9.4: Cavidad QED

Ahora tengo que visitar, al menos de pasada, el campo de la electrodinámica cuántica de la cavidad (generalmente llamada cavidad\(Q E D\) para abreviar) - el arte y la ciencia de crear y usar el enredo entre estados cuánticos de un sistema atómico (ya sea un átomo, o un ion, o una molécula, etc.) y el campo electromagnético en un volumen macroscópico llamado cavidad resonante (o simplemente “resonador”, o simplemente “cavidad”). Este campo es muy popular hoy en día, especialmente en el contexto de la investigación de computación cuántica y comunicación discutida en la Sec. 8.5. \({ }^{35}\)

La discusión en el apartado anterior se basó en la suposición implícita de que el espectro de energía del campo electromagnético que interactúa con un subsistema atómico es esencialmente continuo, por lo que su estado final se extiende entre muchos modos de campo, perdiendo efectivamente su coherencia con el estado cuántico del subsistema atómico. Esta suposición ha justificado el uso de la Regla de Oro cuántico-mecánica para el cálculo de las tasas de transición espontáneas y estimuladas. Sin embargo, la suposición se vuelve inválida si el campo electromagnético está contenido dentro de un volumen relativamente pequeño, con su tamaño lineal comparable con la longitud de onda de radiación. Si las paredes de tal cavidad reflejan principalmente, en lugar de absorber, radiación, entonces la\(0^{\text {th }}\) aproximación a la disipación de energía puede ser ignorada, y las soluciones particulares de la ecuación\(\mathbf{e}_{j}(\mathbf{r})\) de Helmholtz (5) corresponden a números de onda de modo discretos y bien separados \(k_{j}\)y por lo tanto frecuencias bien separadas\(\omega_{j} \cdot{ }^{36}\) Debido a la conservación de energía, una transición atómica correspondiente a la energía\(\Delta E=\left|E_{\text {ini }}-E_{\text {fin }}\right|\) puede ser efectiva solo si la frecuencia de transición cuántica correspondiente\(\Omega \equiv \Delta E / \hbar\) es cercana a una de estas frecuencias de resonancia. \({ }^{37}\)Como resultado de tal interacción resonante, los estados cuánticos del sistema atómico y el modo electromagnético resonante pueden enredarse.

Una aproximación muy popular para la descripción cuantitativa de este efecto es el llamado\(R a b i\) modelo,\({ }^{38}\) en el que el átomo es tratado como un sistema de dos niveles que interactúa con un solo modo de campo electromagnético de la cavidad resonante. (Como se mostró en la Sec. \(6.5\), este modelo está justificado, por ejemplo, si las transiciones entre todos los demás pares de niveles de energía tienen frecuencias considerablemente diferentes). Como bien sabe el lector por los Capítulos 4-6 (véase en particular la Sec. 5.1), cualquier sistema de dos niveles puede ser descrito, así como un spin-\(1 / 2\), por el hamiltoniano\(b \hat{I}+\mathbf{c} \cdot \hat{\boldsymbol{\sigma}}\). Ya que siempre podemos seleccionar el origen energético que\(b=0\), y la base estatal en la que\(\mathbf{c}=c \mathbf{n}_{z}\), el hamiltoniano del subsistema atómico puede tomarse en la forma diagonal\[\hat{H}_{\mathrm{a}}=c \hat{\sigma}_{z} \equiv \frac{\hbar \Omega}{2} \hat{\sigma}_{z},\] donde\(\hbar \Omega \equiv 2 c=\Delta E\) está la diferencia entre los niveles de energía en ausencia de interacción con el campo. A continuación, de acuerdo con la Ec. (17), ignorando la energía constante del estado fundamental\(\hbar \omega / 2\) (que siempre se puede sumar a la energía al final - si es necesario), la contribución de un modo de campo único de frecuencia\(\omega\) al hamiltoniano total del sistema es\[\hat{H}_{\mathrm{f}}=\hbar \omega \hat{a}^{\dagger} \hat{a} \text {. }\] Finalmente, de acuerdo con la Ec. (16a), el campo eléctrico del modo puede representarse de\[\hat{\mathscr{E}}(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{i}\left(\frac{\hbar \omega}{2}\right)^{1 / 2} \mathbf{e}(\mathbf{r})\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right),\] manera que en la aproximación eléctrico-dipolo (24), la interacción cavita-átomo puede representarse como un producto del campo por algún (digamos,\(y\) -) componente cartesiano\({ }^{39}\) del Pauli \(1 / 2\)operador de giro:\[\hat{H}_{\mathrm{int}}=\mathrm{const} \times \hat{\sigma}_{y} \times \mathscr{E}=\mathrm{const} \times \hat{\sigma}_{y} \times\left(\frac{\hbar \omega}{2}\right)^{1 / 2} \frac{1}{i}\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right)=i \hbar \kappa \hat{\sigma}_{y}\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right),\] donde\(\kappa\) es una constante de acoplamiento (con la dimensión de frecuencia). A la suma de estos tres términos,\[\hat{H} \equiv \hat{H}_{\mathrm{a}}+\hat{H}_{\mathrm{f}}+\hat{H}_{\mathrm{int}}=\frac{\hbar \Omega}{2} \hat{\sigma}_{z}+\hbar \omega \hat{a}^{\dagger} \hat{a}+i \hbar \kappa \hat{\sigma}_{y}\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right) .\] dando una descripción muy razonable del sistema, se le llama el rabi hamiltoniano. A pesar de su aparente simplicidad, usar este hamiltoniano para los cálculos no es tan sencillo. \({ }^{40}\)Sólo en el caso de que el campo electromagnético sea grande y por lo tanto pueda tratarse clásicamente, los resultados que siguen a partir de la Ecuación (69) se reducen a Ecuaciones (6.94) describiendo, en particular, las oscilaciones de Rabi discutidas en la Sec. 6.3. La situación se vuelve más sencilla en el caso más importante cuando las frecuencias\(\Omega\) y\(\omega\) son muy cercanas, permitiendo una interacción efectiva entre el campo de la cavidad y el átomo aunque la constante de acoplamiento\(\kappa\) sea relativamente pequeña. En efecto, si tanto el\(\kappa\) como el llamado desintonización (definido de manera similar al parámetro\(\Delta\) utilizado en la Sec. 6.5),\[\xi \equiv \Omega-\omega\] son mucho más pequeños que\(\Omega \approx \omega\), el hamiltoniano rabi puede simplificarse usando la aproximación de onda rotacional, ya se usaron varios tiempos en este curso. Para ello, es conveniente utilizar los operadores de escalera de giro, definidos de manera absolutamente similar para los del momento angular orbital - ver Ecuaciones. (5.153):\[\hat{\sigma}_{\pm} \equiv \hat{\sigma}_{x} \pm i \hat{\sigma}_{y}, \quad \text { so that } \hat{\sigma}_{y}=\frac{\hat{\sigma}_{+}-\hat{\sigma}_{-}}{2 i} .\] A partir de la Ec. (4.105), es muy fácil encontrar las matrices de estos operadores en la\(z\) base estándar,\[\sigma_{+}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad \sigma_{-}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\] y sus reglas de conmutación, que resultan ser naturalmente similares a las ecuaciones (5.154):\[\left[\hat{\sigma}_{+}, \hat{\sigma}_{-}\right]=4 \hat{\sigma}_{z}, \quad\left[\hat{\sigma}_{z}, \hat{\sigma}_{\pm}\right]=\pm 2 \hat{\sigma}_{\pm} .\] En esta notación, el rabi hamiltoniano se vuelve\[\hat{H}=\frac{\hbar \Omega}{2} \hat{\sigma}_{z}+\hbar \omega \hat{a}^{\dagger} \hat{a}+\frac{\hbar \kappa}{2}\left(\hat{\sigma}_{+}-\hat{\sigma}_{-}\right)\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right),\] y es sencillo usar la Eq. (4.199) y (73) para derivar las ecuaciones de movimiento de Heisenberg Picture para los operadores involucrados. (Haciendo esto, tenemos que recordar que los operadores del subsistema “spin”, por un lado, y del modo campo, por otro lado, se definen en diferentes espacios de Hilbert y por lo tanto conmutan, al menos en momentos de tiempo coincidentes). El resultado (¡hasta ahora, exacto!) es\[\begin{gathered} \dot{\hat{a}}=-i \omega \hat{a}+\frac{i \kappa}{2}\left(\hat{\sigma}_{+}-\hat{\sigma}_{-}\right), \quad \dot{\hat{a}}^{\dagger}=i \omega \hat{a}^{\dagger}+\frac{i \kappa}{2}\left(\hat{\sigma}_{+}-\hat{\sigma}_{-}\right) \\ \dot{\hat{\sigma}}_{\pm}=\pm i \Omega \hat{\sigma}_{\pm}+2 i \kappa\left(\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}\right) \hat{\sigma}_{z}, \quad \dot{\hat{\sigma}}_{z}=i \kappa\left(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}\right)\left(\hat{\sigma}_{+}+\hat{\sigma}_{-}\right) \end{gathered}\] En acoplamiento insignificante,\(\kappa \rightarrow 0\), estas ecuaciones tienen soluciones simples,\[\hat{a}(t) \propto e^{-i \omega t}, \quad \hat{a}^{\dagger}(t) \propto e^{i \omega t}, \quad \hat{\sigma}_{\pm}(t) \propto e^{\pm i \Omega t}, \quad \hat{\sigma}_{z}(t) \approx \text { const },\] y los términos pequeños proporcionales a\(\kappa\) los lados de la derecha de las ecuaciones (75) no pueden afectar dramáticamente estas leyes de evolución del tiempo aunque no lo\(\kappa\) sea exactamente cero. De esos términos, aquellos con frecuencias cercanas a la frecuencia “básica” de cada variable actuarían en resonancia y por lo tanto podrían tener un impacto sustancial en la dinámica del sistema, mientras que los términos no resonantes pueden ser ignorados. En esta aproximación de ondas giratorias, las ecuaciones (75) se reducen a un sistema de ecuaciones mucho más simple:\[\begin{gathered} \dot{\hat{a}}=-i \omega \hat{a}-\frac{i \kappa}{2} \hat{\sigma}_{-}, \quad \dot{\hat{a}}^{\dagger}=i \omega \hat{a}^{\dagger}+\frac{i \kappa}{2} \hat{\sigma}_{+}, \\ \dot{\hat{\sigma}}_{+}=i \Omega \hat{\sigma}_{+}+2 i \kappa \hat{a}^{\dagger} \hat{\sigma}_{z}, \quad \dot{\hat{\sigma}}_{-}=-i \Omega \hat{\sigma}_{-}-2 i \kappa \hat{a} \hat{\sigma}_{z}, \quad \dot{\hat{\sigma}}_{z}=i \kappa\left(\hat{a}^{\dagger} \hat{\sigma}_{-}-\hat{a} \hat{\sigma}_{+}\right) . \end{gathered}\] Alternativamente, estas ecuaciones de movimiento pueden obtenerse exactamente del rabi hamiltoniano (74), si se borra preliminarmente de los términos proporcional a\(\hat{\sigma}_{+} \hat{a}^{\dagger}\) y \(\hat{\sigma}_{-} \hat{a}\), que oscilan rápido y por lo tanto autopromedio para producir prácticamente cero efecto:\[\hat{H}=\frac{\hbar \Omega}{2} \hat{\sigma}_{z}+\hbar \omega \hat{a}^{\dagger} \hat{a}+\frac{\hbar \kappa}{2}\left(\hat{\sigma}_{+} \hat{a}+\hat{\sigma}_{-} \hat{a}^{\dagger}\right), \quad \text { at } \kappa,|\xi|<<\omega, \Omega\] Este es el famoso Jaynes-Cummings Hamiltonian\({ }^{41}\) que es modelo básico utilizado en la cavidad QED y sus aplicaciones. \({ }^{42}\)Para encontrar sus autoestados y energías propias, observemos que a una interacción insignificante\((\kappa\)\(\rightarrow 0)\), el espectro de la energía total\(E\) del sistema, que en este límite es la suma de dos contribuciones independientes del subsistemas atómicos y de campo de cavidad,\[\left.E\right|_{\kappa=0}=\pm \frac{\hbar \Omega}{2}+\hbar \omega n \equiv E_{n} \pm \frac{\hbar \xi}{2}, \quad \text { with } n=1,2, \ldots,\] consiste en pares\(^{43}\) de nivel cercano (Fig. 5) centrados en valores\[E_{n} \equiv \hbar \omega\left(n-\frac{1}{2}\right) .\] (A la resonancia exacta\(\omega=\Omega\), es decir, en\(\xi=0\), cada par se funde en un nivel doblemente degenerado)\(E_{n}\). Dado que en\(\kappa \rightarrow 0\) los dos subsistemas no interactúan, los autoestados correspondientes a los subniveles del\(n^{\text {th }}\) par pueden ser representados por productos directos de sus vectores de estado independientes:\[|+\rangle \equiv|\uparrow\rangle \otimes|n-1\rangle \quad \text { and }|-\rangle \equiv|\downarrow\rangle \otimes|n\rangle,\] donde el primer ket de cada producto representa el estado de los dos- nivel (spin-1/2-like) subsistema atómico, y el segundo ket, el del oscilador de campo.

Fig. 9.5. El espectro energético (79) del Hamiltoniano Jaynes-Cummings en el límite\(\kappa<<|\xi|\). Obsérvese nuevamente que la energía se refiere a la energía\(\hbar \omega / 2\) del estado fundamental del campo de la cavidad.

Como sabemos del Capítulo 6, incluso la interacción débil puede conducir a una fuerte mezcla coherente de 44 estados cuánticos con energías cercanas (en este caso, los dos estados (81) dentro de cada par con el mismo\(n\)), mientras que su mezcla con los estados con energías más lejanas sigue siendo insignificante. De ahí que\(0<\kappa,|\xi|<<\omega \approx \Omega\), en, una buena aproximación del autoestado con\(E \approx E_{n}\) viene dada por una superposición lineal de los estados (81):\[\left|\alpha_{n}\right\rangle=c_{+}|+\rangle+c_{-}|-\rangle \equiv c_{+}|\uparrow\rangle \otimes|n-1\rangle+c_{-}|\downarrow\rangle \otimes|n\rangle,\] con ciertos coeficientes\(c\) -numéricos\(c_{\pm}\). Esta relación describe el enredo de los autoestados atómicos\(\uparrow\) y\(\downarrow\) con el número de estados Fock\(n\) y\(n-1\) del modo campo. Permítanme dejar el cálculo (directo) de los coeficientes\(\left(c_{\pm}\right)^{\pm}\) para cada uno de los dos estados enredados (para cada uno\(n\)) para el ejercicio del lector. (El resultado para las dos energías propias correspondientes\(\left(E_{n}\right)_{\pm}\) puede ser nuevamente representado por el mismo diagrama anticrosante que se muestra en las Figs. \(2.29\)y 5.1, ahora con la desintonización\(\xi\) como argumento.) Este cálculo muestra, en particular, que at\(\xi=0\) (es decir, at\(\omega=\Omega),\left|c_{+}\right|=\left|c_{-}\right|=1 / \sqrt{2}\) para ambos estados del par. Este hecho puede interpretarse como un (¡coherente!) reparto igual de un cuántico de energía\(\hbar \omega=\hbar \Omega\) por el átomo y el campo de la cavidad en la resonancia exacta.

Como subproducto (ojalá, evidente de sí mismo) del cálculo de\(c_{\pm}\) es el hecho de que la dinámica del estado\(\alpha_{n}\) descrita por la Ec. (82), es similar a la del sistema genérico de dos niveles que se discutió repetidamente en este curso, la primera vez en la Sec. \(2.6\)y luego en los Capítulos 4-6. En particular, si el sistema compuesto se había preparado inicialmente para estar en un estado de componente, por ejemplo\(|\uparrow\rangle \otimes|0\rangle\) (es decir, con el átomo excitado, mientras que la cavidad en su estado fundamental), y luego se le permitió evolucionar por sí solo, después de algún intervalo de tiempo\(\Delta t \sim 1 / \kappa\) se puede encontrar definitivamente en el estado de contraparte\(|\downarrow\rangle \otimes|1\rangle\), incluyendo el primer estado excitado de Fock\(n=1\) de la modalidad campo. Si se permite que el proceso continúe, después del intervalo de tiempo igual\(\Delta t\), el sistema vuelve al estado inicial\(|\uparrow\rangle \otimes|0\rangle\), etc. Esta predicción más llamativa del modelo JaynesCummings fue observada directamente, por G. Rempe et al., solo en 1987, aunque menos directamente esta fue confirmado repetidamente por numerosos experimentos llevados a cabo en las décadas de 1960 y 1970.

Esta versión cuantificada de las oscilaciones de Rabi solo puede persistir en el tiempo si las inevitables pérdidas de energía electromagnética (no descritas por el Hamiltoniano Jaynes-Cummings básico) son compensadas de alguna manera, por ejemplo, pasando un haz de partículas, excitadas externamente al estado de mayor energía \(\uparrow\), aunque la cavidad. Si las pérdidas llegan a ser mayores, la disipación suprime la coherencia cuántica, en nuestro caso la coherencia entre dos componentes de cada par (82), como se discutió en el Capítulo 7. Como resultado, la transición del estado atómico de mayor energía\(\uparrow\) al estado de menor energía\(\downarrow\), dando energía\(\hbar \omega\) a la cavidad\((n-1 \rightarrow n)\), que luego se drena rápidamente al ambiente, se vuelve incoherente, de modo que el sistema dinámica se reduce al efecto Purcell, ya mencionado en la Sec. 3. Se deja un análisis cuantitativo de este efecto para el ejercicio del lector.

El número de juegos de física interesantes que uno puede jugar con tales sistemas, digamos agregando fuentes externas de radiación a una frecuencia cercana\(\omega\) y\(\Omega\), en particular con amplitud y/o fase manipuladas dependientes del tiempo, siempre es ilimitado. \({ }^{45}\)Desafortunadamente, mi asignación de tiempo/espacio para la cavidad QED ha terminado, y para mayor discusión, tengo que referir al lector interesado a literatura especial. \({ }^{46}\)

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\({ }^{35}\)Esta popularidad quedó demostrada, por ejemplo, por la concesión del Premio Nobel de Física 2012 a los experimentalistas de QED de cavidad S. Haroche y D. Wineland.

\({ }^{36}\)El cálculo de dichos modos y frecuencias correspondientes para varias geometrías de cavidades simples fue objeto de EM Sec. \(7.8\)de esta serie.

\({ }^{37}\)Por el contrario, si\(\Omega\) está lejos de existir\(\omega\), se suprime la interacción; en particular, la tasa de emisión espontánea puede ser muy inferior a la dada por la Ec. (53), de manera que este resultado no sea tan fundamental como pueda parecer.

\({ }^{38}\)Después del trabajo pionero de I. Rabi en 1936-37.

\({ }^{39}\)El componente exacto no es importante para los resultados finales, mientras que las fórmulas intermedias simplifican si la interacción es proporcional a pura\(\hat{\sigma}_{x}\) o pura\(\hat{\sigma}_{y}\).

\({ }^{40}\)Por ejemplo, recientemente se encontró una expresión cuasianalítica exacta para sus energías propias (como ceros de una serie de Taylor en el parámetro\(\kappa\), con coeficientes determinados por una relación de recurrencia) - ver D. Braak, Phys. Rev. Lett. 107, 100401 (2011).

\({ }^{41}\)Fue propuesta y analizada por primera vez en 1963 por dos ingenieros, Edwin Jaynes y Fred Cummings, en un Proc. Publicación IEEE, y la comunidad física tardó un tiempo en reconocer y reconocer la importancia fundamental de ese trabajo.

\({ }_{42}\)Para la mayoría de las aplicaciones, la línea base hamiltoniana (78) tiene que aumentarse con términos adicionales que describen, por ejemplo, la radiación entrante y/o el acoplamiento del sistema al ambiente, por ejemplo, debido a la pérdida de energía electromagnética en un\(Q\) factor finito cavidad - ver Ec. (7.68).

\({ }^{43}\)Sólo el nivel de estado base\(E_{\mathrm{g}}=-\hbar \Omega / 2\) es no degenerado\(-\) ver Fig. 5.

\({ }^{44}\)En algunos campos, especialmente la química, dicha mezcla se denomina frecuentemente hibridación.

\({ }^{45}\)La mayoría de ellos pueden describirse agregando nuevos términos al básico Jaynes-Cummings Hamiltonian (78).

\({ }^{46}\)Puedo recomendar, por ejemplo, ya sea C. Gerry y P. Knight, Introductory Quantum Optics, Cambridge U. Press, 2005, o G. Agarwal, Quantum Optics, Cambridge U. Press,\(2012 .\)