9.2: Absorción y Recuento de Fotones

Como cuestión de principio, el efecto Casimir puede ser utilizado para medir los efectos cuánticos no sólo en el campo electromagnético del espacio libre sino también en el campo que llega de fuentes activas -láseres, etc. Sin embargo, generalmente tales estudios pueden ser realizados por detectores más simples, en los que la absorción de un fotón por un solo átomo conduce a su ionización. Esta ionización, es decir, la emisión de un electrón libre, desencadena una reacción de avalancha (por ejemplo, una descarga eléctrica en un contador tipo Geiger), que puede registrarse fácilmente usando circuitos electrónicos apropiados. En buenos contadores de fotones, el primer paso, la ionización del átomo “desencadenante”, es el cuello de botella de todo el proceso (el recuento de fotones), de manera que para analizar sus estadísticas, es suficiente considerar la interacción del campo con solo este átomo.

Su ionización es una transición cuántica desde un estado inicial discreto del átomo a su estado final, ionizado con un espectro de energía continuo, inducido por un campo electromagnético externo. Esta es exactamente la situación que se muestra en la Fig. 6.12, por lo que podemos aplicarle la Regla de Oro de la mecánica cuántica en la forma (6.149), con el sistema\(a\) asociado al campo electromagnético, y sistema\(b\) con el átomo disparador. El tamaño del átomo es típicamente mucho más pequeño que la longitud de onda de radiación, de manera que la interacción campo-átomo puede describirse adecuadamente en la aproximación del dipolo eléctrico (6.146)\[\hat{H}_{\mathrm{int}}=-\hat{\mathscr{E}} \cdot \hat{\mathbf{d}},\] donde\(\hat{\mathbf{d}}\) está el operador del momento dipolar. De ahí que podamos asociar este operador con el operando\(\hat{B}\) en las ecuaciones (6.145) - (6.149), mientras que el operador de campo eléctrico\(\hat{E}\) está asociado con el operando\(\hat{A}\) en esas relaciones. Primero, supongamos que nuestro campo consiste en un solo modo\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\) de frecuencia\(\omega\). Entonces podemos mantener solo un término en la suma (16a), y dejar caer el índice\(j\), de modo que la Ec. (6.149) pueda ser reescrita como\[\begin{aligned} \Gamma &=\frac{2 \pi}{\hbar}|\langle\operatorname{fin}|\hat{E}(\mathbf{r}, t)| \operatorname{ini}\rangle|^{2} \mid\left.\left\langle\operatorname{fin}\left|\hat{\mathbf{d}}(t) \cdot \mathbf{n}_{e}\right| \text { ini }\right\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{a}} \\ &\left.=\frac{2 \pi}{\hbar} \frac{\hbar \omega}{2}\left|\left\langle\operatorname{fin} \| \hat{a}^{\dagger}(t)-\hat{a}(t)\right] e(\mathbf{r})\right| \text { ini }\right\rangle\left.\right|^{2} \mid\left.\left\langle\operatorname{fin}\left|\hat{\mathbf{d}}(t) \cdot \mathbf{n}_{e}\right| \text { ini }\right\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{a}} \end{aligned}\] donde\(\mathbf{n}_{e} \equiv \mathbf{e}(\mathbf{r}) / e(\mathbf{r})\) está la dirección local del vector\(\mathbf{e}(\mathbf{r})\), los símbolos “ini” y “fin” denotan los estados inicial y final del sistema correspondiente (el campo electromagnético en el primer paréntesis largo y el átomo en el segundo corchete), y la densidad\(\rho_{\mathrm{a}}\) de los estados atómicos continuos debe calcularse a su energía final\(E_{\mathrm{fin}}=E_{\mathrm{ini}}+\hbar \omega\).

Como recordatorio, en la imagen de Heisenberg de la dinámica cuántica, los estados inicial y final son independientes del tiempo, mientras que los operadores de creación-aniquilación son funciones del tiempo. En la fórmula de la Regla de Oro (25), como en cualquier resultado perturbador, esta dependencia de tiempo tiene que calcularse ignorando la perturbación -en este caso, la interacción campo-átomo-. Para los operadores de creación-aniquilación del campo, esta dependencia coincide con la del oscilador 1D habitual -véase la Ec. (5.141), en la que\(\omega_{0}\) debería ser, en nuestra notación actual, reemplazada por\(\omega\):\[\hat{a}(t)=\hat{a}(0) e^{-i \omega t}, \quad \hat{a}^{\dagger}(t)=\hat{a}^{\dagger}(0) e^{+i \omega t} .\] De ahí la Eq. (25) se convierte\[\left.\Gamma=\pi \omega \mid\left\langle\text { fin }\left[\hat{a}^{\dagger}(0) e^{i \omega t}-\hat{a}(0) e^{-i \omega t}\right] e(\mathbf{r})\right| \text { ini }\right\rangle\left.\right|^{2} \mid\left.\left\langle\text { fin }\left|\hat{\mathbf{d}}(t) \cdot \mathbf{n}_{e}\right| \text { ini }\right\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{a}} .\] Ahora vamos a multiplicar el primer soporte largo por\(\exp \{i \omega t\}\), y el segundo por\(\exp \{-i \omega t\}\):\[\left.\Gamma=\pi \omega\left|\left\langle\operatorname{fin} \| \hat{a}^{\dagger}(0) e^{2 i \omega t}-\hat{a}(0)\right] e(\mathbf{r})\right| \text { ini }\right\rangle\left.\right|^{2} \mid\left.\left\langle\operatorname{fin}\left|\hat{\mathbf{d}}(t) \cdot \mathbf{n}_{e} e^{-i \omega t}\right| \text { ini }\right\rangle\right|^{2} \rho_{\mathrm{a}} .\] Esta forma matemáticamente equivalente de la relación anterior muestra más claramente que a la absorción de fotones resonantes, solo el operador de aniquilación da una contribución significativa promediada en el tiempo a la primer elemento de matriz de corchetes. (Como recordatorio, la Regla de Oro cuántico-mecánica para perturbaciones dependientes del tiempo es el resultado de promediar a lo largo de un intervalo de tiempo mucho mayor que\(1 / \omega-\operatorname{see} \operatorname{Sec}\). 6.6.) De igual manera, de acuerdo con la Ec. (4.199), el operador Heisenberg del momento dipolo, correspondiente al incremento de la energía del átomo por\(\hbar \omega\), tiene los componentes de Fourier que difieren en frecuencia de\(\omega\) solo por\(\sim \Gamma<<\omega\), de manera que su dependencia del tiempo compensa virtualmente el factor adicional en el segundo paréntesis de la Ec. \((27 b)\), y este paréntesis también puede tener un promedio de tiempo sustancial. De ahí que en el primer paréntesis podamos descuidar el término de oscilación rápida, cuyo promedio a lo largo del intervalo de tiempo\(\sim 1 / \Gamma\) es muy cercano a cero. \({ }^{16}\)

Ahora supongamos, primero, que usamos el mismo detector, caracterizado por el mismo elemento matriz de la transición cuántica, es decir, el mismo segundo paréntesis en la ecuación (27), y la misma densidad de estado final\(\rho_{\mathrm{a}}\), para la medición de diversos campos electromagnéticos, o solo del mismo campo en diferentes puntos\(\mathbf{r}\). Entonces solo nos interesa el comportamiento del primer paréntesis, relacionado con el campo, y podemos escribir\[\Gamma \propto \mid\left.\langle\text { fin }|\hat{a} e(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle\right|^{2} \equiv\langle\text { fin }|\hat{a} e(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle\langle\text { fin }|\hat{a} e(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle^{*} \equiv\left\langle\text { ini }\left|\hat{a}^{\dagger} e^{*}(\mathbf{r})\right| \operatorname{fin}\right\rangle\langle\operatorname{fin}|\hat{a} e(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle,\] donde se implica tomar los operadores de creación-aniquilación\(t=0\), es decir, en la imagen de Schrödinger, y los estados inicial y final son los del campo solo. Segundo, calculemos ahora la tasa total de transiciones a todos los estados finales disponibles del modo dado\(e(\mathbf{r})\). Si dichos estados formaran un conjunto completo y ortonormal, podríamos usar la relación de cierre (4.44), aplicada a los estados finales, para escribir\[\Gamma \propto \sum_{\text {fin }}\left\langle\text { ini }\left|\hat{a}^{\dagger} e^{*}(\mathbf{r})\right| \text { fin }\right\rangle\langle\text { fin }|\hat{a} e(\mathbf{r})| \text { ini }\rangle=\left\langle\text { ini }\left|\hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right| \text { ini }\right\rangle e^{*}(\mathbf{r}) e(\mathbf{r})=\langle n\rangle_{\text {ini }}|e(\mathbf{r})|^{2}\] dónde, para un modo de campo dado,\(\langle n\rangle_{\text {ini }}\) es el valor de expectativa del operador\(\hat{n} \equiv \hat{a}^{\dagger} \hat{a}\) para el estado inicial del electromagnético campo. En el caso más realista de campos en volúmenes relativamente grandes\(V \gg \lambda^{3}\), con su espectro prácticamente continuo de estados finales, la igualdad media en esta relación no es estrictamente válida, pero es correcta a un multiplicador constante,\({ }^{17}\) que actualmente no somos interesado en. Tenga en cuenta, sin embargo, que la ecuación (29) puede ser sustancialmente incorrecta para resonadores\(Q\) electromagnéticos altos (“cavidades”), lo que puede hacer que solo uno (o algunos) modos estén disponibles para las transiciones. (La electrodinámica cuántica de tales cavidades se discutirá brevemente en la Sec. 4 a continuación.)

Apliquemos la ecuación (29) a varios estados cuánticos posibles del modo.

(i) Primero, como control de cordura, el estado inicial del suelo,\(n=0\), no da ninguna absorción de fotones en absoluto. La interpretación es fácil: el campo del estado fundamental, no puede emitir un fotón que ionizaría un átomo en el contador. Nuevamente, esto no quiere decir que el “movimiento” del estado fundamental no sea observable (si aún así lo piensa, por favor revise la discusión del efecto Casimir en la Sec. 1), solo que no puede ionizar el átomo desencadenante porque no tiene ninguna energía sobrante para hacer eso.

(ii) Todos los demás estados coherentes (Fock, Glauber, exprimido, etc.) del oscilador de campo dan la misma tasa de conteo, siempre que su\(\langle n\rangle_{\text {ini }}\) sea la misma. Este resultado puede ser menos evidente si aplicamos la Ecuación (29) a la interferencia de dos haces de luz de la misma fuente, digamos, en las configuraciones de doble hendidura o Braggscattering. En este caso, podemos representar la distribución espacial del campo como una suma\[e(\mathbf{r})=e_{1}(\mathbf{r})+e_{2}(\mathbf{r}) .\] Aquí cada término describe una posible trayectoria de onda, de manera que el producto operador en la ecuación (29) puede ser una función que cambia rápidamente de la posición del detector. Para esta configuración, nuestro resultado (29) significa que el patrón de interferencia (y su contraste) son independientes del estado particular del modo del campo electromagnético.

(iii) Sorprendentemente, la última afirmación también es válida para una mezcla clásica de los diferentes autoestados del mismo modo de campo, por ejemplo para su estado de equilibrio térmico. De hecho, en este caso necesitamos promediar la Ec. (29) sobre el conjunto clásico correspondiente, pero solo resultaría en un significado diferente de promediar\(n\) en esa ecuación; la parte de campo que describe el patrón de interferencia no se ve afectada.

El último resultado puede parecer un poco contrario a la intuición porque el sentido común nos dice que la estocástica asociada con el equilibrio térmico tiene que suprimir el contraste del patrón de interferencia. Estas expectativas están (en parte: -) justificadas porque una fuente térmica típica de radiación produce muchos modos de campo\(j\), en lugar de un modo que hemos analizado. Estos modos pueden tener diferentes números de onda\(k_{j}\) y por lo tanto diferentes funciones de distribución de campo\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\), lo que resulta en patrones de interferencia desplazados. Su suma, en efecto, mancharía la interferencia, suprimiendo su contraste.

Por lo que el uso de un detector de fotones no es la mejor manera de distinguir diferentes estados cuánticos de un modo de campo electromagnético. Esta tarea, sin embargo, se puede lograr usando la técnica de correlación de conteo de fotones mostrada en la Fig. \(2 \cdot{ }^{18}\)

Fig. 9.2. Medición de correlación de recuento de fotones.

En este experimento, la correlación de tasa de contador puede caracterizarse por la llamada función de correlación de segundo orden de las tasas de conteo,\[g^{(2)}(\tau) \equiv \frac{\left\langle\Gamma_{1}(t) \Gamma_{2}(t-\tau)\right\rangle}{\left\langle\Gamma_{1}(t)\right\rangle\left\langle\Gamma_{2}(t)\right\rangle},\] donde el promedio puede llevarse a cabo ya sea en muchos experimentos similares, o en un intervalo de tiempo relativamente largo\(t \gg \tau\), con campo habitual fuentes - debido a su ergodicidad. El uso de la función de correlación normalizada (31) es muy conveniente porque las características tanto de los detectores como del divisor de haz (por ejemplo, un espejo semitransparente, ver Fig. 2) caen de esta fracción.

Muy inesperadamente para mediados de la década de 1950, Hanbury Brown y Twiss descubrieron que la función de correlación depende del retardo de tiempo\(\tau\) en la forma mostrada (esquemáticamente) con la línea continua en la Fig. 3. Es evidente a partir de la Ec. (31) que si los eventos de conteo son completamente independientes,\(g^{(2)}(\tau)\) deben ser iguales a 1 -que siempre es el caso en el límite\(\tau \rightarrow \infty_{.}\) (Como se mostrará en la siguiente sección, el tiempo característico de este enfoque suele estar entre\(10^{-11} \mathrm{~s}\) y\(10^{-8} \mathrm{~s}\), de manera que para su medición, el control del tiempo de retardo se pueda proporcionar simplemente moviendo uno de los detectores por una distancia a escala humana entre unos pocos milímetros y unos pocos metros.) Por lo tanto, el comportamiento observado en\(\tau \rightarrow 0\) corresponde a una correlación positiva de recuentos de detectores en pequeños retardos de tiempo, es decir, a una mayor probabilidad de la llegada casi simultánea de fotones a ambos contadores. Este efecto contra-intuitivo se llama agrupamiento de fotones.

Fig. 9.3. Agrupamiento de fotones (línea continua) y antiagrupamiento para varios\(n\) (líneas discontinuas). Las líneas se acercan\(g^{(2)}=1\) al nivel en\(\tau \rightarrow \infty\) (en la escala de tiempo dependiendo de la fuente de luz).

Usemos nuestro sencillo modelo monomodo para analizar este experimento. Ahora el proceso cuántico elemental caracterizado por el numerador de la Ec. (31), es la ionización correlacionada y simultánea de dos átomos disparadores, en dos puntos espacio-temporales\(\left\{\mathbf{r}_{1}, t\right\}\) y\(\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right\}\), por el mismo modo de campo, de manera que necesitamos hacer el siguiente reemplazo en el primero de Ecuaciones. (25):\[\hat{\mathscr{E}}(\mathbf{r}, t) \rightarrow \text { const } \times \hat{\mathscr{E}}\left(\mathbf{r}_{1}, t\right) \hat{\mathscr{E}}\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right) .\] Repitiendo todas las manipulaciones hechas anteriormente para el caso de contador único, obtenemos\[\left\langle\Gamma_{1}(t) \Gamma_{2}(t-\tau)\right\rangle \propto\left\langle\operatorname{ini}\left|\hat{a}(t)^{\dagger} \hat{a}(t-\tau)^{\dagger} \hat{a}(t-\tau) \hat{a}(t)\right| \text { ini }\right\rangle e^{*}\left(\mathbf{r}_{1}\right) e^{*}\left(\mathbf{r}_{2}\right) e\left(\mathbf{r}_{1}\right) e\left(\mathbf{r}_{2}\right) .\] Plugging esta expresión, así como la Eq. (29) para tasas de contador único, en la Eq. (31), vemos que los factores de distribución de campo (así como los paréntesis específicos del detector y la densidad de estados\(\rho_{\mathrm{a}}\)) cancelar, dando una expresión final muy simple:\[g^{(2)}(\tau)=\frac{\left\langle\hat{a}^{\dagger}(t) \hat{a}^{\dagger}(t-\tau) \hat{a}(t-\tau) \hat{a}(t)\right\rangle}{\left\langle\hat{a}^{\dagger}(t) \hat{a}(t)\right\rangle^{2}},\] donde el promedio debe realizarse, como antes, sobre el estado inicial del campo.

Aún así, el cálculo de esta expresión para arbitraria\(\tau\) puede ser bastante complejo, ya que en muchos casos la relajación de la función de correlación con el valor asintótico\(\mathrm{g}^{(2)}(\infty)\) se debe a la interacción de la fuente de luz con el ambiente, y por lo tanto requiere la apertura- técnicas del sistema que se discutieron en el Capítulo 7. No obstante, el valor de retardo cero\(\mathrm{g}^{(2)}(0)\) puede calcularse directamente, porque los argumentos de tiempo de todos los operadores son iguales, para que podamos escribir\[g^{(2)}(0)=\frac{\left\langle\hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \hat{a}\right\rangle}{\left\langle\hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right\rangle^{2}}\] Evaluemos esta relación para los estados más simples del campo.

(i) El estado\(n^{\text {th }}\) Fock. En este caso, es conveniente actuar con los operadores de aniquilación sobre los vectores ceto, y por los operadores de creación, sobre los bra-vectores, usando ecuaciones. (19):\[g^{(2)}(0)=\frac{\left\langle n\left|\hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \hat{a}\right| n\right\rangle}{\left\langle n\left|\hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right| n\right\rangle^{2}}=\frac{\left\langle n-2\left|[n(n-1)]^{1 / 2}[n(n-1)]^{1 / 2}\right| n-2\right\rangle}{\left\langle n-1\left|n^{1 / 2} n^{1 / 2}\right| n-1\right\rangle^{2}}=\frac{n(n-1)}{n^{2}} \equiv 1-\frac{1}{n} .\] Vemos que la función de correlación en pequeños retardos se suprime en lugar de mejorar - ver las líneas discontinuas en la Fig. 3. Este efecto antiagrupamiento de fotones tiene una explicación muy simple de movimiento manual: un solo fotón emitido por la fuente de onda puede ser absorbido por solo uno de los detectores. Para el estado inicial\(n=\) 1, esta es la única opción, y es muy natural que la Ec. (36) prediga que no hay recuentos simultáneos en\(\tau=0\). A pesar de esta simplicidad teórica, las observaciones confiables del antiagrupamiento no se han llevado a cabo hasta\(1977,{ }^{19}\) debido a la dificultad experimental de conducir osciladores de campo electromagnético a sus estados Fock - ver Sec. 4 a continuación.

ii) El estado Glauber\(\alpha\). Un procedimiento similar, pero ahora usando la Ec. (5.124) y su conjugado hermitiano,\(\langle\alpha| \hat{a}^{\dagger}=\langle\alpha| \alpha^{*}\), rinde\[g^{(2)}(0)=\frac{\left\langle\alpha\left|\hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \hat{a}\right| \alpha\right\rangle}{\left\langle\alpha\left|\hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right| \alpha\right\rangle^{2}}=\frac{\alpha^{*} \alpha^{*} \alpha \alpha}{\left(\alpha^{*} \alpha\right)^{2}} \equiv 1,\] para cualquier parámetro\(\alpha\). Vemos que el resultado es distinto al de los estados Fock, a menos que en este último caso\(n \rightarrow \infty\). (Sabemos que las propiedades Fock y Glauber también deben coincidir para el estado fundamental, pero en ese estado el valor de la función de correlación es incierto, porque no hay recuentos de fotones en absoluto).

(iii) Mezcla clásica. Del Capítulo 7, sabemos que tales conjuntos estadísticos no pueden ser descritos por vectores de estado único, y requieren la matriz de densidad w para su descripción. Aquí, podemos combinar las ecuaciones (35) y (7.5) para escribir\[g^{(2)}(0)=\frac{\operatorname{Tr}\left(\hat{w} \hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \hat{a}\right)}{\left[\operatorname{Tr}\left(\hat{w} \hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right)\right]^{2}} .\] Ortografía esta expresión es fácil para el campo en equilibrio térmico a alguna temperatura\(T\), porque su matriz de densidad es diagonal en la base de los estados de Fock\(n-\) ver Eqs. (7.24):\[w_{n n^{\prime}}=W_{n} \delta_{n n^{\prime}}, \quad W_{n}=\exp \left\{-\frac{E_{n}}{k_{\mathrm{B}} T}\right\} / Z \equiv \lambda^{n} / \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}, \quad \text { where } \lambda \equiv \exp \left\{-\frac{\hbar \omega}{k_{\mathrm{B}} T}\right\} .\] Entonces, para el operadores en el numerador y denominador de la Ec. (38) también necesitamos solo los términos diagonales de los productos operador, que ya han sido calculados - ver Ec. (36). Como resultado, obtenemos\[g^{(2)}(0)=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} W_{n} n(n-1)}{\left(\sum_{n=0}^{\infty} W_{n} n\right)^{2}}=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n} n(n-1) \times \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}}{\left(\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n} n\right)^{2}} .\] Una de las tres series involucradas en esta expresión es solo la progresión geométrica habitual,\[\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}=\frac{1}{1-\lambda},\] y las dos series restantes pueden calcularse fácilmente por su diferenciación sobre el parámetro\(\lambda\):\[\begin{aligned} &\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n} n \equiv \lambda \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n-1} n=\lambda \frac{d}{d \lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}=\lambda \frac{d}{d \lambda} \frac{1}{1-\lambda}=\frac{\lambda}{(1-\lambda)^{2}}, \\ &\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n} n(n-1) \equiv \lambda^{2} \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n-2} n(n-1)=\lambda^{2} \frac{d^{2}}{d^{2} \lambda}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n}\right)=\lambda^{2} \frac{d^{2}}{d \lambda^{2}} \frac{1}{1-\lambda}=\frac{2 \lambda^{2}}{(1-\lambda)^{3}}, \end{aligned}\] y para la función de correlación obtenemos un resultado extremadamente simple independiente del parámetro\(\lambda\) y por lo tanto de la temperatura:\[g^{(2)}(0)=\frac{\left[2 \lambda^{2} /(1-\lambda)^{3}\right][1 /(1-\lambda)]}{\left[\lambda /(1-\lambda)^{2}\right]^{2}} \equiv 2 .\] Este es exactamente el efecto de agrupamiento de fotones observado por primera vez por Hanbury Brown y Twiss\(-\) ver Fig. 3. Vemos que a diferencia del antiagrupamiento, se trata de un efecto esencialmente clásico (estadístico). En efecto, la Ec. (43) permite una derivación puramente clásica. En la teoría clásica, la tasa de conteo (de un solo contador) es proporcional a la intensidad de onda\(I\), de manera que la Ec. (31) con\(\tau=0\) se reduce a\[g^{(2)}(0)=\frac{\left\langle I^{2}\right\rangle}{\langle I\rangle^{2}}, \quad \text { with } I \propto \overline{E^{2}(t)} \propto E_{\omega} E_{\omega}^{*} .\] Para un campo sinusoidal, la intensidad es constante, y\(g^{(2)}(0)=1\). (Esto también es evidente a partir de la Ec. (37), porque el estado clásico puede ser considerado como un estado Glauber con\(\alpha \rightarrow \infty\).) Por otro lado, si la intensidad fluctúa (ya sea en el tiempo, o de un experimento a otro), los promedios en la Ec. (44) deben calcularse como\[\left\langle I^{k}\right\rangle=\int_{0}^{\infty} w(I) I^{k} d I, \quad \text { with } \int_{0}^{\infty} w(I) d I=1, \quad \text { and } k=1,2,\] dónde\(w(I)\) está la densidad de probabilidad. Para las estadísticas clásicas, la probabilidad es una función exponencial de la energía del campo electromagnético, y de ahí su intensidad:\[w(I)=C e^{-\beta I}, \text { where } \beta \propto 1 / k_{\mathrm{B}} T,\] para que las ecuaciones (45) rindan:\({ }^{20}\)\[\begin{gathered} \int_{0}^{\infty} C \exp \{-\beta I\} d I \equiv C / \beta=1, \text { and hence } C=\beta, \\ \left\langle I^{k}\right\rangle=\int_{0}^{\infty} w(I) I^{k} d I=C \int_{0}^{\infty} \exp \{-\beta I\} I^{k} d I=\frac{1}{\beta^{k}} \int_{0}^{\infty} \exp \{-\xi\} \xi^{k} d \xi= \begin{cases}1 / \beta, & \text { for } k=1, \\ 2 / \beta^{2}, & \text { for } k=2 .\end{cases} \end{gathered}\] Taponando estos resultados en la Eq. \((44)\), obtenemos\(g^{(2)}(0)=0\), en total acuerdo con la Ec. (43).

Para algunos estados de campo, incluidos los estados de tierra exprimidos\(\zeta\) discutidos al final de la Sec. 5.5, los valores\(g^{(2)}(0)\) pueden ser incluso superiores a 2, el llamado superagrupamiento. Se ofrecen análisis de dos casos de tal superagrupamiento para el ejercicio del lector - ver la lista de problemas al final del capítulo.

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\({ }^{16}\)Esta es esencialmente la misma aproximación de onda giratoria (RWA), que ya se utilizó en la Sec. \(6.5\)y más allá - véase, por ejemplo, la transición de la Ec. (6.90) a la primera de las Ecuaciones (6.94).

\({ }^{17}\)Como muestra la Regla de Oro, este multiplicador es proporcional a la densidad\(\rho_{\mathrm{f}}\) de los estados finales del campo.

\({ }^{18}\)Fue pionera ya a mediados de la década de 1950 (es decir, antes de la llegada de los láseres), por Robert Hanbury Brown y Richard Twiss. Su segundo experimento también fue notable por la fuente de luz bastante inusual: ¡la estrella Sirius! (Su trabajo fue un esfuerzo para mejorar las técnicas de interferometría astrofísica.)

\({ }^{19}\)Por H. J. Kimble et al., Phys. Rev. Lett. 39, 691 (1977). Para una revisión detallada del antiagrupamiento de fonones, véase, por ejemplo, H. Paul, Rev. Mod. Phys. 54, 1061 (1982).

\({ }^{20}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.7c) con\(n=0\) y\(n=1\).