2.5: Lista de verificación del capítulo

Ahora deberías ser capaz de:

1. Resuelva el libre movimiento del oscilador armónico amortiguado buscando las soluciones exponenciales complejas irreducibles;
2. Encontrar la solución de estado estacionario para el oscilador armónico amortiguado con un término de conducción armónica estudiando un problema correspondiente con una fuerza exponencial compleja y encontrando la solución exponencial compleja irreducible;
3. Calcular la potencia perdida por las fuerzas de fricción y el retraso de fase en el oscilador armónico forzado;
4. ¡Siéntelo en tus huesos!

Problemas

2.1. Demostrar que un oscilador sobreamortiguado puede cruzar su posición de equilibrio como máximo una vez.

2.2. Demostrar, simplemente usando linealidad, sin usar la solución explícita, que la solución de estado estacionario a (2.16) debe ser proporcional a\(F_{0}\).

2.3. Para el sistema con ecuación de movimiento (2.14), supongamos que la fuerza motriz tiene la forma\[f_{0} \cos \omega_{0} t \cos \delta t\]

donde\[\delta \ll \omega_{0} \quad \text { and } \quad \Gamma=0 .\]

Como\(\delta \rightarrow 0\), esto va en resonancia. ¿Cuál es el desplazamiento para que\(\delta\) no sea cero al orden principal en\(\delta / \omega_{0}\)? Escribe el resultado en el formulario\[\alpha(t) \cos \omega_{0} t+\beta(t) \sin \omega_{0} t\]

y encontrar\(\alpha(t)\) y\(\beta(t)\). Discutir la física de este resultado. Pista: Primero demuestre que\[\cos \omega_{0} t \cos \delta t=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(e^{-i\left(\omega_{0}+\delta\right) t}+e^{-i\left(\omega_{0}-\delta\right) t}\right) .\]

2.4. Para el sistema mostrado en la Figura\( 2.9\), supongamos que el desplazamiento del extremo del alambre se desvanece para\(t < 0\), y tiene la forma\[d_{0} \sin \omega_{d} t \quad \text { for } \quad t \geq 0 .\]

1. Encuentra el desplazamiento del bloque para\(t > 0\). Escriba la solución como la parte real de la solución compleja, mediante el uso de una fuerza compleja y soluciones exponenciales. No trates de simplificar los números complejos. Pista: Use (2.23), (2.24) y (2.6). Si te confundes, pasa a la parte b.
2. Encuentre la solución cuando\(\Gamma \rightarrow 0\) y simplifique el resultado. Incluso si te confundiste con los números complejos en a., deberías poder encontrar la solución en este límite. Cuando no hay amortiguación, ¡las soluciones “transitorias” no mueren con el tiempo!

2.5. Para el\(LC\) circuito que se muestra en la Figura\( 1.10\), supongamos que el inductor tiene resistencia distinta de cero,\(R\). Anote la ecuación de movimiento para este sistema y encuentre la relación entre término de fricción,\(m \Gamma\), en el oscilador armónico amortiguado y la resistencia\(R\),, que completa la correspondencia de (1.105). Supongamos que los condensadores tienen capacitancia\(C \approx 0.00667 \mu F\),, el inductor tiene inductancia,\(L \approx 150 \mu H\) y la resistencia,\(R \approx 15 \Omega\). Resuelve la ecuación de movimiento y evalúa las constantes que aparecen en tu solución en unidades de segundos.