1.3: Invarianza de la traducción del tiempo

1.3: Invarianza de la traducción del tiempo

1.3.1 Movimiento Circular Uniforme

Cuando\(α\),\(β\) y\(γ\) en\(α\frac{d^2}{dt^2}x(t) + β\frac{d}{dt}x(t) + γx(t) = f(t)\) no dependan del tiempo, t, y en ausencia de una fuerza externa, es decir para el libre movimiento, el tiempo entra (\(α\frac{d^2}{dt^2}x(t) + β\frac{d}{dt}x(t) + γx(t) = f(t)\)sólo a través de derivados. Entonces la ecuación del movimiento tiene la forma.

\[α\frac{d^2}{dt^2}x(t) + β\frac{d}{dt}x(t) + γx(t) = 0\]

La ecuación de movimiento para el oscilador armónico no amortiguado, (1.3), tiene esta forma con α = m, β = 0 y γ = K. Las soluciones a (1.32) tienen la propiedad de que

Si x (t) es una solución, x (t + a) también será una solución.

\[\frac{d}{dt}x(t + a) = [\frac{d}{dt}(t + a)] [\frac{d}{dt'}x(t')]_{t'=t+a} = [\frac{d}{dt'}x(t')]_{t'=t+a}\]

La razón física de (1.33) es que podemos cambiar la configuración inicial en nuestro reloj y la física se verá igual. La solución se\(x(t + a)\) puede obtener de la solución\(x(t)\) cambiando la configuración del reloj por a. La etiqueta de tiempo ha sido “traducida” por a. nos referiremos a la propiedad, (1.33), como invarianza de traducción de tiempo.

La mayoría de los sistemas físicos en los que se pueda pensar son invariantes en la traducción del tiempo en ausencia de una fuerza externa. Para obtener un oscilador sin invarianza de traducción de tiempo, tendrías que hacer algo bastante extraño, como hacer de alguna manera que la constante de resorte dependa del tiempo.

Para el movimiento libre del oscilador armónico, aunque la ecuación del movimiento es ciertamente invariante de la traducción del tiempo, la manifestación de la invarianza de la traducción del tiempo en la solución, (1.6) no es tan simple como podría ser. Las dos partes de la solución, una proporcional a\(cos (ωt)\) y la otra a\(sin (ωt)\), se confunden cuando se reinicia el reloj. Por ejemplo,

\[cos[ω(t + a)] = (cos ωa) (cos ωt) − (sin ωa) (sin ωt).\]

Será muy útil encontrar otra forma de escribir la solución que se comporte de manera más sencilla bajo el restablecimiento de los relojes. Para ello, tendremos que trabajar con números complejos.

Para motivar la introducción de números complejos, comenzaremos exhibiendo la relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme. Considera un movimiento circular uniforme en el plano x-y alrededor de un círculo centrado en el origen,\(x = y = 0\), con radio R y con velocidad en sentido horario\(v = Rω\). Las coordenadas x e y del movimiento son

\[x(t) = R cos(ωt − φ), y(t) = −R sin(ωt − φ),\]

donde\(φ\) es el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj en radianes de la posición\(t = 0\) desde el eje x positivo. El\(x(t)\) in (1.36) es idéntico al\(x(t)\) in (1.6) con

\[x(0) = R cos φ , x'(0) = ωR sin φ .\]

El movimiento armónico simple es equivalente a un componente del movimiento circular uniforme. Esta relación se ilustra en la figura 1.4 y en el programa 1-1 en el disco de programas. A medida que el punto se mueve alrededor del círculo a velocidad constante,\(Rω\), la\(x\) coordenada ejecuta un movimiento armónico simple con velocidad angular\(ω\). Si lo deseamos, podemos elegir las dos constantes requeridas para fijar la solución de (1.3) ser\(R\) y\(φ\), en lugar de\(x(0)\) y\(x'(0)\). En este lenguaje, la acción de reiniciar el reloj es más transparente. Restablecer el reloj cambia el valor de\(φ\) sin cambiar nada más.

Figura 1.4: La relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple.

Pero nos gustaría aún más. La idea clave es que la linealidad nos permite una libertad considerable. Podemos sumar soluciones de las ecuaciones de movimiento juntas y multiplicarlas por constantes, y el resultado sigue siendo una solución. Nos gustaría usar esta libertad para elegir soluciones que se comporten de la manera más simple posible con las traducciones de tiempo.

El comportamiento más simple posible para una solución\(z(t)\) en el tiempo de traducción es

\[z(t + a) = h(a) z(t).\]

Es decir, nos gustaría encontrar una solución que se reproduzca hasta una constante general,\(h(a)\) cuando reiniciamos nuestros relojes por\(a\). Debido a que siempre somos libres de multiplicar una solución de una ecuación lineal homogénea de movimiento por una constante, el cambio de\(z(t)\) a\(h(a) z(t)\) no equivale a mucho. Llamaremos a una solución satisfactoria (1.38) una “solución ³ irreducible” con respecto a las traducciones de tiempo, porque su comportamiento bajo las traducciones de tiempo (reajustes del reloj) es lo más simple posible.

Resulta que para sistemas cuyas ecuaciones de movimiento son lineales e invariantes de traslación temporal, como veremos con más detalle a continuación, siempre podemos encontrar soluciones irreducibles que

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³ La palabra “irreducible” se toma prestada de la teoría de las representaciones grupales. En el lenguaje de la teoría de grupos, la solución irreducible es una “representación irreducible del grupo de traducción”. Simplemente significa “lo más simple posible”.

tener la propiedad, (1.38). Sin embargo, para el movimiento armónico simple, esto requiere números complejos. Se puede ver esto señalando que cambiar la configuración del reloj por\(π/ω\) solo cambia el signo de la solución con frecuencia angular\(ω\), porque tanto los términos como\(cos\) los\(sin\) términos cambian signo:

\[cos(ωt + π) = − cos ωt, sin(ωt + π) = − sin ωt.\]

Pero luego desde (1.38) y (1.39), podemos escribir

\[−z(t) = z(t + π/ω) = z(t + π/2ω + π/2ω)\]

\[= h(π/2ω) z(t + π/2ω) = h(π/2ω)^2 z(t).\]

Por lo tanto, no podemos encontrar tal solución a menos que\(h(π/2ω)\) tenga la propiedad

\[[h(π/2ω)]^2 = −1.\]

¡El cuadrado de\(h(π/2ω)\) es −1! Por lo tanto, nos vemos obligados a considerar números complejos. ⁴ Cuando terminemos de introducir números complejos, volveremos a (1.38) y demostraremos que siempre podemos encontrar soluciones de esta forma para sistemas que son lineales e invariantes de traducción en el tiempo.

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⁴ La conexión entre números complejos y movimiento circular uniforme ha sido explotada por Richard Feynman en su hermoso librito, QED.