9.1: Cuantificación de Campo Electromagnético

La física clásica nos da\(^{3}\) la siguiente relación relativista general entre el impulso\(\mathbf{p}\) y la energía\(E\) de una partícula libre con masa de reposo\(m\), que puede simplificarse en dos límites: no relativista y ultra relativista: \[E=\left[(p c)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \rightarrow \begin{cases}m c^{2}+p^{2} / 2 m, & \text { for } p<<m c \\ p c, & \text { for } p>>m c\end{cases}\]En ambos límites, la transferencia de la mecánica clásica a la cuántica es más fácil que en el caso arbitrario. Dado que toda la parte anterior de este curso estuvo comprometida con el primer límite, no relativista, saltaré ahora a una breve discusión del límite ultrarrelativista\(p>>m c\), para un sistema particular pero muy importante: el campo electromagnético. Dado que actualmente se cree que las excitaciones de este campo, llamadas fotones, tienen masa de reposo cero,\(m,{ }^{4}\) la relación ultra-relativista\(E=p c\) es exactamente válida para cualquier energía fotónica\(E\), y el esquema de cuantificación es bastante sencillo.

Como es habitual, la cuantificación tiene que estar basada en la teoría clásica del sistema -en este caso, las ecuaciones de Maxwell. Como el caso más simple, consideremos el campo electromagnético dentro de un volumen de espacio libre finito limitado por paredes ideales, que reflejan perfectamente las ondas incidentes. \({ }^{5}\)Dentro del volumen, las ecuaciones de Maxwell dan una ecuación de onda simple\({ }^{6}\) para el campo eléctrico\[\nabla^{2} \mathscr{E}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial t^{2}}=0,\] y una ecuación absolutamente similar para el campo magnético\(\mathscr{B}\). Podemos buscar la solución general de la Ec. (2) en la forma de separación variable\[\mathscr{E}(\mathbf{r}, t)=\sum_{j} p_{j}(t) \mathbf{e}_{j}(\mathbf{r}) .\] Físicamente, cada término de esta suma es una onda estacionaria cuya distribución espacial y polarización (“modo”) son descritas por la función vectorial\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\), mientras que la dinámica temporal, por la función \(p_{j}(t)\). Conectando un término arbitrario de esta suma en la Ec. (2), y separando las variables exactamente como lo hicimos, por ejemplo, en la ecuación de Schrödinger en la Sec. 1.5, obtenemos\[\frac{\nabla^{2} \mathbf{e}_{j}}{\mathbf{e}_{j}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\ddot{p}_{j}}{p_{j}}=\text { const } \equiv-k_{j}^{2},\] para que la distribución espacial del modo satisfaga la ecuación 3D de Helmholtz:\[\nabla^{2} \mathbf{e}_{j}+k_{j}^{2} \mathbf{e}_{j}=0\] El conjunto de soluciones de esta ecuación, con condiciones de límite apropiadas, determina el conjunto de las funciones\(\mathbf{e}_{j}\), y simultáneamente el espectro de las magnitudes del número de onda\(k_{j}\). Estos últimos valores determinan las frecuencias propias de modo, siguiendo la ecuación (4):\[\ddot{p}_{j}+\omega_{j}^{2} p_{j}=0, \quad \text { with } \omega_{j} \equiv k_{j} c .\] Existe una gran diferencia filosófica entre el enfoque cuántico-mecánico de las ecuaciones (5) y (6), a pesar de su origen único (4). La primera ecuación (Helmholtz) puede ser bastante difícil de resolver en geometrías realistas,\({ }^{7}\) pero permanece intacta en la electrodinámica cuántica básica, con los componentes escalares de las funciones vectoriales\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\) aún tratados (en cada punto\(\mathbf{r}\)) como \(c\)-números. En contraste, la ecuación clásica (6) es fácilmente solucionable (dando oscilaciones sinusoidales con frecuencia\(\omega_{j}\)), pero aquí es exactamente donde podemos hacer la transferencia a la mecánica cuántica, porque ya sabemos cuantificar un oscilador armónico 1D mecánico, que en los clásicos obedece lo mismo ecuación.

Como es habitual, debemos comenzar con el hamiltoniano apropiado, el operador correspondiente a la función hamiltoniana clásica\(H\) del conjunto adecuado de coordenadas generalizadas y momenta. La función hamiltoniana del campo electromagnético (que en este caso coincide con la energía del campo) es\(^{8}\)\[H=\int d^{3} r\left(\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{2}+\frac{\mathscr{B}^{2}}{2 \mu_{0}}\right) .\] Representemos el campo magnético en una forma similar a la ecuación (3),\({ }^{9}\)\[\mathscr{B}(\mathbf{r}, t)=-\sum_{j} \omega_{j} q_{j}(t) \mathbf{b}_{j}(\mathbf{r}) .\] ya que, según las ecuaciones de Maxwell, en nuestro caso la magnética satisface la ecuación similar a la Ec. (2), la amplitud dependiente del tiempo\(q_{j}\) de cada uno de sus modos\(\mathbf{b}_{j}(\mathbf{r})\) obedece a una ecuación similar a la Eq. (6), es decir, en la teoría clásica también cambia en el tiempo sinusoidalmente, con la misma frecuencia\(\omega_{j}\). Conectando las Ecuaciones (3) y (8) en la Ecuación (7), podemos refundirla como\[H=\sum_{j}\left[\frac{p_{j}^{2}}{2} \int \varepsilon_{0} e_{j}^{2}(\mathbf{r}) d^{3} r+\frac{\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}}{2} \int \frac{1}{\mu_{0}} b_{j}^{2}(\mathbf{r}) d^{3} r\right] .\] Dado que la distribución de factores constantes entre dos operandos de multiplicación en cada término de la Ec. (3) es hasta ahora arbitraria, podemos fijarla requiriendo que la primera integral en la Eq. (9) sea igual a 1. Es sencillo verificar que de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, que dan una relación específica entre vectores\(\mathscr{E}\) y\(\mathscr{B},{ }^{10}\) esta normalización hace que la segunda integral en la Eq. (9) sea igual a 1 también, y la Ec. (9) se convierte en\[H=\sum_{j} H_{j}, \quad H_{j}=\frac{p_{j}^{2}}{2}+\frac{\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}}{2} .\] Note que eso \(p_{j}\)es el impulso generalizado legítimo correspondiente a la coordenada generalizada\(q_{\mathrm{j}}\), porque es igual a\(\partial L / \partial \dot{q}_{j}\), donde\(L\) está la función lagrangiana del campo - ver EM Eq. (9.217):\[L=\int d^{3} r\left(\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{2}-\frac{\mathscr{R}^{2}}{2 \mu_{0}}\right)=\sum_{j} L_{j}, \quad L_{j}=\frac{p_{j}^{2}}{2}-\frac{\omega_{j}^{2} q_{j}^{2}}{2} .\] De ahí que podamos llevar a cabo la procedimiento de cuantificación estándar, a saber declarar\(H_{j}, p_{j}\), y\(q_{j}\) los operadores cuántico-mecánicos relacionados exactamente como en la Ec. (10a),\[\hat{H}_{j}=\frac{\hat{p}_{j}^{2}}{2}+\frac{\omega_{j}^{2} \hat{q}_{j}^{2}}{2} .\] Vemos que este hamiltoniano coincide con el de un oscilador armónico 1D con la masa\(m_{j}\) formalmente igual a\(1,{ }^{11}\) y la frecuencia propia igual a\(\omega_{j}\). Sin embargo, para poder utilizar la Ec. (11) en la ecuación general (4.199) para la evolución temporal de los operadores Heisenberg-Picture\(\hat{p}_{j}\) y\(\hat{q}_{j}\), necesitamos conocer la relación de conmutación entre estos operadores. Para encontrarlos, calculemos el corchete de Poisson (4.204) para las funciones y\(A=q_{j}\)\(B=p_{j^{\prime \prime}}\), tomando en cuenta que en la mecánica hamiltoniana clásica, todas las coordenadas generalizadas\(q_{j}\) y los momentos correspondientes\(p_{j}\) tienen para ser considerados argumentos independientes de\(H\), sólo un término (con\(j=j^{\prime}=j^{\prime \prime}\)) en una sola de las sumas (12) (es decir, con\(j^{\prime}=j^{\prime \prime}\)), da un valor distinto de cero\((-1)\), de manera que

\[\ \left\{q_{j^{\prime},} p_{j^{\prime\prime}}\right\}_{\mathrm{P}} \equiv \sum_{j}\left(\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j^{\prime \prime}}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial q_{j}} \frac{\partial p_{j^{\prime \prime}}}{\partial p_{j^{}}}\right)=-\delta_{j^{\prime} j^{\prime \prime}}.\]

De ahí que de acuerdo con la regla general de cuantificación (4.205), la relación de conmutación de los operadores correspondientes a\(q_{j}\), y\(p_{j}\), es\[\left[\hat{q}_{j^{\prime}}, \hat{p}_{j^{\prime \prime}}\right]=i \hbar \delta_{j j^{\prime \prime}},\] decir, es exactamente la misma que para los componentes cartesianos habituales del radio-vector y el momento de una partícula mecánica \(-\)véase la Ec. (2.14).

Como ya sabe el lector, las ecuaciones (11) y (13) nos abren varias formas alternativas de proceder:

(i) Utilizar la mecánica de ondas Schrödinger-picture basada en las funciones de onda\(\Psi_{j}\left(q_{j}, t\right)\). Como sabemos por la Sec. 2.9, esta manera es inconveniente para la mayoría de las tareas, porque las funciones propias del oscilador armónico son bastante torpes.

(ii) Una manera sustancialmente mejor (para el caso del oscilador armónico) es escribir las ecuaciones de la evolución temporal de los operadores\(\hat{q}_{j}(t)\) y\(\hat{p}_{j}(t)\) en la imagen de Heisenberg de la dinámica cuántica.

(iii) Un enfoque aún más conveniente es usar ecuaciones similares a las ecuaciones (5.65) para descomponer los operadores de Heisenberg\(\hat{q}_{j}(t)\) y\(\hat{p}_{j}(t)\) en los operadores de creación-aniquilación\(\hat{a}_{j}^{\dagger}(t)\) y\(\hat{a}_{j}(t)\), y trabajar con estos operadores.

En este capítulo, utilizaré mayormente la última ruta. Sustituyendo\(m\) con\(m_{j} \equiv 1\), y\(\omega_{0}\) con\(\omega_{j}\), las últimas formas de las ecuaciones (5.65) se convierten\[\hat{a}_{j}=\left(\frac{\omega_{j}}{2 \hbar}\right)^{1 / 2}\left(\hat{q}_{j}+i \frac{\hat{p}_{j}}{\omega_{j}}\right), \quad \hat{a}_{j}^{\dagger}=\left(\frac{\omega_{j}}{2 \hbar}\right)^{1 / 2}\left(\hat{q}_{j}-i \frac{\hat{p}_{j}}{\omega_{j}}\right) .\] Debido a la Ec. (13), los operadores de creación-aniquilación obedecen a la conmutación similar a la Eq. (5.68),\[\left[\hat{a}_{j}, \hat{a}_{j^{\prime}}^{\dagger}\right]=\hat{I} \delta_{i j^{\prime}} .\] Como resultado, según las ecuaciones (3) ) y (8), los operadores cuántico-mecánicos de los campos eléctrico y magnético son sumas sobre todos los osciladores de campo:\[\begin{aligned} &\hat{\mathscr{E}}(\mathbf{r}, t)=i \sum_{j}\left(\frac{\hbar \omega_{j}}{2}\right)^{1 / 2} \mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\left(\hat{a}_{j}^{\dagger}-\hat{a}_{j}\right), \\ &\hat{\mathscr{B}}(\mathbf{r}, t)=\sum_{j}\left(\frac{\hbar \omega_{j}}{2}\right)^{1 / 2} \mathbf{b}_{j}(\mathbf{r})\left(\hat{a}_{j}^{\dagger}+\hat{a}_{j}\right), \end{aligned}\] y la ecuación (11) para el hamiltoniano del\(j^{\text {th }}\) modo se vuelve\[\hat{H}_{j}=\hbar \omega_{j}\left(\hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j}+\frac{1}{2} \hat{I}\right)=\hbar \omega_{j}\left(\hat{n}_{j}+\frac{1}{2} \hat{I}\right), \quad \text { with } \hat{n}_{j} \equiv \hat{a}_{j}^{\dagger} \hat{a}_{j},\] absolutamente similar a la ecuación (5.72) para un oscilador mecánico.

Ahora viene un paso conceptual muy importante. De la Sec. \(5.4\)sabemos que las funciones propias (estados Fock)\(n_{j}\) del hamiltoniano (17) tienen energías\[E_{j}=\hbar \omega_{j}\left(n_{j}+\frac{1}{2}\right), \quad n_{j}=0,1,2, \ldots\] y, según la ecuación (5.89), los operadores\(\hat{a}_{j}^{\dagger}\) y\(\hat{a}_{j}\) actúan sobre los propios mercados de estos estados parciales como\[\hat{a}_{j}\left|n_{j}\right\rangle=\left(n_{j}\right)^{1 / 2}\left|n_{j}-1\right\rangle, \quad \hat{a}_{j}^{\dagger}\left|n_{j}\right\rangle=\left(n_{j}+1\right)^{1 / 2}\left|n_{j}+1\right\rangle,\] independientemente de los estados cuánticos de otros modos. Estas reglas coinciden con las definiciones (8.64) y (8.68) de operadores de creación-aniquilación bosónicos, y por lo tanto su acción puede considerarse como la creación/aniquilación de ciertos bosones. Tal “partícula” (en realidad, una excitación, con energía\(\hbar \omega_{j}\), de un oscilador de campo electromagnético) es exactamente lo que, estrictamente hablando, se llama fotón. Obsérvese inmediatamente que de acuerdo con la Ec. (16), tal excitación no cambia la distribución espacial del\(j^{\text {th }}\) modo del campo. Entonces, tal fotón “global” es una excitación creada simultáneamente en todos los puntos de la región de confinamiento de campo.

Si esta imagen es demasiado contraria a la imagen intuitiva de una partícula, recordemos que en el Capítulo 2, discutimos una situación similar con las soluciones fundamentales de la ecuación de Schrödinger de una partícula libre no relativista: representan ondas sinusoidales de Broglie existentes simultáneamente en todos los puntos de la región de confinamiento de partículas. La reconciliación (parcial: -) con la imagen clásica de una partícula en movimiento podría obtenerse utilizando el principio de superposición lineal para ensamblar un paquete de ondas cuasilocalizadas, como un grupo de ondas sinusoidales con números de onda cercanos. De manera muy similar, podemos formar un paquete de onda similar usando una superposición lineal de los fotones “globales” con valores cercanos de\(\mathbf{k}_{j}\) (y por lo tanto\(\omega_{j}\)), para formar un fotón casi localizado. Una simplificación adicional aquí es que la relación de dispersión para las ondas electromagnéticas (al menos en el espacio libre) es lineal: de\[\frac{\partial \omega_{j}}{\partial k_{j}}=c=\mathrm{const}, \quad \text { i.e. } \frac{\partial^{2} \omega_{j}}{\partial k_{j}{ }^{2}}=0\] manera que, según la ecuación (2.39a), los paquetes de ondas electromagnéticas (es decir, fotones localizados en el espacio) no se dispersan durante su propagación. Obsérvese también que debido a las relaciones clásicas fundamentales\(\mathbf{p}=\mathbf{n} E / c\) para el impulso lineal del paquete de energía de ondas electromagnéticas itinerantes\(E\), que se propaga a lo largo de la dirección\(\mathbf{n} \equiv \mathbf{k} / k\), y\(\mathbf{L}=\pm \mathbf{n} E / \omega_{j}\) por su momento angular, \({ }^{12}\)a tal fotón se le puede prescribir el momento lineal\(\mathbf{p}=\mathbf{n} \hbar \omega_{j} / c \equiv \hbar \mathbf{k}\) y el momento angular\(\mathbf{L}=\pm \mathbf{n} \hbar\), con el signo dependiendo de la dirección de su polarización circular (“helicidad”).

Este esquema de cuantificación de campo electromagnético debería parecer muy sencillo, pero plantea una importante cuestión conceptual de la energía del estado fundamental. En efecto, la Ec. (18) implica que la energía total del estado fundamental (es decir, la más baja) del campo es\[E_{\mathrm{g}}=\sum_{j}\left(E_{\mathrm{g}}\right)_{j}=\sum_{j} \frac{\hbar \omega_{j}}{2} .\] Dado que para cualquier modelo realista del volumen de confinamiento de campo, ya sea infinito o no, la densidad de los modos de campo electromagnético solo crece con la frecuencia,\({ }^{13}\) esta suma diverge en su límite superior, lo que lleva a energía infinita del estado del suelo por unidad de volumen. Esta paradoja de infinito-energía no puede descartarse declarando inobservable la energía del estado fundamental de los osciladores de campo, porque ello contradiría numerosas observaciones experimentales a\(-\) partir quizás del famoso efecto Casimir. \({ }^{14}\)La implementación conceptualmente más simple de este efecto implica dos placas de área paralelas y perfectamente conductoras\(A\), separadas por un hueco de vacío de espesor\(t<<A^{1 / 2}\) (Fig. 1).

Fig. 9.1. La geometría más simple de la manifestación del efecto Casimir.

Más bien contra-intuitivamente, las placas se atraen entre sí con una fuerza\(F\) proporcional al área\(A\) y aumentando rápidamente con la disminución de\(t\), incluso en ausencia de fuentes explícitas de campo electromagnético. La explicación del efecto es que la energía de cada modo de campo electromagnético, incluyendo su energía de estado fundamental, ejerce una presión promedio\[\left\langle\mathcal{P}_{j}\right\rangle=-\frac{\partial E_{j}}{\partial V},\] sobre las paredes limitándolo a volumen\(V\). Mientras que la presión del campo sobre las superficies externas en las placas se debe a las contribuciones (22) de todos los modos de espacio libre, con valores arbitrarios de\(k_{z}\) (el\(z\) -componente del vector de onda\(\mathbf{k}_{j}\)), en el hueco entre las placas el espectro de \(k_{z}\)se limita a los múltiplos de\(\pi / t\), por lo que la presión sobre las superficies internas es menor. Es por ello que la fuerza neta ejercida sobre las placas puede calcularse como la suma de las contribuciones (22) de todos los modos de baja frecuencia “faltantes” en el hueco, con el signo menos. En el modelo más simple cuando las placas están hechas de un conductor ideal, lo que proporciona condiciones de límite\(\mathscr{E}_{\tau}=\mathscr{B}_{n}=0\) en sus superficies,\({ }^{15}\) dicho cálculo es bastante sencillo (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector), y su resultado es\[F=-\frac{\pi^{2} A \hbar c}{240 t^{4}} .\] Tenga en cuenta que para tal cálculo, la divergencia de alta frecuencia de la Ec. (21) no es importante, ya que participa en las fuerzas ejercidas sobre todas las superficies de cada placa, y se cancela de la presión neta. De esta manera, el efecto Casimir no sólo confirma la ecuación (21), sino que también nos enseña una lección importante sobre cómo lidiar con las divergencias de tales sumas en\(\omega_{j} \rightarrow \infty\). La lección es: simplemente acostúmbrese a la idea de que la divergencia existe, e ignore este hecho mientras pueda, es decir, si el resultado final que le interesa es finito. Sin embargo, para algunos problemas más complejos de la electrodinámica cuántica (y la teoría cuántica de cualquier otro campo), este enfoque más simple se vuelve imposible, y luego más complejas, las técnicas de renormalización se vuelven necesarias. Para su estudio, tengo que referir al lector a un curso de teoría cuántica de campos\(-\) ver las referencias al final de este capítulo.

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\({ }^{1}\)Tenga en cuenta que algunos materiales cubiertos en este capítulo se enseñan frecuentemente como parte de la teoría cuántica de campos. Me centraré en los resultados más importantes que se puedan obtener sin arrancar los motores pesados de esa teoría.

\({ }^{2}\)El enfoque descrito fue pionero por el mismo P. A. M. Dirac ya\(1927 .\)

\({ }^{3}\)Véase, por ejemplo, el capítulo EM\(9 .\)

\({ }^{4}\)A estas alturas este hecho ha sido verificado experimentalmente con una precisión de al menos\(\sim 10^{-22} m_{\mathrm{e}}-\) ver\(\mathrm{S}\). Eidelman et al., Phys. Lett. B 592, 1 (2004).

\({ }^{5}\)En el caso de la absorción de energía finita en las paredes, o en los medios de propagación de ondas (digamos, descritos por constantes complejas\(\varepsilon\) y\(\mu\)), el sistema no es ahorrador de energía (hamiltoniano), es decir, interactúa con algún ambiente disipativo. Los casos específicos de dicha interacción se considerarán en las Secciones 2 y 3 siguientes.

\({ }^{6}\)Véase, por ejemplo, EM Eq. (7.3), para el caso particular\(\varepsilon=\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}\), para que\(v^{2} \equiv 1 / \varepsilon \mu=1 / \varepsilon_{0} \mu_{0} \equiv c^{2}\).

\({ }^{7}\)Ver, e.g., diversos problemas discutidos en EM Capítulo 7, especialmente en la Sec. 7.9.

\({ }^{8}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 9.8, en particular, la Ec. (9.225). Aquí estoy usando unidades SI, con\(\varepsilon_{0} \mu_{0} \equiv c^{-2}\); en las unidades gaussianas, los coeficientes\(\varepsilon_{0}\) y\(\mu_{0}\) desaparecen, pero hay un factor común adicional\(1 / 4 \pi\) en la ecuación para la energía. Sin embargo, si modificamos las condiciones de normalización (ver abajo) en consecuencia, todos los resultados posteriores, a partir de la Ec. (10), se ven similares en cualquier sistema de unidades.

\({ }^{9}\)Aquí estoy usando la letra\(q_{j}\), en lugar de\(x_{j}\), para la coordenada generalizada del oscilador de campo, con el fin de enfatizar la diferencia entre la variable anterior, y una de las coordenadas cartesianas, es decir, uno de los argumentos de la \(c\)-funciones de número\(\mathbf{e}\) y\(\mathbf{b}\).

\({ }^{10}\)Véase, por ejemplo, EM Eq. (7.6).

\({ }^{11}\)Seleccionando una normalización diferente de las funciones\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\) y\(\mathbf{b}_{j}(\mathbf{r})\), podríamos arreglar fácilmente cualquier valor de\(m_{j}\), y la elección correspondiente a\(m_{j}=1\) es la mejor solo por la simplicidad de la notación.

\({ }^{12}\)Ver, por ejemplo, Secciones EM\(7.7\) y\(9.8\).

\({ }^{13}\)Véase, por ejemplo, la Ec. (1.1), que es similar a la Ec. (1.90) para las ondas de Broglie, derivadas en la Sec. 1.7.

\({ }^{14}\)Este efecto fue predicho en 1948 por Hendrik Casimir y Dirk Polder, y confirmado semicuantitativamente en experimentos de M. Sparnaay, Nature 180,334 (1957). Después de esto, y varios otros experimentos, S. Lamoreaux, Phys, logró una reducción decisiva de la barra de error (a aproximadamente\(\sim 5 \%\)), proporcionando una confirmación cuantitativa de la fórmula de Casimir (23). Rev. Lett. \(\mathbf{7 8}, 5\)(1997) y por U. Mohideen y A. Roy, Phys. Rev. Lett. 81, 004549 (1998). Obsérvese también que existen otras confirmaciones experimentales de la realidad del campo electromagnético del estado fundamental, incluyendo, por ejemplo, los experimentos de R. Koch et al. ya discutidos en la Sec. \(7.5\), y las recientes observaciones directas espectaculares de C. Riek et al., Science 350, 420 (2015).

\({ }^{15}\)Para conductores realistas, la reducción de\(t\) abajo\(\sim 1 \mu \mathrm{m}\) causa desviaciones significativas de este modelo simple, y por lo tanto de la Ec. (23). La razón es que para espacios tan estrechos, la profundidad de penetración de campo en los conductores (ver, por ejemplo, EM Sec. 6.2), a las frecuencias importantes\(\omega \sim c / t\), se vuelve comparable con\(t\), y una teoría adecuada del efecto Casimir tiene que involucrar cierto modelo de la penetración . (Es curioso que los análisis en profundidad de este problema, iniciados en 1956 por E. Lifshitz, hayan revelado una profunda relación entre el efecto Casimir y la fuerza de dispersión londinense que fue objeto de Problemas\(3.16,5.15\), y\(6.18\) - para una revisión ver, por ejemplo, ya sea I. Dzhyaloshinskii et al., Sov. Phys. Uspekhi 4, 153 (1961), o K. Milton, El efecto Casimir, World Scientific, 2001. Experimentos recientes en el\(100 \mathrm{~nm}-2 \mu \mathrm{m}\) rango de\(t\), con una precisión mejor que\(1 \%\), han permitido no sólo observar los efectos de la penetración de campo sobre la fuerza Casimir, sino incluso hacer una selección entre algunos modelos aproximados de la penetración - ver D. García-Sánchez et al., Phys. Rev. Lett. 109, 027202 (2012).