9.5: Las ecuaciones de Klien-Gordon y Schrödinger relativistas

Ahora permítanme cambiar de marcha y discutir los conceptos básicos de la mecánica cuántica relativista de partículas con una masa de reposo distinta de cero\(m\). En el límite ultra-relativista\(p c \gg m c^{2}\) el esquema de cuantificación de tales partículas puede ser esencialmente el mismo que para las ondas electromagnéticas, pero para el rango de energía intermedia,\(p c \sim m c^{2}\), es necesario un enfoque más general. Históricamente, los primeros\(^{47}\) intentos de extender la mecánica de ondas no relativistas al rango de energía relativista se basaron en realizar las mismas transiciones de observables clásicos a sus operadores cuántico-mecánicos que en el límite no relativista:\[\mathbf{p} \rightarrow \hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla, \quad E \rightarrow \hat{H}=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} .\] La sustitución de estos operadores, actuando sobre la función de onda Schrödinger-picture\(\Psi(\mathbf{r}, t)\), en la relación clásica (1) entre la energía\(E\) y el impulso p (para de una partícula libre) conduce a las siguientes fórmulas:

Cuadro 9.1. Derivar la ecuación de Klein-Gordon para una partícula relativista libre. \({ }^{48}\)

	Límite no relativista	Caso relativista
Mecánica clásica	\(E=\frac{1}{2 m} p^{2}\)	\(E^{2}=c^{2} p^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}\)
Mecánica de olas	\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi=\frac{1}{2 m}(-i \hbar \nabla)^{2} \Psi\)	\(\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\right)^{2} \Psi=c^{2}(-i \hbar \nabla)^{2} \Psi+\left(m c^{2}\right)^{2} \Psi\)

La ecuación resultante para el límite no relativista, en la celda inferior izquierda de la tabla, es solo la ecuación habitual de Schrödinger (1.28) para una partícula libre. Su generalización relativista, en la celda inferior derecha, generalmente reescrita como\[\left(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\right) \Psi+\mu^{2} \Psi=0, \quad \text { with } \mu \equiv \frac{m c}{\hbar}\] se llama la ecuación de Klein-Gordon (o a veces “Klein-Gordon-Fock”). Las soluciones fundamentales de esta ecuación son las mismas ondas planas y monocromáticas\[\Psi(\mathbf{r}, t) \propto \exp \{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)\} .\] que en el caso no relativista. En efecto, tales ondas son estados propios de los operadores (83), con valores propios, respectivamente, de\[\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}, \quad \text { and } E=\hbar \omega,\] manera que su sustitución en la ecuación (84) nos devuelve inmediatamente a la ecuación (1) con los reemplazos (86):\[E_{\pm}=\hbar \omega_{\pm}=\pm\left[(\hbar c k)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} .\] Aunque se puede decir que esta relación de dispersión es solo una combinación simple de lo clásico relación (1) y las mismas relaciones cuántico-mecánicas básicas (86) que en el límite no relativista, nos llama la atención sobre el hecho de que la energía\(\hbar \omega\) en función del impulso\(\hbar \mathbf{k}\) tiene dos ramas, con\(E\) (p)\(=-E_{+}(\mathbf{p})-\) ver Fig . 6a. Históricamente, este hecho ha jugado un papel muy importante para impulsar la idea fundamental de pares partícula-antipartícula. En esta idea (muy similar al concepto de electrones y agujeros en semiconductores, que se discutió en la Sec. 2.8), lo que llamamos el “vacío” en realidad corresponde a todos los estados cuánticos de la rama inferior, con energías\(E_{-}(\mathbf{p})<0\), estando completamente llenos, mientras que los estados en la rama superior, con energías\(E_{+}(\mathbf{p})>0\), estando vacío. Entonces una energía suministrada externamente,\[\Delta E=E_{+}-E_{-} \equiv E_{+}+\left(-E_{-}\right) \geq 2 m c^{2}>0,\] puede llevar el sistema desde la rama inferior a la superior (Fig. 6b). El estado excitado resultante se interpreta como una combinación de una partícula (formalmente, de la extensión espacial infinita) con la energía\(E_{+}\) y el momento\(\mathbf{p}\), y un “agujero” (antipartícula) de la energía positiva\(\left(-E_{-}\right)\) y el impulso \(-\mathbf{p}\). Esta idea\({ }^{49}\) ha llevado a una búsqueda, y descubrimiento del positrón: la antipartícula del electrón con carga\(q\)\(=+e\), en 1932, y posteriormente del antiprotón y otras antipartículas.

Fig. 9.6. (a) La relación de dispersión de partículas libres resultante de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac, y (b) el esquema de creación de un par partícula-antipartícula a partir del vacío.

Las partículas libres de una extensión espacial finita pueden describirse, en este enfoque, al igual que en la ecuación no relativista de Schrödinger, por paquetes de ondas, es decir, superposiciones lineales de las ondas de Broglie (85) con vectores de onda cercanos\(\mathbf{k}\), y los valores correspondientes de\(\omega\) dada por la Ec. (87), con el signo positivo para las partículas “habituales”, y signo negativo para las antipartículas - ver Fig. 6a anterior. Obsérvese que para formar, a partir del paquete de ondas de una partícula, un paquete de ondas similar para la antipartícula, con las mismas velocidades de fase y grupo (2.33a) en cada dirección, necesitamos cambiar el signo no solo antes\(\omega\), sino también antes\(\mathbf{k}\), es decir, para reemplazar todas las funciones de onda de componente (85), y de ahí la función de onda completa, con sus complejos conjugados.

De las propiedades más formales de la Ec. (84), es fácil demostrar que sus soluciones satisfacen la misma ecuación de continuidad (1.52), con la densidad de corriente de probabilidad\(\mathbf{j}\) aún dada por la ecuación (1.47), pero una expresión diferente para la densidad de probabilidad\(w\) -que se vuelve muy similar a eso por\(\mathbf{j}\):\[w=\frac{i \hbar}{2 m c^{2}}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial t}-\text { c.c. }\right), \quad \mathbf{j}=\frac{i \hbar}{2 m}\left(\Psi \nabla \Psi^{*}-\text { c.c. }\right)\] - muy en el espíritu de la teoría de la relatividad, tratando el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones. (En el límite no relativista\(p / m c \rightarrow 0\), la Ec. (84) permite la reducción de esta expresión para\(w\) a la ecuación no relativista (1.22):\(w \rightarrow \Psi \Psi^{*}\).)

La ecuación de Klein-Gordon puede generalizarse fácilmente para describir una partícula que se mueve en campos externos; por ejemplo, los efectos del campo electromagnético sobre una partícula con carga\(q\) pueden describirse por el mismo reemplazo que en el límite no relativista (ver Sec. 3.1):\[\hat{\mathbf{p}} \rightarrow \hat{\mathbf{P}}-q \mathbf{A}(\mathbf{r}, t), \quad \hat{H} \rightarrow \hat{H}-q \phi(\mathbf{r}, t),\] donde \(\hat{\mathbf{P}}=-i \hbar \nabla\)es el operador de impulso canónico (3.25), y los potenciales vectoriales y escalares,\(\mathbf{A}\) y\(\phi\), deben ser tratados adecuadamente - ya sea como\(c\) -funciones numéricas si la cuantificación del campo electromagnético no es importante para el problema particular, o como operadores (ver Secs. 1-4 anteriores) si es.

Sin embargo, el valor práctico de la ecuación relativista resultante de Schrödinger es bastante limitado, por dos razones principales. En primer lugar, no da la descripción correcta de las partículas con espín. Por ejemplo, para el problema del átomo/ion similar al hidrógeno, es decir, el movimiento de un electrón con la carga eléctrica\(-e\), en el campo central de Coulomb de un núcleo inmóvil con carga\(+Z e\), la ecuación puede resolverse fácilmente exactamente\({ }^{50}\) y produce lo siguiente espectro de niveles de energía (doblemente degenerados):\[E=m c^{2}\left(1+\frac{Z^{2} \alpha^{2}}{\lambda^{2}}\right)^{-1 / 2}, \text { with } \lambda \equiv n+\left[(l+1 / 2)^{2}-Z^{2} \alpha^{2}\right]^{1 / 2}-(l+1 / 2),\] donde\(n=1,2, \ldots\) y\(l=0,1, \ldots, n-1\) son los mismos números cuánticos que en la teoría no relativista (ver Sec. 3.6), y\(\alpha \approx 1 / 137\) es la constante de estructura fina (6.62). Los tres términos principales de la expansión de Taylor de este resultado en el parámetro pequeño\(Z \alpha\) son los siguientes:\[E \approx m c^{2}\left[1-\frac{Z^{2} \alpha^{2}}{2 n^{2}}-\frac{Z^{4} \alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{l+1 / 2}-\frac{3}{4}\right)\right] .\] El primero de estos términos es solo la energía restante de la partícula. El segundo término,\[E_{n}=-m c^{2} \frac{Z^{2} \alpha^{2}}{2 n^{2}} \equiv-\frac{m Z^{2} e^{4}}{\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{2} \hbar^{2}} \frac{1}{2 n^{2}} \equiv-\frac{E_{0}}{2 n^{2}}, \quad \text { with } E_{0}=Z^{2} E_{\mathrm{H}},\] reproduce la fórmula no relativista de Bohr (3.201). Finalmente, el tercer término,\[-m c^{2} \frac{Z^{4} \alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{l+1 / 2}-\frac{3}{4}\right) \equiv-\frac{2 E_{n}^{2}}{m c^{2}}\left(\frac{n}{l+1 / 2}-\frac{3}{4}\right),\] es solo la contribución cinético-relativista perturbadora (6.51) a la estructura fina de los niveles de Bohr (93). Sin embargo, como ya sabemos por la Sec. 6.3, para una partícula spin-1/2 como el electrón, la interacción espín-órbita (6.55) da una contribución adicional a la estructura fina, del mismo orden, de manera que el resultado neto, confirmado por experimento, viene dado por la Ec. (6.60), es decir, es diferente de la Ec. (94). Esto es muy natural, porque la ecuación relativista de Schrödinger no tiene la noción misma de giro.

Segundo, incluso para las partículas masivas sin espinas (como los\(Z^{0}\) bosones), para las cuales se cree que esta ecuación es válida, los problemas más importantes están relacionados con las interacciones de partículas a altas energías del orden de\(\Delta E \sim 2 m c^{2}\) y más allá - ver Ec. (88). Debido a la posibilidad de creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula a tales energías, el número de partículas que participan en tales interacciones es típicamente considerable (y variable), y la descripción adecuada del sistema no viene dada por la ecuación relativista de Schrödinger (que es formulado en términos de partículas únicas), sino por la teoría cuántica de campos -a la que dedicaré sólo unas pocas frases al final de este capítulo-.

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\({ }^{47}\)Este enfoque fue sugerido en 1926-1927, es decir, virtualmente simultáneamente, por (al menos) V. Fock, E. Schrödinger, O. Klein y W. Gordon, J. Kudar, T. de Donder y F.-H. van der Dungen, y L. de Broglie.

\({ }^{48}\)Obsérvese que en la columna izquierda, no relativista de esta tabla, la energía se refiere a la energía de reposo\(m c^{2}\), mientras que en su columna derecha, relativista, se refiere a cero - véase la Ec. (1).

\({ }^{49}\)Debido a la misma P. A. M. Dirac!

\({ }^{50}\)Esta tarea se deja para el ejercicio del lector.