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2.13: Elipse Momental

Última actualización

30 oct 2022
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- 2.12: Rotación de Ejes
- 2.14: vectores propios y valores propios

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$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Considera una lámina plana tal que su radio de giro alrededor de algún eje a través del centro de masa sea $k$ . Que P sea un vector en la dirección de ese eje, que se origina en el centro de masa, dado por

${\bf P} = \frac{a^2}{k} {\bf\hat{r}} \label{eq:2.13.1}$

alt

Aquí $\bf \hat{r}$ hay un vector unitario en la dirección de interés; $k$ es el radio de giro, y $a$ es una longitud arbitraria introducida de manera que las dimensiones de $\bf P$ son las de longitud, y la longitud del vector $\bf P$ es inversamente proporcional al radio de giro. El momento de inercia es $Mk^2 = \frac{Ma^4}{ P^2}$ . Es decir

$\frac{Ma^4}{P^2} = A \cos ^2 \theta - 2 H \sin \theta \cos \theta + B \sin^2 \theta, \tag{2.13.2}\label{eq:2.13.2}$

donde $A, H$ y $B$ son los momentos con respecto a los ejes $x$ - y $y$ -ejes. $(x , y)$ Dejen ser las coordenadas de la punta del vector $\bf P$ , así que eso $x = P\cos \theta$ y $y = P\sin \theta$ . Entonces

$Ma^4 = Ax^2 -2Hxy + By^2 .\label{eq:2.13.3}$

Así, no importa cuál sea la forma de la lámina, por irregular y asimétrica que sea, la punta del vector $\bf P$ traza una elipse, cuyos ejes están inclinados en ángulos $\frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{2H}{B-A} )$ con respecto al eje $x$ -.

Esta es la elipse momental, y los ejes de la elipse momental son los ejes principales de la lámina.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Considera un $n$ -gon regular. Por simetría el momento de inercia es el mismo respecto a dos ejes cualesquiera en el plano inclinado uno $2 \pi / n$ al otro. Esto sólo es posible si la elipse momental es un círculo. De ello se deduce que el momento de inercia de una lámina plana poligonal uniforme es el mismo alrededor de cualquier eje en su plano y que pasa por su centroide.

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Demostrar que el momento de inercia de un plano uniforme $n$ - gon de lado $2a$ alrededor de cualquier eje en su plano y que pasa por su centroide es $\frac{1}{12} ma^2 (1+3\cot^2 ( \pi /n))$ .

¿Qué es esto para una plaza? ¿Para un triángulo equilátero?

Ejemplo2.13.1\PageIndex{1}

Ejercicio2.13.1\PageIndex{1}

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Ejemplo $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{1}$