9.8: Problemas de ejercicio

9.1. Demostrar la fórmula Casimir, dada por la Ec. (23), calculando la fuerza neta\(F=\mathcal{P} A\) ejercida por el campo electromagnético, en su estado fundamental, sobre dos placas de área paralelas perfectamente conductoras\(A\), separadas por un hueco de vacío de ancho\(t \ll<A^{1 / 2}\).

Pista: Calcule la energía de campo en el volumen de hueco con y sin la cuenta del efecto de placa, y luego aplique la fórmula de Euler-Maclaurin\(^{63}\) a la diferencia entre estos dos resultados.

9.2. La radiación electromagnética de algunas fuentes cuánticas monomodo puede tener un grado de coherencia tan alto que es posible observar la interferencia de ondas de dos fuentes independientes con prácticamente la misma frecuencia, incidentes en un detector.

(i) Generalizar la Ec. (29) a este caso.

(ii) Utilice esta expresión generalizada para mostrar que las ondas incidentes en diferentes estados de Fock no crean un patrón de interferencia.

9.3. Calcular el valor\(g^{(2)}(0)\) de retardo cero de la función de correlación de segundo orden de un campo electromagnético unimodal en el llamado estado Schrödinger-CAT 64, una superposición coherente de dos estados Glauber, con parámetros iguales pero de signo opuesto\(\alpha\), y un cierto desplazamiento de fase entre ellos.

9.4. Calcular el valor\(g^{(2)}(0)\) de retardo cero de la función de correlación de segundo orden de un campo electromagnético monomodo en el estado básico exprimido\(\zeta\) definido por la ecuación (5.142).

9.5. Calcular la tasa de emisión espontánea de fotones (en espacio libre sin restricciones) por un átomo de hidrógeno, inicialmente en el\(2 p\) estado\((n=2, l=1)\) con\(m=0\). ¿El resultado sería diferente para\(m=\pm\) 1? para el\(2 s\) estado\((n=2, l=0, m=0)\)? Discutir la relación entre estos resultados cuántico-mecánicos y los dados por la teoría clásica de la radiación para el modelo clásico más simple del átomo.

9.6. Un electrón se ha colocado en el nivel más bajo de excitación de un pozo de potencial cuadrático, esféricamente simétrico\(U(\mathbf{r})=m_{\mathrm{e}} \omega^{2} r^{2} / 2\). Calcular la tasa de su relajación al estado fundamental, con la emisión de un fotón (al espacio libre sin restricciones). Comparar la velocidad con la de una transición similar del átomo de hidrógeno, para el caso en que las frecuencias de radiación de estos dos sistemas sean iguales.

9.7. Derivar un análogo de la Ec. (53) para la emisión espontánea de fotones al espacio libre, debido a un cambio del momento dipolar magnético\(\mathbf{m}\) de un sistema de pequeño tamaño.

9.8. Una\(1 / 2\) partícula de espín, con una relación giromagnética\(\gamma\), se encuentra en su estado fundamental orbital en campo magnético de CC\(\mathscr{B}_{0}\). Calcular la velocidad de su transición espontánea del nivel de energía superior al inferior, con la emisión de un fotón al espacio libre. Evaluar esta tasa para en un electrón en un campo de\(10 \mathrm{~T}\), y discutir las implicaciones de este resultado para experimentos de laboratorio con espines de electrones.

9.9. Calcular la tasa de transiciones espontáneas entre los dos subniveles del estado fundamental de un átomo de hidrógeno, formado como resultado de su división hiperfina. Discutir las implicaciones del resultado para el ancho de la línea\(21-\mathrm{cm}\) espectral de hidrógeno.

9.10. Encontrar los autoestados y valores propios del Hamiltoniano Jaynes-Cummings (78), y discutir su comportamiento cerca del punto de resonancia\(\omega=\Omega\).

9.11. Analizar el efecto Purcell, mencionado en las Secs. 3 y 4, cuantitativamente; en particular, calcular el llamado factor Purcell\(F_{\mathrm{P}}\) definido como la relación de la tasa\(\Gamma_{\mathrm{s}}\) de emisión espontánea del átomo en una cavidad resonante sintonizado exactamente a la frecuencia de transición cuántica, para eso en el espacio libre.

9.12. Demostrar que la ecuación de Klein-Gordon (84) puede ser reescrita en forma similar a la ecuación no relativista de Schrödinger (1.25), pero para una función de onda de dos componentes, con la hamiltoniana representada (en la\(z\) base habitual) por la siguiente\(2 \times 2\) -matriz:

\[\mathrm{H}=-\left(\sigma_{z}+i \sigma_{y}\right) \frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+m c^{2} \sigma_{z} .\]Use su solución para discutir el significado físico de los componentes de la función de onda.

9.13. Calcular y discutir el espectro de energía de una partícula relativista, sin espinas, cargada colocada en un campo magnético externo uniforme e independiente del tiempo\(\mathscr{R}\). Utilizar el resultado para formular la condición de validez de la teoría no relativista en esta situación.

9.14. Probar la Ec. (91) para el espectro de energía de un átomo/ion similar al hidrógeno, a partir de la ecuación relativista de Schrödinger.

Pista: Un análisis matemático de la Ec. (3.193) muestra que sus valores propios están dados por la Ec. (3.201)\(\varepsilon_{n}=-1 / 2 n^{2}\),\(n=l+1+n_{r}\), with, donde\(n_{r}=0,1,2, \ldots\), incluso si el parámetro no\(l\) es entero.

9.15. Derivar una expresión general para la sección transversal diferencial de dispersión elástica de una partícula relativista sin espinas por un potencial estático\(U(\mathbf{r})\), en la aproximación Born, y formular las condiciones de su validez. Utilice estos resultados para calcular la sección transversal diferencial de dispersión de una partícula con la carga eléctrica\(-e\) por el potencial electrostático de Coulomb\(\phi(\mathbf{r})=Z e / 4 \pi \varepsilon_{0} r\).

9.16. Partiendo de las ecuaciones (95) - (98), demostrar que la densidad de probabilidad\(w\) dada por la ecuación (101) y la densidad de corriente de probabilidad\(\mathbf{j}\) definida por la ecuación (102) efectivamente satisfacen la ecuación de continuidad (1.52):\(\partial w / \partial t+\nabla \cdot \mathbf{j}=0\).

9.17. Calcular el conmutador del operador\(\hat{L}^{2}\) y Hamiltoniano de Dirac de una partícula libre. Comparar el resultado con el del hamiltoniano no relativista, e interpretar la diferencia.

9.18. Calcular los conmutadores de los operadores\(\hat{S}^{2}\) y\(\hat{J}^{2}\) con Hamiltoniano de Dirac (97), y dar una interpretación de los resultados.

9.19. En la imagen de Heisenberg de la dinámica cuántica, deriva una ecuación que describe la evolución temporal de la velocidad del electrón libre en la teoría de Dirac. Resuelva la ecuación para el estado más simple, con energía e impulso definidos, y discuta la solución.

9.20. Calcular los estados propios y las energías propias de una\(1 / 2\) partícula de espín relativista con carga\(q\), colocada en un campo magnético externo uniforme e independiente del tiempo\(\mathscr{B}\). Comparar el espectro energético calculado con los que siguen la teoría no relativista y la ecuación relativista de Schrödinger.

9.21. Después de la discusión al final de la Sección 7, introducir operadores de campo cuántico\(\hat{\psi}\) que estarían relacionados con las funciones de onda habituales,\(\psi\) así como los operadores de campo electromagnético (16) están relacionados con los campos electromagnéticos clásicos, y explorar básicos propiedades de estos operadores. (Para este estudio preliminar, considere la situación de tiempo fijo.)

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\({ }^{63}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (2.12a).

\({ }^{64}\)Su nombre proviene de la conocida paradoja del gato de Schrödinger, que se discute (muy brevemente) en la Sec. 10.1.