1.2: Pequeñas oscilaciones y linealidad

Un sistema con un grado de libertad es lineal si su ecuación de movimiento es una función lineal de la coordenada,\(x\), que especifica la configuración del sistema. En otras palabras, la ecuación de movimiento debe ser una suma de términos cada uno de los cuales contiene como máximo una potencia de\(x\). La ecuación de movimiento implica una segunda derivada, pero no derivada superior, por lo que una ecuación lineal de movimiento tiene la forma general:

\[α\frac{d^2}{dt^2}x(t) + β\frac{d}{dt}x(t) + γx(t) = f(t)\]

Si todos los términos implican exactamente una potencia de x, la ecuación de movimiento es “homogénea”. La ecuación (1) no es homogénea por el término del lado derecho. El término “no homogéneo”, f (t), representa una fuerza externa. La ecuación homogénea correspondiente se vería así:

\[α\frac{d^2}{dt^2}x(t) + β\frac{d}{dt}x(t) + γx(t) = 0\]

En general,\(α\),\(β\) y así\(γ\) como\(f\) podrían ser funciones de\(t\). Sin embargo, eso rompería la invarianza de la traducción del tiempo que discutiremos con más detalle a continuación y complicaría mucho más el sistema. Casi siempre vamos a suponer eso\(α\),\(β\) y\(γ\) son constantes. La ecuación de movimiento para la masa en un resorte,\(m\frac{d^2}{dt^2}x(t) = -Kx(t)\), es de esta forma general, pero con β y f iguales a cero. Como veremos en el capítulo 2, podemos incluir el efecto de las fuerzas de fricción al permitir β distinto de cero, y el efecto de las fuerzas externas al permitir que no sea cero f. La linealidad de la ecuación del movimiento, (1), implica que si\(x_1(t)\) es una solución para la fuerza externa\(f_1(t)\),

\[α\frac{d^2}{dt^2}x_1(t) + β\frac{d}{dt}x_1(t) + γx_1(t) = f_1(t)\]

y\(x_2(t)\) es una solución para la fuerza externa\(f_2(t)\),

\[α\frac{d^2}{dt^2}x_2(t) + β\frac{d}{dt}x_2(t) + γx_2(t) = f_2(t)\]

luego la suma,

\[x_{12}(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)\]

para las constantes A y B es una solución para la fuerza externa\(Af_1 + Bf_2\),

\[α\frac{d^2}{dt^2}x_{12}(t) + β\frac{d}{dt}x_{12}(t) + γx_{12}(t) = Af_1(t) + Bf_2(t) \]

La suma\(x_{12}(t)\) se llama una “combinación lineal” de las dos soluciones,\(x_1(t)\) y\(x_2(t)\). En el caso del movimiento “libre”, que significa movimiento sin fuerza externa, si\(x_1(t)\) y\(x_2(t)\) son soluciones, entonces la suma, también\(A x_1(t) + B x_2(t)\) es una solución.

La solución más general a cualquiera de estas ecuaciones implica dos constantes que deben fijarse por las condiciones iniciales, por ejemplo, la posición inicial y la velocidad de la partícula, como en\(x(t) = x(0)cos(ωt) + \frac{1}{ω}x'(0)sin(ωt)\). De (6) se deduce que siempre podemos escribir la solución más general para cualquier fuerza externa, f (t), como una suma de la “solución general” a la ecuación homogénea, (2), y cualquier solución “particular” a (1).

Ningún sistema es exactamente lineal. La “linealidad” nunca es exactamente “cierta”. Sin embargo, la idea de linealidad es sumamente importante, ya que es una aproximación útil en un gran número de sistemas, por una muy buena razón física. En casi cualquier sistema en el que las propiedades sean funciones suaves de las posiciones de las partes, los pequeños desplazamientos desde el equilibrio producen fuerzas restauradoras aproximadamente lineales. La diferencia entre algo que es “verdadero” y algo que es una aproximación útil es la diferencia esencial entre física y matemáticas. En el mundo real, las preguntas son demasiado interesantes para tener respuestas exactas. Si puedes entender la respuesta en una aproximación bien definida, has aprendido algo importante.

Para ver la naturaleza genérica de la linealidad, considere una partícula que se mueve sobre el eje x con energía potencial,\(V (x)\). La fuerza sobre la partícula en el punto,\(x\), es menos la derivada de la energía potencial,

\[F = -\frac{d}{dx}V(x)\]

Una fuerza que puede derivarse de una energía potencial de esta manera se denomina fuerza “conservadora”. En un punto de equilibrio,\(x_0\), la fuerza desaparece, y por lo tanto la derivada de la energía potencial se desvanece:

\[F = -\frac{d}{dx}V(x)|_{x=x_0} = -V'(v_o) = 0\]

Podemos describir las pequeñas oscilaciones del sistema sobre el equilibrio de manera más simple si redefinimos el origen para eso\(x_0 = 0\). Entonces el desplazamiento del equilibrio es la coordenada x. Podemos expandir la fuerza en una serie Taylor:

\[F(x) = -V'(x) = -V'(0) - xV''(0) - \frac{1}{2}x^2V'''(0) + ...\]

El primer término en (9) desaparece debido a que este sistema está en equilibrio a x = 0, de (8). El segundo término se parece a la ley de Hooke con

\[K = V''(0)\]

El equilibrio es estable si la segunda derivada de la energía potencial es positiva, por lo que\(x = 0\) es un mínimo local de la energía potencial. El punto importante es que para x suficientemente pequeñas, el tercer término en (9), y todos los términos posteriores serán mucho más pequeños que el segundo. El tercer término es despreciable si

\[|xV'''(0)| <<V''(0)\]

Normalmente, cada derivado extra traerá consigo un factor de 1/L, donde L es la distancia sobre la cual la energía potencial cambia en una fracción grande. Entonces (11) se convierte

\[x<<L\]

Solo hay dos formas en que una fuerza derivada de una energía potencial puede no ser aproximadamente lineal para oscilaciones suficientemente pequeñas alrededor del equilibrio estable:

1. Si el potencial no es suave para que la primera o segunda derivada del potencial no esté bien definida en el punto de equilibrio, entonces no podemos hacer una expansión de Taylor y el argumento de (9) no funciona. Daremos un ejemplo de este tipo al final de este capítulo.

2. Aunque las derivadas existan en el punto de equilibrio, x = 0, puede suceder que\(V''(0) = 0\). En este caso, para tener un equilibrio estable, debemos tener\(V'''(0) = 0\) también, de lo contrario un pequeño desplazamiento en una dirección u otra crecería con el tiempo. Entonces el siguiente término en la expansión Taylor domina a lo pequeño\(x\), dando una fuerza proporcional a\(x^3\).

Figura 1.2: La energía potencial de (13)

Ambos casos excepcionales son de naturaleza muy rara. Por lo general, la energía potencial es una función suave del desplazamiento y no hay razón para que V "(0) se desvanezca. La situación genérica es que las pequeñas oscilaciones sobre el equilibrio estable son lineales.

Un ejemplo puede ser útil. Casi cualquier función energética potencial con un punto de equilibrio estable servirá, siempre y cuando sea suave. Por ejemplo, considere la siguiente energía potencial

\[V(x) = E(\frac{L}{x} + \frac{x}{L})\]

Esto se muestra en la figura 1.2. El mínimo (al menos para positivo\(x\)) ocurre en\(x=L\), así que primero redefinimos\(x= X + L\), de modo que

\[V(X) = E(\frac{L}{X+L} + \frac{X+L}{L})\]

La fuerza correspondiente es

\[F(X) = E(\frac{L}{(X+L)^2} - \frac{1}{L})\]

podemos mirar cerca\(X = 0\) y expandirnos en una serie Taylor:

\[F(X) = -2\frac{E}{L}(\frac{X}{L}) + 3\frac{E}{L}(\frac{X}{L})^2 + ...\]

Ahora, la relación entre el primer término no lineal y el término lineal es

\[\frac{3X}{2L}\]

que es pequeño si X<<L.

En otras palabras, cuanto más cerca estés del punto de equilibrio, más cerca está la energía potencial real de la parábola que esperaríamos de la energía potencial para un lineal, la fuerza de ley de Hooke. Esto se puede ver gráficamente haciendo estallar una pequeña región alrededor del punto de equilibrio. En la figura 1.3, el rectángulo punteado de la figura 1.2 ha sido volado en un cuadrado. Tenga en cuenta que se parece mucho más a una parábola que a la figura 1.3. Si repetimos el procedimiento y volviéramos a expandir una pequeña región sobre el punto de equilibrio, no se podría detectar el término cúbico a ojo.

Figura 1.3: El pequeño rectángulo discontinuas en la figura 1.2 expandido

A menudo, la aproximación lineal es aún mejor, porque el término de orden se\(x^2\) desvanece por simetría. Por ejemplo, cuando el sistema es simétrico alrededor de x = 0, de modo que\(V(x) = V(-x)\), el\(x^3\) término de orden (y todo\(x^n\) por\(n\) impar) en la energía potencial se desvanece, y entonces no hay\(x^2\) término de orden en la fuerza.

Para una primavera típica, la linealidad (ley de Hooke) es una excelente aproximación para pequeños desplazamientos. Sin embargo, siempre hay términos no lineales que cobran importancia si los desplazamientos son lo suficientemente grandes. Por lo general, en este libro simplemente nos apegaremos a pequeñas oscilaciones y asumiremos que nuestros sistemas son lineales. Sin embargo, no se debe concluir que el tema de los sistemas no lineales no es interesante. De hecho, es un área muy activa de investigación actual en física.