1.6: Circuitos LC

Uno de los ejemplos más importantes de un sistema oscilante es un circuito LC. Probablemente los estudiaste en tu curso sobre electricidad y magnetismo. Al igual que un resorte de ley de Hooke, este sistema es lineal, porque las relaciones entre carga, corriente, voltaje y similares para inductores, condensadores y resistencias ideales son lineales. Aquí queremos hacer explícita la analogía entre un circuito LC particular y un sistema de una masa sobre un resorte. El circuito LC con un inductor de resistencia menos con una inductancia L y un condensador de capacitancia C se muestra en la figura 1.10. Puede que normalmente no pensemos en esto como un circuito en absoluto, porque no hay batería u otra fuente de energía eléctrica. No obstante, podríamos imaginar, por ejemplo, que el condensador se cargó inicialmente cuando se armó el circuito. Entonces la corriente fluiría cuando se terminara el circuito. De hecho, ante la ausencia de resistencia, la corriente continuaría oscilando para siempre. Veremos que este circuito es análogo a la combinación de muelles y una masa mostrada en la figura 1.11. La frecuencia de oscilación del sistema mecánico es

\[w=\sqrt{\frac{K}{M}}\]

Podemos describir la configuración del sistema mecánico de la figura 1.10 en términos de x, el desplazamiento del bloque hacia la derecha. Podemos describir la configuración del circuito LC de la figura 1.10 en términos de Q, la carga que ha sido “desplazada” a través del inductor desde la situación de equilibrio con el condensador sin carga. En este caso, la carga desplazada a través del inductor va enteramente sobre el condensador porque no hay otro lugar a donde ir, como se muestra en la figura 1.12. La corriente a través del inductor es la derivada temporal de la carga que ha atravesado,

\[I=\frac{dQ}{dt}\]

Para ver cómo funciona el circuito LC, podemos examinar los voltajes en diversos puntos del sistema, como se muestra en la figura 1.13. Para un inductor, la caída de voltaje a través de él es la tasa de

cambio de corriente a través de él, o

\[-L\frac{dI}{dt}=V\]

Para el condensador, la carga almacenada es el voltaje multiplicado por la capacitancia, o

\[V=\frac{Q}{C}\]

Poner (1.101), (1.102) y (1.103) juntos da

\[L\frac{dI}{dt}=L\frac{d^2Q}{dt^2} = -\frac{1}{C}Q\]

La correspondencia entre los dos sistemas es la siguiente:

Cuando hacemos las sustituciones en (1.105), la ecuación de movimiento, (1.3), de la masa en un resorte entra en (1.104). Así, conociendo la solución, (1.6), para la masa en un resorte, podemos concluir inmediatamente que la carga desplazada en este circuito LC oscila con la frecuencia

\[w=\frac{1}{LC}\]