3.5: * Oscilaciones Forzadas y Resonancia

Una de las ventajas del formalismo matricial que hemos introducido es que en el lenguaje matricial podemos asumir la discusión anterior de oscilación forzada y resonancia en el capítulo 2 casi sin cambios a sistemas con más de un grado de libertad. Simplemente tenemos que reemplazar los números por vectores y matrices apropiados. En particular, la fuerza\(F(t)\) en la ecuación del movimiento, (2.2), se convierte en un vector que describe la fuerza sobre cada uno de los grados de libertad en el sistema. La única restricción aquí es que la frecuencia de oscilación es la misma para cada componente de la fuerza. El\(\omega_{0}^{2}\) en la ecuación del movimiento, (2.2), se convierte en la matriz\(M^{-1}K\). El término friccional\(\Gamma\) se convierte en una matriz. En cuanto a la matriz\(\Gamma\), el vector de fuerza de fricción es\(M \Gamma d Z / d t\) (compare (2.1)). Entonces podemos buscar una solución irreducible, de estado estacionario a la ecuación de movimiento de la forma\[Z(t)=W e^{-i \omega t}\]

donde\(W\) es un vector constante, que produce la ecuación matricial\[\left[-\omega^{2}-i \Gamma \omega+M^{-1} K\right\rceil W=M^{-1} F_{0} .\]

Formalmente, podemos resolver esto multiplicando por la matriz inversa\[W=\left[M^{-1} K-\omega^{2}-i \Gamma \omega\right]^{-1} M^{-1} F_{0} .\]

Si\(\Gamma\) fueran cero en la matriz\[\left[-\omega^{2}-i \Gamma \omega+M^{-1} K\right] ,\]

entonces sabemos que la matriz inversa no existiría para ningún valor de\(\omega\) correspondiente a una frecuencia de oscilación libre del sistema,\(\omega_{0}\), debido a que el determinante de la\(M^{-1} K-\omega_{0}^{2}\) matriz es cero. La amplitud\(W\) iría a\(\infty\) en este límite, en la dirección del modo normal asociado a la frecuencia de conducción, siempre y cuando la fuerza impulsora tenga un componente en la dirección del modo normal. Para\(\omega\) cerca de\(\omega_{0}\), si no hay amortiguación, la amplitud de respuesta es muy grande, proporcional a\(1 /\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)\), casi en la dirección del modo normal. Sin embargo, ante la presencia de amortiguamiento, la amplitud de respuesta no va a\(\infty\) igualar para\(\omega = \omega_{0}\), porque el\(i \Gamma \omega\) término sigue sin desaparecer.

Podemos ver todo esto explícitamente si la matriz de amortiguación\(\Gamma\) es proporcional a la matriz de identidad,\[\Gamma=\gamma I .\]

Entonces podemos usar (3.124) - (3.126) para escribir\(\left[M^{-1} K-\omega^{2}-i \Gamma \omega\right]\) como suma sobre los modos normales, de la siguiente manera:\[\left[M^{-1} K-\omega^{2}-i \Gamma \omega\right]=\sum_{\alpha}\left(\omega_{\alpha}^{2}-\omega^{2}-i \gamma \omega\right) \frac{A^{\alpha} B^{\alpha}}{B^{\alpha} A^{\alpha}} .\]

Entonces la matriz inversa se puede construir de manera similar, simplemente invirtiendo el factor en el numerador:\[\left[M^{-1} K-\omega^{2}-i \Gamma \omega\right]^{-1}=\sum_{\alpha}\left(\omega_{\alpha}^{2}-\omega^{2}-i \gamma \omega\right)^{-1} \frac{A^{\alpha} B^{\alpha}}{B^{\alpha} A^{\alpha}} .\]

Usando (3.137), podemos reescribir (3.133) como\[W=\sum_{\alpha} \frac{\Lambda^{\alpha}}{\omega_{\alpha}^{2}-\omega^{2}-i \gamma \omega} \frac{B^{\alpha} M^{-1} F_{0}}{B^{\alpha} A^{\alpha}} .\]

Esto tiene una interpretación sencilla. El segundo factor en el lado derecho de (3.138) es el coeficiente del modo normal\(A^{\alpha}\) en el término de conducción,\(M^{-1} F_{0}\). Este coeficiente se multiplica por el número complejo\[\left[\frac{1}{\omega_{\alpha}^{2}-\omega^{2}-i \gamma \omega}\right] ,\]

que es exactamente análogo al factor en (2.21) en el caso unidimensional. Así\(\Gamma \propto I\), si, entonces, para cada modo normal, la oscilación forzada funciona igual que lo hace para un grado de libertad. Si no\(\Gamma\) es proporcional a la matriz de identidad, las fórmulas son un poco más complicadas, pero la física es cualitativamente la misma.

Ejemplo

Ilustraremos estas consideraciones con nuestro ejemplo favorito, el sistema de dos osciladores acoplados idénticos, con\(M^{-1}K\) matriz dada por (3.80). Imaginaremos que el sistema está sentado en un fluido viscoso que da una amortiguación uniforme\(\Gamma = \gamma I\), y que hay una fuerza periódica que actúa dos veces más fuertemente en el bloque 1 que en el bloque 2 (por ejemplo, podríamos darle carga eléctrica a los bloques\(2q\)\(q\) y someterlos a una eléctrica periódica campo), para que la fuerza sea\ [F (t) =\ left (\ begin {array} {l}
2\\
1
\ end {array}\ right) f_ {0}\ cos\ omega t=\ nombreoperador {Re}\ left [\ left (\ begin {array} {l}
2\\
1
\ end {array}\ right) f_ {0} e^ {-i\ omega t}\ derecho].\]

Así\ [M^ {-1} F_ {0} =\ left (\ begin {array} {l}
2\\
1
\ end {array}\ derecha)\ frac {f_ {0}} {m}.\]

Ahora para usar (3.133), solo necesitamos invertir la matriz\ [\ left [M^ {-1} K-\ omega^ {2} -i\ Gamma\ omega\ right] =\ left (\ begin {array} {cc}
\ frac {g} {\ ell} +\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega & -\ frac\ kappa} {m}\\
-\ frac {\ kappa} {m} &\ frac {g} {\ ell} +\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega
\ end {array}\ derecho).\]

Esto es lo suficientemente sencillo de hacer a mano. Lo haremos primero, y luego compararemos el resultado con (3.137). El determinante es\ [\ begin {reunió}
\ left (\ frac {g} {\ ell} +\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha) ^ {2} -\ izquierda (\ frac {\ kappa} {m}\ derecha) ^ {2}\\
=\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha ).
\ end {reunidos}

Aplicando (3.34), encontramos\ [\ begin {reunidos}
{\ left [M^ {-1} K-\ omega^ {2} -i\ Gamma\ omega\ derecha] ^ {-1}}\\
=\ frac {1} {\ left (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)}\\
\ cdot\ izquierda (\ begin {array} {cc}
\ frac {g} {\ ell} +\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega &\ frac {\ kappa} {m}\
\ frac {\ kappa} {m} &\ frac {g} {\ ell} +\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma omega
\ end {array}\ right).
\ end {reunido}\]

Si aislamos la contribución de los dos ceros en el denominador de (3.144), podemos escribir\ [\ begin {reunió}
{\ left [M^ {-1} K-\ omega^ {2} -i\ Gamma\ omega\ derecha] ^ {-1}}\\
=\ frac {1} {2}\ frac {1} {\ left (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)}\ izquierda (\ begin {array} {ll}
1 & 1\\
1 & 1
\ end {array}\ derecha)\\
+\ frac {1} {2}\ frac {1} {\ left (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)}\ izquierda (\ begin {array} {cc}
1 y -1\
-1 & 1
\ end {array}\ derecha)
\ end {reunido}\)

que es justo (3.137), como se prometió. Ahora sustituyendo en (3.133), encontramos\ [\ begin {reunió}
W=\ frac {1} {2}\ frac {1} {\ left (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)}\ left (\ begin {array} {l}
3\
3
\ end {array}\ right)\ frac {_ {0}} {m}\\
+\ frac {1} {2}\ frac {1} {\ left (\ frac {g } {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} -i\ gamma\ omega\ derecha)}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ derecha)\ frac {f_ {0}} {m}\\
=\ frac {1} {2}\ frac {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2} +i\ gamma\ omega\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ izquierda (\ begin {array} {l}
3\
3
\ end {array}\ derecha)\ frac {f_ {0}} {m}\\
+\ frac {1} {2}\ frac {\ left (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2} +i\ gamma\ omega\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma \ omega) ^ {2}}\ izquierda (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ derecha)\ frac {f_ {0}} {m},
\ end {reunidos}\]

de donde podemos leer el resultado final:\ [X (t) =\ operatorname {Re}\ left (W e^ {-i\ omega t}\ right) =\ left (\ begin {array} {l}
\ alpha_ {1}\ cos\ omega t+\ beta_ {1}\ sin\ omega t\
\ alpha_ {2}\ cos\ omega t+\ beta_ 2}\ sin\ omega t
\ end {array}\ derecha)\]

donde\ [\ begin {alineado}
&\ alpha_ {1 (2)} =\ frac {3} {2}\ frac {\ left (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) {2}}\ frac {f_ {0}} {m}\\
&\ pm\ frac {1} {2}\ frac {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ frac {f_ {0}} {m}
\ final {alineado}\]

y\ [\ begin {alineado}
&\ beta_ {1 (2)} =\ frac {3} {2}\ frac {\ gamma\ omega} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ frac {f_ {0}} {m}\
&\ pm\ frac {1} {2}\ frac {\ gamma\ omega} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ frac {f_ {0}} {m}.
\ end {alineado}\]

La potencia gastada por la fuerza externa es la suma sobre todos los grados de libertad de la fuerza multiplicada por la velocidad. En lenguaje matricial, esto puede escribirse como\[P(t)=F(t)^{T} \cdot \frac{d X(t)}{d t} .\]

La potencia promedio perdida a la fuerza de fricción viene del\(\cos ^{2} \omega t\) término en (3.150) y es\ [\ begin {aligned}
&=\ frac {1} {\ left (\ frac {g} {\ ell} -\ omega^ {2}\ right) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ frac {9\ gamma\ omega^ {2} f_ {0} ^ {2}} {4 m}\\
&+\ frac {1} {\ izquierda (\ frac {g} {\ ell} +2\ frac {\ kappa} {m} -\ omega^ {2}\ derecha) ^ {2} + (\ gamma\ omega) ^ {2}}\ frac {\ gamma\ omega^ {2} f_ {0} ^ {2}} {4 m}
\ final {alineado}\]

En la figura se\( 3.8\) muestra una gráfica de este (para\(\kappa / m=3 g / 2 \ell\) y\(\gamma^{2}=g / 4 \ell\)). Hay dos cosas que observar sobre Figura\( 3.8\). Primero anote los dos picos de resonancia, a\(\omega^{2} = g / \ell\) y\(\omega^{2}=g / \ell+2 \kappa / m=4 g / \ell\). En segundo lugar, tenga en cuenta que el primer pico es mucho más pronunciado que el segundo. Eso se debe a que la fuerza está más en la dirección del modo normal con la frecuencia más baja, por lo que es más eficiente en excitar este modo.

Figura\( 3.8\): La potencia promedio perdida por fricción en el ejemplo de 3.140.