9.7: Límite bajo de energía

La generalización de la teoría de Dirac al caso de una partícula (spin-\(1 / 2\)) con carga eléctrica\(q\), que se mueve en un campo electromagnético descrito clásicamente, se puede obtener utilizando el mismo reemplazo (90). Como resultado, la ecuación (95) se convierte en\[\left[c \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})+m c^{2} \hat{\beta}+(q \phi-\hat{H})\right] \Psi=0\] donde se entiende al operador\(\hat{H}\) hamiltoniano en el sentido de la ecuación (95), es decir, como la derivada de tiempo parcial con el multiplicador\(i \hbar\). Preparemos esta ecuación para una aproximación de baja energía actuando en su lado izquierdo por un corchete similar pero con el signo opuesto antes de los últimos paréntesis ¡también un operador! Usando las ecuaciones (99) y (100), y el hecho de que los operadores independientes del espacio y del tiempo\(\hat{\boldsymbol{\alpha}}\) y\(\hat{\beta}\) conmuten con las funciones de giro independiente,\(c\) -número\(\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)\) y\(\phi(\mathbf{r}, t)\), así como con el hamiltoniano operador\(i \hbar \partial / \partial t\), el resultado es\[\left\{c^{2}[\hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})]^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}-c[\hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A}),(q \phi-\hat{H})]-(q \phi-\hat{H})^{2}\right\} \Psi=0 .\] Un cálculo directo del primer corchete, usando Eqs. (98) y (107), rinde\[[\hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})]^{2} \equiv(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})^{2}-2 q \hat{\mathbf{S}} \cdot \nabla \times \mathbf{A}\] Pero el último producto vectorial en el lado derecho es solo el campo magnético - ver, por ejemplo, Eqs. (3.21):\[\mathscr{B}=\nabla \times \mathbf{A} \text {. }\] Del mismo modo, podemos usar el primero de Eqs. (3.21), para el campo eléctrico,\[\mathscr{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\] para simplificar el conmutador que participa en la Ec. (9.113):\[[\hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A}),(q \phi-\hat{H})] \equiv-q \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot[\hat{H}, \mathbf{A}]-i \hbar q \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot[\nabla, \phi] \equiv-i \hbar q \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-i \hbar \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot \nabla \phi \equiv i \hbar q \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot \mathscr{E}\] Como resultado, la Eq. (113) se vuelve\[\left.\left\{c^{2}(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})^{2}+(q \phi-\hat{H})^{2}-\left(m c^{2}\right)^{2}-2 q c^{2} \hat{\mathbf{S}} \cdot \mathscr{B}+i \hbar c q \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot \mathscr{E}\right\}\right\} \Psi=0\] Hasta el momento, este es un resultado exacto, equivalente a la Eq. (112), pero es más conveniente para un análisis del límite de baja energía, en el que no sólo el desplazamiento de energía\(E-m c^{2}\) (que es solo la energía utilizada en la mecánica no relativista), pero también la energía electrostática de la partícula,\(|q\langle\phi\rangle|\), son mucho más pequeñas que la energía de reposo\(m c^{2}\). En este límite, los términos segundo y tercero de la Ec. (118) casi cancelan, e introduciendo el offset hamiltoniano\[\hat{\tilde{H}} \equiv \hat{H}-m c^{2} \hat{I} .\] podemos aproximar su diferencia, hasta el primer término distinto de cero, ya que\[(q \phi \hat{I}-\hat{H})^{2}-\left(m c^{2}\right)^{2} \hat{I} \equiv\left(q \phi \hat{I}-m c^{2} \hat{I}-\hat{\tilde{H}}\right)^{2}-\left(m c^{2}\right)^{2} \hat{I} \approx 2 m c^{2}(\hat{\tilde{H}}-q \phi \hat{I}) .\] Como resultado, después de la división de todos los términos por\(2 m c^{2}\), la Ec. (118) puede aproximarse como Hamiltoniano de baja energía\[\hat{\tilde{H}} \Psi=\left[\frac{1}{2 m}(-i \hbar \nabla-q \mathbf{A})^{2}+q \phi-\frac{q}{m} \hat{\mathbf{S}} \cdot \mathscr{B}+\frac{i \hbar q}{2 m c} \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot \mathscr{E}\right] \Psi\] Hablemos de este importante resultado. Los dos primeros términos entre corchetes dan al hamiltoniano no relativista (3.26), el cual fue ampliamente utilizado en el Capítulo 3 para la discusión del movimiento de partículas cargadas. Obsérvese nuevamente que la contribución del potencial vectorial\(\mathbf{A}\) en ese hamiltoniano es esencialmente relativista, en el siguiente sentido: cuando se usa para la descripción de la interacción magnética de dos partículas cargadas, debido a su movimiento orbital con velocidad\(v<<c\), el la interacción magnética es un factor\((v / c)^{2}\) menor que la interacción electrostática de las partículas. \({ }^{55}\)La razón por la que discutimos los efectos de\(\mathbf{A}\) en el Capítulo 3 fue que se utilizó allí para describir los campos magnéticos externos, manteniendo nuestro análisis válido incluso para los casos en que ese campo es fuerte por ser producido por efectos relativistas, como los alineados giros de un imán permanente.

El siguiente, tercer término entre corchetes de la Ec. (121) también debería ser familiar para el lector: este es el Pauli Hamiltoniano - véanse las Ecuaciones (4.3), (4.5) y (4.163). Al justificar esta forma de interacción en el Capítulo 4, me referí principalmente a los resultados de experimentos de tipo Stern-Gerlach, pero es sumamente grato que este resultado\(^{56}\) se devenga de un tratamiento relativista tan fundamental como la teoría de Dirac. Como ya sabemos por la discusión del efecto Zeeman en la Sec. 6.4, los efectos del campo magnético sobre el movimiento orbital de un electrón (descrito por el momento angular orbital\(\mathbf{L}\)) y su espín\(\mathbf{S}\) son del mismo orden, aunque cuantitativamente diferentes.

Por último, el último término entre corchetes de la ecuación (121) tampoco es del todo nuevo para nosotros: en particular, describe la interacción espín-órbita. En efecto, en el caso de un campo eléctrico clásico esférico-simétrico\(\mathscr{E}\) correspondiente al potencial\(\phi(r)=U(r) / q\), este término puede reducirse a la ecuación (6.56):\[\hat{H}_{\mathrm{so}}=\frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \hat{\mathbf{S}} \cdot \hat{\mathbf{L}} \frac{1}{r} \frac{d U}{d r} \equiv-\frac{q}{2 m^{2} c^{2}} \hat{\mathbf{S}} \cdot \hat{\mathbf{L}} \frac{1}{r} \mathscr{E}\] La prueba de esta correspondencia requiere un poco de trabajo adicional. \({ }^{57}\)En efecto, en la Ec. (121), el término responsable de la interacción espín-órbita actúa sobre las funciones de onda de 4 componentes, mientras que el hamiltoniano (122) se supone que actúa sobre vectores de estado no relativistas con cuenta de espín, cuya representación de coordenadas puede estar dada por espinores de 2 componentes: ⁵⁸\[\psi=\left(\begin{array}{l} \psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow} \end{array}\right) .\] La forma más sencilla de probar la equivalencia de estas dos expresiones no es usar la ecuación (121) directamente, sino volver a la ecuación de Dirac (112), para el caso particular de movimiento en un campo eléctrico estático pero no campo magnético, cuando el hamiltoniano de Dirac se reduce a\[\hat{H}=c \hat{\boldsymbol{\alpha}} \cdot \hat{\mathbf{p}}+\hat{\beta} m c^{2}+U(\mathbf{r}), \quad \text { with } U=q \phi .\] Desde este hamiltoniano es independiente del tiempo, podemos buscar sus funciones propias de 4 componentes en la forma\[\Psi(\mathbf{r}, t)=\left(\begin{array}{l} \psi_{+}(\mathbf{r}) \\ \psi_{-}(\mathbf{r}) \end{array}\right) \exp \left(-i \frac{E}{\hbar} t\right),\] donde cada una de\(\psi_{\pm}\) es una columna de 2 componentes del tipo (123), representando dos estados de espín de la partícula (índice\(+\)) y su antipartícula (índice -). Conectando la Eq. (125) a la Eq. (95) con el Hamiltoniano (124), y usando la Ec. (98a), obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:\[\left[E-m c^{2}-U(\mathbf{r})\right] \psi_{+}-c \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \psi_{-}=0, \quad\left[E+m c^{2}-U(\mathbf{r})\right] \psi_{-}-c \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \psi_{+}=0 .\] Expresando\(\psi\). de esta última ecuación, y tapando el resultado a la primera, obtenemos la siguiente ecuación única para las partículas spinor:\[\left[E-m c^{2}-U(\mathbf{r})-c^{2} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \frac{1}{E+m c^{2}-U(\mathbf{r})} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}}\right] \psi_{+}=0 .\] Hasta ahora, esta es una ecuación exacta para los autoestados y los valores propios del hamiltoniano (124), pero puede simplificarse sustancialmente en el límite de baja energía cuando tanto la energía\({ }^{59}\) potencial como la autoenergía no relativista\[\widetilde{E} \equiv E-m c^{2}\] son mucho más bajas que \(m c^{2}\). En efecto, en este caso, la expresión en el denominador del último término entre paréntesis de la Ec. (127) es cercana a\(2 m c^{2}\). Ya que\(\sigma^{2}=1\), con ese reemplazo, la ecuación (127) se reduce a la ecuación no relativista de Schrödinger, similar para ambos componentes de espín de\(\psi_{+}\), y por lo tanto dando niveles de energía spindegenerate. Para recuperar pequeños efectos relativistas y espín-órbita, necesitamos una aproximación ligeramente más precisa:\[\frac{1}{E+m c^{2}-U(\mathbf{r})} \equiv \frac{1}{2 m c^{2}+\widetilde{E}-U(\mathbf{r})} \equiv \frac{1}{2 m c^{2}}\left[1+\frac{\widetilde{E}-U(\mathbf{r})}{2 m c^{2}}\right]^{-1} \approx \frac{1}{2 m c^{2}}\left[1-\frac{\widetilde{E}-U(\mathbf{r})}{2 m c^{2}}\right],\] en la que la Ec. (127) se reduce a\[\left[\widetilde{E}-U(\mathbf{r})-\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \frac{\widetilde{E}-U(\mathbf{r})}{\left(2 m c^{2}\right)^{2}} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}}\right] \psi_{+}=0\] As Eqs. (5.34) muestra, los operadores del momentum y de una función de coordenadas\[[\hat{\mathbf{p}}, U(\mathbf{r})]=-i \hbar \nabla U,\] conmutan de manera que el último término entre corchetes de la Ec. (130) puede reescribirse como\[\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \frac{\widetilde{E}-U(\mathbf{r})}{(2 m c)^{2}} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}} \equiv \frac{\widetilde{E}-U(\mathbf{r})}{(2 m c)^{2}} \hat{p}^{2}-\frac{i \hbar}{(2 m c)^{2}}(\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \nabla U)(\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}}) .\] Dado que en el límite de baja energía, ambos términos del lado derecho de esta relación son mucho más pequeños que los tres términos principales de la Ec. (130), podemos reemplazar el numerador del primer término con su aproximación no relativista\(\hat{p}^{2} / 2 \mathrm{~m}\). Con este reemplazo, el término coincide con la primera corrección relativista al operador de energía cinética - ver Ec. (6.47). El segundo término, proporcional al campo eléctrico\(\mathscr{E}=-\nabla \phi=-\nabla U / q\), puede transformarse más adelante, utilizando una identidad\[(\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \nabla U)(\hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{p}}) \equiv(\nabla U) \cdot \hat{\mathbf{p}}+i \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot[(\nabla U) \times \hat{\mathbf{p}}] .\] fácilmente verificable De los dos términos del lado derecho de esta relación, sólo el segundo depende del giro,\({ }^{60}\) dando el siguiente spin-orbital contribución de interacción al hamiltoniano,\[\hat{H}_{\mathrm{so}}=\frac{\hbar}{(2 m c)^{2}} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot[(\nabla U) \times \hat{\mathbf{p}}] \equiv \frac{q}{2 m^{2} c^{2}} \hat{\mathbf{S}} \cdot[(\nabla \phi) \times \hat{\mathbf{p}}] .\] Para un potencial central\(\phi(r)\), su gradiente tiene solo la componente radial:\(\nabla \phi=(d \phi / d r) \mathbf{r} / \mathrm{r}=-\delta \mathbf{r} / r\), y con la definición de momento angular (5.147), la Ec. (134) es (¡finalmente!) reducido a la Eq. (122).

Como se demostró en la Sec. 6.3, el tratamiento perturbador de la Ec. (122), junto con la corrección cinéticrelativista (6.47), en el problema de átomo/ion similar al hidrógeno, conduce a la estructura fina de cada nivel de Bohr\(E_{n}\), dada por la Ec. (6.60):\[\Delta E_{\text {fine }}=-\frac{2 E_{n}}{m c^{2}}\left(3-\frac{4 n}{j+1 / 2}\right) .\] Este resultado recibe una confirmación de la hecho sorprendente de que para el problema del átomo/ion similar al hidrógeno, la ecuación de Dirac puede resolverse exactamente, sin ningún supuesto. No tendría tiempo/espacio para reproducir la solución,\({ }^{61}\) y solo enumeraré el resultado final para el espectro de energía:\[\frac{E}{m c^{2}}=\left\{1+\frac{Z^{2} \alpha^{2}}{\left[n+\left\{(j+1 / 2)^{2}-Z^{2} \alpha^{2}\right\}^{1 / 2}-(j+1 / 2)\right]^{2}}\right\}^{-1 / 2}\] Aquí\(n=1,2, \ldots\) está el mismo número cuántico principal que en la teoría de Bohr, mientras que\(j\) es el número cuántico que especifica el valores propios (5.175) de\(J^{2}\), en nuestro caso de una\(1 / 2\) partícula de espín tomando valores semienteros:\(j=l \pm 1 / 2=1 / 2,3 / 2,5 / 2, \ldots-\) ver Ec. (5.189). Esto es natural, ya que debido a la interacción espín-órbita, el momento orbital y el espín no se conservan, mientras que su suma vectorial\(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\),, es al\(-\) menos en ausencia de un campo externo. Cada nivel de energía (136) es doblemente degenerado, con dos estados propios que representan dos direcciones del giro. (En el límite de baja energía, podemos decir: correspondiente a dos valores de\(l=j \mp 1 / 2\), a fijo\(j\).)

Hablando de ese límite (cuando\(E-m c^{2} \sim E_{\mathrm{H}}<m c^{2}\)): ya que de acuerdo con la Ec. (1.13) para\(E_{\mathrm{H}}\), el cuadrado de la constante de estructura fina\(\alpha \equiv e^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} \hbar \mathrm{c}\) puede representarse como la relación\(E_{\mathrm{H}} / m c^{2}\), podemos seguir este límite expandiendo la Ec. (136) en la serie Taylor en \((Z \alpha)^{2}<<1\). El resultado,\[E \approx m c^{2}\left[1-\frac{Z^{2} \alpha^{2}}{2 n^{2}}-\frac{Z^{4} \alpha^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{|j+1 / 2|}-\frac{3}{4}\right)\right],\] tiene la misma estructura, y permite la misma interpretación que la Ec. (92), pero con el último término coincidiendo con la Ec. (6.60) - y con resultados experimentales. Históricamente, esta correcta descripción de la estructura fina de los niveles atómicos proporcionó la prueba decisiva de la teoría de Dirac.

Sin embargo, incluso una teoría tan impresionante no tiene demasiadas aplicaciones directas. La razón principal de eso ya se discutió brevemente al final de\(\mathrm{Sec}\). 5: debido a la posibilidad de creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula por una afluencia de energía mayor que\(2 m c^{2}\), el número de partículas que participan en interacciones de alta energía no es fijo. Una adecuada descripción general de tales situaciones viene dada por la teoría del campo cuántico, en la que la función de onda de la partícula se trata como un campo a cuantificar, utilizando los llamados operadores de campo\(\hat{\Psi}(\mathbf{r}, t)-\) muy similares a los operadores de campo electromagnético (16). La ecuación de Dirac se desprende de dicha teoría en la aproximación de una sola partícula.

Como se mencionó anteriormente en varias ocasiones, la teoría cuántica de campos está mucho más allá de los límites tiempo/espacio de este curso, y tengo que detenerme aquí, refiriendo al lector interesado a uno de varios libros de texto excelentes sobre esta disciplina. \({ }^{62}\)Sin embargo, animaría fuertemente a los estudiantes que van en esta dirección a comenzar jugando con los operadores de campo por su cuenta, tomando pistas de las ecuaciones (16), pero reemplazando a los operadores de creación/aniquilaciones\(\hat{a}_{j}^{\dagger}\) y\(\hat{a}_{j}\) de los electromagnéticos osciladores de campo con los del formalismo general de segunda cuantificación esbozado en\(\mathrm{Sec} .8 .3\).

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\({ }^{55}\)Esta diferencia puede ser trazada por medios clásicos - véase, por ejemplo, EM Sec. 5.1.

\({ }^{56}\)Obsérvese que en este resultado, el\(g\) -factor de la partícula sigue siendo igual exactamente a 2 - véase la Ec. (4.115) y su discusión en la Sec. 4.4. Para describir la pequeña desviación\(g_{\mathrm{e}}\) de 2, se debe cuantificar el campo electromagnético (tal como se discutió en las Secs. 1-4 de este capítulo), y sus potenciales\(\mathbf{A}\) y\(\phi\), participando en la Ec. (121), deben ser tratados como operadores - en lugar de como\(c\) -funciones de número como se asumió anteriormente.

\({ }^{57}\)Los únicos hechos inmediatamente evidentes a partir de la Ec. (121) son que el término que estamos discutiendo es proporcional al campo eléctrico, como lo requiere la Ec. (122), y que es del orden de magnitud adecuado. En efecto, las ecuaciones (101) - (102) implican que en la teoría de Dirac, c\ hat {\ boldsymbol {\ alpha juega el papel del operador de velocidad, de manera que los valores de expectativa del término}} son del orden de\(\hbar q v \varepsilon / 2 m c^{2}\). Dado que los valores de expectativa de los operadores que participan en la escala hamiltoniana (122) como\(S \sim \hbar / 2\) y\(L \sim m v r\), la energía de interacción espín-órbita tiene el mismo orden de magnitud.

\({ }^{58}\)En este curso, la noción de espinor (popular en algunos libros de texto) no se utilizó mucho; se introdujo antes solo para estados de dos partículas - ver Ec. (8.13). Para una sola partícula, dicha definición se reduce a\(\psi(\mathbf{r})|s\rangle\), cuya representación en una base particular de spin-1/2 es la columna (123). Nótese que tales espinores pueden ser utilizados como base para una expansión de los orbitales de espín\(\psi_{j}(\mathbf{r})\) definidos por la ecuación (8.125), donde el índice\(j\) se usa para numerar tanto la orientación del espín (es decir, el componente particular de la columna de la espina) como la función propia orbital.

\({ }^{59}\)Estrictamente hablando, este requisito se impone a los valores de expectativa de\(U(\mathbf{r})\) en los propios estados que se encuentran.

\({ }^{60}\)El primer término da un pequeño cambio de energía independiente del giro, que es muy difícil de verificar experimentalmente.

\({ }^{61}\)Buenas descripciones de la solución están disponibles en muchos libros de texto (cuanto más antiguos, mejor :-) - ver, por ejemplo, Sec. 53 en L. Schiff, Quantum Mechanics,\(3^{\text {rd }}\) ed., McGraw-Hill (1968).

\({ }^{62}\)Para una introducción gradual véase, por ejemplo, L. Brown, Quantum Field Theory, Cambridge U. Press (1994) o R. Klauber, Student Friendly Quantum Field Theory, Sandtrove (2013). Por otro lado, M. Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge U. Press (2007) y A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell,\(2^{\text {nd }}\) ed., Princeton (2010), entre otros, ofrecen curvas de aprendizaje más pronunciadas.