2.4: Un ejemplo

Sentirlo en tus huesos

2-1
Discutiremos más a fondo la física de las oscilaciones forzadas en el contexto del sistema simple mostrado en la Figura\( 2.9\). El bloque tiene masa\(m\). El bloque se mueve en un fluido viscoso que proporciona una fuerza de fricción. Imaginaremos que el fluido es algo así como un aceite de silicona espeso, de manera que la solución de estado estacionario se alcanza muy rápidamente. El bloque está unido a un cordón que discurre sobre una polea y está unido a un resorte, como se muestra. El resorte tiene constante de resorte\(K\). Te aferras al otro extremo del resorte y lo mueves hacia adelante y hacia atrás con desplazamiento\[d_{0} \cos \omega_{d} t .\]

d0 cos ωdt. (2.35) En esta disposición, no es necesario estar en el fluido viscoso con el bloque — esto hace que sea mucho más fácil respirar.

Figura\( 2.9\): Un oscilador que se amortigua al moverse en un fluido viscoso.

La pregunta es, ¿cómo se mueve el bloque? Este sistema en realidad tiene exactamente la ecuación de movimiento del oscilador forzado y amortiguado. Para ver esto, tenga en cuenta que el cambio en la longitud del resorte a partir de su longitud de equilibrio es la diferencia,\[x(t)-d_{0} \cos \omega_{d} t .\]

Así, el movimiento de la ecuación se ve así:\[m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x(t)+m \Gamma \frac{d}{d t} x(t)=-K\left[x(t)-d_{0} \cos \omega_{d} t\right] .\]

Dividiendo por\(m\) y reordenando términos, puedes ver que esto es idéntico a (2.14) con\[F_{0} / m=K d_{0} / m=\omega_{0}^{2} d_{0} .\]

Mover el otro extremo del resorte sinusoidalmente produce efectivamente una fuerza sinusoidalmente variable sobre la masa.

Ahora volveremos a repasar la solución, haciendo hincapié en la física de este sistema a medida que avanzamos. ¡Intenta imaginarte realmente haciendo el experimento! Ayudará a tratar de sentir las fuerzas involucradas en tus huesos. Puede ser de ayuda revisar el programa 2-1 en el disco de programas suplementarios. Esto te permite ver el efecto, ¡pero realmente deberías intentar sentirlo!

El primer paso es pasar a la fuerza compleja, como en (2.16). El resultado parece

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} z(t)+\Gamma \frac{d}{d t} z(t)+\omega_{0}^{2} z(t)=\omega_{0}^{2} d_{0} e^{-i \omega_{d} t}\]

Hemos etiquetado los términos en (2.39) para recordarte sus diferentes orígenes físicos.

El siguiente paso es buscar soluciones irreducibles en estado estacionario de la forma de (2.19):\[z(t)=\mathcal{A} e^{-i \omega_{d} t} .\]

Insertando (2.40) en (2.39), obtenemos\[\left[-\omega_{d}^{2}-i \Gamma \omega_{d}+\omega_{0}^{2}\right] \mathcal{A} e^{-i \omega_{d} t}=\omega_{0}^{2} d_{0} e^{-i \omega_{d} t} .\]

Lo que discutiremos en detalle es la fase de la cantidad entre corchetes en el lado izquierdo de (2.41). Cada uno de los tres términos, inercial, friccional y resorte, tiene una fase diferente. Cada término también depende de la frecuencia angular,\(\omega_{d}\) de una manera diferente. La fase de\(\mathcal{A}\) depende del término que domine.

Para muy pequeños\(\omega_{d}\), en particular para\[\omega_{d} \ll \omega_{0}, \Gamma ,\]

el término primaveral domina la suma. Entonces\(\mathcal{A}\) está en fase con la fuerza impulsora. Esto tiene una interpretación física sencilla. Si mueve el extremo del resorte lo suficientemente lento, tanto la fricción como la inercia son irrelevantes. Cuando el bloque se mueve muy lentamente, se requiere una fuerza muy pequeña. El bloque simplemente sigue junto con el desplazamiento del extremo del resorte,\(\mathcal{A} \approx d_{0}\). Deberías poder sentir esta dependencia en tus huesos. Si mueves la mano muy lentamente, la masa no tiene problemas para mantenerse al día con usted.

Para muy grandes\(\omega_{d}\), es decir para\[\omega_{d} \gg \omega_{0}, \Gamma,\]

el término inercial domina la suma. El desplazamiento está entonces\(180^{\circ}\) desfasado con la fuerza motriz. También se hace cada vez más pequeño a medida que\(\omega_{d}\) aumenta, yendo como\[\mathcal{A} \approx-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{d}^{2}} d_{0} .\]

Nuevamente, esto tiene sentido físicamente. Cuando la frecuencia angular de la fuerza motriz se vuelve muy grande, la masa simplemente no tiene tiempo para moverse.

En el medio, al menos dos de los tres términos del lado izquierdo de (2.41) contribuyen significativamente a la suma. En resonancia, el término inercial cancela exactamente el término de resorte, dejando solo el término friccional, de manera que el desplazamiento está\(90^{\circ}\) desfasado con la fuerza impulsora. El tamaño de la fuerza de amortiguación determina qué tan aguda es la resonancia. Si ¡es mucho menor que\(\omega_{0}\), entonces la cancelación entre los términos inercial y resorte en (2.39) debe ser muy precisa para que el término friccional domine. En este caso, la resonancia es muy aguda. Por otro lado, si\(\Gamma \gg \omega_{0}\), la resonancia es muy amplia, y la potenciación en la resonancia no es muy grande, porque el término friccional domina para un amplio rango de\(\omega_{d}\) alrededor del punto de resonancia,\(\omega_{d} = \omega_{0}\).

¡Pruébalo! No hay sustituto para hacer realmente este experimento. Realmente te dará una idea de lo que se trata la resonancia. Comienza moviendo tu mano a una frecuencia muy baja, para que el bloque permanezca en fase con el movimiento de tu mano. Entonces muy poco a poco aumentar la frecuencia. Si cambia la frecuencia lo suficientemente lentamente, las contribuciones de la oscilación libre transitoria serán pequeñas y se mantendrá cerca de la solución de estado estacionario. A medida que aumenta la frecuencia, primero verás que debido a la fricción, el bloque comienza a retrasarse detrás de tu mano. A medida que atraviese la resonancia, este rezago aumentará y pasará\(90^{\circ}\). Finalmente a muy alta frecuencia, el bloque estará\(180^{\circ}\) desfasado con la mano y su desplazamiento (la amplitud de su movimiento) será muy pequeño.