1.7: Unidades - Desplazamiento y energía

Ahora hemos visto dos tipos muy diferentes de sistemas físicos que exhiben simple oscilación armónica. Otros también son posibles, y vamos a dar otro ejemplo a continuación. Este es un buen momento para discutir las unidades de las ecuaciones de los movimientos. La ecuación “genérica” de movimiento para un movimiento armónico simple sin amortiguación se ve así

\[M\frac{d^2X}{dt^2} = −K X\]

donde X es la coordenada generalizada, M es la masa generalizada, K es la constante de resorte generalizada

En el simple movimiento armónico de una masa puntual, X es solo el desplazamiento desde el equilibrio, x, M es la masa, m, y K es la constante de resorte, K. Las unidades apropiadas para M y K dependen de las unidades para X. Están convencionalmente determinados por el requisito de que

\[\frac{1}{2}M({\frac{dX}{dt}})^2\]

es la energía “cinética” del sistema derivada del cambio de la coordenada con el tiempo, y

\[\frac{1}{2}KX^2\]

es la energía “potencial” del sistema, almacenada en la primavera generalizada. Tiene sentido físico otorgar a la energía un estatus especial en estos problemas porque en ausencia de fricción y fuerzas externas, la energía total, la suma de la energía cinética en (1.109) y la energía potencial en (1.110), es constante. En la oscilación, la energía se almacena alternativamente en energía cinética y energía potencial. Cuando el sistema está en su configuración de equilibrio, pero moviéndose con su velocidad máxima, la energía es toda cinética. Cuando el sistema llega instantáneamente a descansar a su máximo desplazamiento, toda la energía es energía potencial. De hecho, a veces es más fácil identificar M y K calculando las energías cinéticas y potenciales que encontrando la ecuación del movimiento directamente. Usaremos este truco en el capítulo 11 para discutir las olas de agua. Por ejemplo, en un circuito LC en unidades SI, tomamos nuestra coordenada generalizada para ser una carga,\(Q\), en Coulombs. La energía se mide en Julios o Voltios×Coulombs. La constante de resorte generalizada tiene unidades de

\[\dfrac{\text{Joules}}{\text{Coulombs}^2} = \dfrac{\text{Volts}}{\text{Coulombs}}\]

que es uno sobre la unidad de capacitancia, Coulombs por Volt, o faradios. La masa generalizada tiene unidades de

\[\dfrac{\text{Joules} \times \text{seconds}^2}{\text{Coulombs}^2} = \dfrac{\text{Volts} \times \text{seconds}^2}{\text{Amperes}}\]

que es una unidad de inductancia (Henrys). Esto es lo que usamos en nuestra correspondencia entre el circuito LC y el oscilador mecánico, (1.105). También podemos agregar una fuerza generalizada al lado derecho de (1.107). La fuerza generalizada tiene unidades de energía sobre el desplazamiento generalizado. Esto es correcto porque cuando la ecuación del movimiento se multiplica por el desplazamiento, (1.109) y (1.110) implican que cada uno de los términos tiene unidades de energía. Así, por ejemplo, en el ejemplo de circuito LC, la fuerza generalizada es una tensión.

Energía Constante

La energía total es la suma de energía cinética más potencial de (1.109) y (1.110),

\[E=\frac{1}{2}M(\frac{dX}{dt})^2 +\frac{1}{2}KX^2\]

Si no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema, la energía total debe ser constante. Se puede ver en (1.113) que la energía puede ser constante para una solución oscilante sólo si la frecuencia angular, ω, es\(/sqrt{\frac{K}{M}}\). Supongamos, por ejemplo, que el desplazamiento generalizado del sistema tiene la forma

\[X(t) = Asin(wt)\]

donde A es una amplitud con las unidades de X. Entonces la velocidad generalizada, es

\[\frac{d}{dt}X(t) = Awcos(wt)\]

Para que la energía sea constante, debemos tener

\[K=w^2M\]

Entonces, la energía total, de (1.109) y (1.110) es

\[\frac{1}{2}Mw^2A^2cos^2(wt) + \frac{1}{2}KA^2sin^2(wt) = \frac{1}{2}KA^2\]

Péndulo de Torsión

Un ejemplo más puede ser útil. Consideremos el péndulo de torsión, mostrado en la figura 1.14.

Un péndulo de torsión es un oscilador sencillo pero muy útil que consiste en una mancuerna o varilla soportada en su centro por un alambre o fibra, colgada de un soporte superior. Cuando la mancuerna se tuerce en un ángulo θ, como se muestra en la vista superior en la figura 1.14, el cable se retuerce y proporciona un par de restauración en la mancuerna. Para un cable o fibra adecuado, este par de restauración es casi lineal incluso para ángulos de desplazamiento bastante grandes. En este sistema, la variable natural a utilizar para el desplazamiento es el ángulo θ. Entonces la ecuación del movimiento es

\[I\frac{d^2θ}{dt^2} = −αθ\]

donde I es el momento de inercia de la mancuerna alrededor de su centro y −αθ es la fuerza restauradora. Así, la masa generalizada es el momento de inercia, I, con unidades de longitud cuadrada por masa y la constante de resorte generalizada es la constante α, con unidades de par. Como se esperaba, de (1.109) y (1.110), la energía cinética y la energía potencial son (respectivamente)

\[\frac{1}{2}(\frac{dθ}{dt})^2 and \frac{1}{2}αθ^2\]