salvo que los estados\(\beta\) y\(\beta^{\prime}\) sean idénticos. Es por ello que intentemos su combinación lineal\[\hat{\mathcal{P}}\left|\alpha_{j}\right\rangle=\mathcal{P}_{j}\left|\alpha_{j}\right\rangle=a\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle+b\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle .\] para\[\left|\alpha_{j}\right\rangle=a\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle+b\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle,\] que para el caso\(\mathcal{P}_{j}=+1\) tengamos que exigir que los estados (8) y (9) sean los mismos, de manera que\(a=b\), dando el llamado eigenstate simétrico\(^{4}\)\[\left|\alpha_{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle+\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle\right),\] donde el frente garantiza la ortonormalidad de los vectores de estado de dos partículas, siempre que los vectores de una sola partícula sean ortonormales. Del mismo modo, para\(\mathcal{P}_{j}=-1\) obtenemos\(a=-b\), es decir, un autoestado antisimétrico\[\left|\alpha_{-}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle-\left|\beta^{\prime} \beta\right\rangle\right)\] Estos son los ejemplos más simples (de dos partículas, dos estados) de estados enredados, definidos como estados de sistema multipartículas cuyos vectores no pueden ser factorizados en un producto directo (1) de un solo vectores de partículas.

Hasta el momento, nuestras matemáticas no excluyen ninguno de los signos de\(\mathcal{P}_{i}\), en particular la posibilidad de que el signo dependa del estado (es decir, del índice\(j\)). Aquí, sin embargo, viene en un hecho crucial: todas las partículas indistinguibles se agrupan en dos grupos:\({ }^{5}\)

(i) bosones, partículas con espín entero\(s\), para cuyos estados\(\mathcal{P}_{j}=+1\), y

(ii) fermiones, partículas con espín semientero, con\(\mathcal{P}_{j}=-1\).

En la teoría no relativista que estamos discutiendo ahora, este hecho clave debe considerarse como experimental. (La teoría cuántica relativista, cuyos elementos se discutirán en el Capítulo 9, ofrece una prueba de que las partículas de espín medio entero no pueden ser bosones y las de espín entero no pueden ser fermiones). Sin embargo, nuestra discusión sobre el giro en la Sec. \(5.7\)permite la siguiente interpretación manual de la diferencia entre estas dos especies de partículas. En el espacio libre, la permutación de las partículas 1 y 2 puede verse como resultado de la rotación común de su par por ángulo\(\phi=\pm \pi\) alrededor de un\(z\) eje seleccionado correctamente. Como hemos visto en la Sec. 5.7, en la rotación por este ángulo, el vector\(|\beta\rangle\) de estado de una partícula con un número cuántico definido\(m_{s}\) adquiere un factor extra\(\exp \left\{\pm i m_{s} \pi\right\}\). Como sabemos, el número cuántico\(m_{s}\) va desde\(-s\) hasta\(+s\), en pasos unitarios. Como resultado, para los bosones, con entero\(s, m_{s}\) puede tomar solo valores enteros, de manera que\(\exp \left\{\pm i m_{s} \pi\right\}=\pm 1\), de manera que el producto de dos de tales factores en el estado producto\(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle\) sea igual a\(+1\). Por el contrario, para los fermiones con su semientero\(s\), todos\(m_{s}\) son también semienteros, de manera que\(\exp \left\{\pm i m_{s} \pi\right\}=\pm i\) así el producto de dos de tales factores en vector\(\left|\beta \beta^{\prime}\right\rangle\) es igual a\((\pm i)^{2}=-1\).

Los corolarios más impresionantes de las ecuaciones (10) y (11) son para el caso cuando los estados parciales de las dos partículas son los mismos:\(\beta=\beta\) '. El estado Bose correspondiente\(\alpha_{+}\), definido por la ecuación (10), es posible; en particular, a temperaturas suficientemente bajas, un conjunto de partículas de Bose no interaccionantes se condensa en el estado fundamental, el llamado condensado de Bose-Einstein (“BEC”). \({ }^{6}\)La característica más fascinante de los condensados es que su dinámica se rige por leyes mecánicas cuánticas, las cuales pueden manifestarse en el comportamiento de sus observables prácticamente sin incertidumbres cuánticas\(^{7}-\) ver, e.g., Eq. (1.73) - (1.74).

Por otro lado, si tomamos\(\beta=\beta^{\prime}\) en la Ec. (11), vemos que el estado\(\alpha\) se convierte en el estado nulo, es decir, no puede existir en absoluto. Esta es la expresión matemática del principio de exclusión Pauli:\(^{8}\) dos fermiones indistinguibles no pueden colocarse en el mismo estado cuántico. (Como se discutirá más adelante, esto también es cierto para sistemas con más de dos fermiones). Probablemente, la importancia clave de este principio es evidente por sí misma: si no fuera válido para los electrones (que son fermiones), todos los electrones de cada átomo se condensarían en su estado de tierra (\(1 s\)como), y toda la química habitual (y bioquímica, y biología, ¡incluida nuestra querida!) no existirían. El principio Pauli hace que los fermiones interactúen implícitamente aunque no interactúen directamente, es decir, en el sentido habitual de esta palabra.

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\({ }^{1}\)Como se enfatizó en\(\mathrm{Sec} .7 .3\), para tales sistemas de partículas similares los poderosos métodos discutidos en el último capítulo, basados en la separación de todo el Universo en un “sistema de nuestro interés” y su “entorno”, típicamente no funcionan bien, principalmente porque el estado cuántico de la “partícula de interés” puede estar sustancialmente correlacionado (en particular, enredado) con los de partículas similares que forman su “entorno” - ver más adelante.

\({ }^{2}\)Obsérvese que desde este punto de vista, incluso átomos o moléculas complejas, en el mismo estado cuántico interno, pueden considerarse en pie de igualdad que las partículas “realmente elementales”. Por ejemplo, los ya mencionados experimentos espectaculares de interferencia recientes de R. Lopes et al., que requieren identidad de partículas, se llevaron a cabo con parejas de\({ }^{4} \mathrm{He}\) átomos en el mismo estado cuántico interno.

\({ }^{3}\)Una pregunta muy legítima es por qué, ante esta situación, necesitamos introducir los números de las partículas para empezar. Una respuesta parcial es que en este enfoque, es mucho más sencillo derivar (o adivinar) el sistema hamiltonianos del principio de correspondencia - véase, por ejemplo, la Ec. (27) a continuación. Más adelante en este capítulo, discutiremos un enfoque alternativo (la llamada “segunda cuantificación”), en el que se evita la numeración de partículas. Si bien ese enfoque es más lógico, escribir hamiltonianos adecuados (lo que, en particular, evitaría la autointeracción espuria de las partículas) dentro de él es más desafiante\(-\) ver Sec. 3 a continuación.

\({ }^{4}\)Como en muchas situaciones que nos hemos encontrado antes, los kets dados por las ecuaciones (10) y (11) pueden multiplicarse por\(\exp \{i \varphi\}\) con una fase real arbitraria\(\varphi\). Sin embargo, hasta que no se discutan las superposiciones coherentes de varios estados\(\alpha\), no hay una buena motivación para tomar la fase diferente a 0; eso solo llenaría la notación.

\({ }^{5}\)En ocasiones este hecho se describe como que tiene dos “estadísticas” diferentes: la estadística de bosones de Bose-Einstein y la estadística Fermi-Dirac de fermiones, porque sus distribuciones estadísticas en equilibrio térmico son ciertamente diferentes - ver, e.g., SM Sec. 2.8. Sin embargo, esta diferencia es en realidad más profunda: estamos tratando con dos mecánicas cuánticas diferentes.

\({ }^{6}\)Para una discusión cuantitativa de la condensación de Bose-Einstein ver, e.g., SM Sec. 3.4. Ejemplos de tales condensados incluyen superfluidos como helio, condensados de Cooper-par en superconductores y BEC de átomos que interactúan débilmente.

\({ }^{7}\)Por ejemplo, para un condensado coherente de\(N \gg 1\) partículas, la relación de incertidumbre de Heisenberg toma la forma\(\delta x \delta p=\delta x \delta(N m v) \geq \hbar / 2\), de manera que su coordenada\(x\) y velocidad\(v\) pueden medirse simultáneamente con mucho mayor precisión que las de una sola partícula.

\({ }^{8}\)Fue formulado por primera vez para electrones por Wolfgang Pauli en 1925, sobre el fondo de reglas menos generales sugeridas por Gilbert Lewis (1916), Irving Langmuir (1919), Niels Bohr (1922) y Edmund Stoner (1924) para la explicación de datos espectroscópicos experimentales.