4.2: Lista de verificación del capítulo
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Ahora deberías ser capaz de:
- Aplicar argumentos de simetría para encontrar los modos normales de sistemas de osciladores acoplados mediante la búsqueda de los valores propios y vectores propios de la matriz de simetría.
Problemas
4.1. Mostrar explícitamente que (4.7) es cierto para la\(K\) matriz, (4.43), del sistema de Figura\( 4.3\) al encontrar\(SK\) y\(KS\).
4.2. Consideremos un sistema de seis masas idénticas que son libres de deslizarse sin fricción sobre un anillo circular de radio\(R\) y cada una de las cuales está conectada a sus dos vecinos más cercanos por muelles idénticos, mostrados a continuación en equilibrio:
- Analizar los posibles movimientos de este sistema en la región en la que es lineal (tenga en cuenta que no se trata solo de pequeñas oscilaciones). Para ello, defina las variables de desplazamiento apropiadas (para que pueda usar un argumento de simetría), busque la forma de la\(K\) matriz y luego siga el análisis en (4.37) - (4.55). Si lo has hecho correctamente, deberías encontrar que uno de los modos tiene frecuencia cero. Explicar el significado físico de este modo. Pista: No intente encontrar la forma de la\(K\) matriz directamente a partir de las constantes de resorte del resorte y la geometría. Esto es un desastre. En cambio, averigua cómo tiene que verse sobre la base de argumentos de simetría. Es posible que desee ver el apéndice c.
- Si en\(t = 0\), las masas se distribuyen uniformemente alrededor del círculo, pero cada otra masa se mueve con velocidad (en sentido contrario a las agujas del reloj)\(v\) mientras que las masas restantes están en reposo, encuentra y describe en palabras el movimiento posterior del sistema.
4.3.
- Probar (4.56).
- Demostrar que si\(A\) y\(A^{\prime}\) son modos normales correspondientes a diferentes frecuencias angulares,\(\omega\) y\(\omega^{\prime}\) respectivamente, donde\(\omega^{2}\)\ neq\ omega^ {\ prime 2}\), entonces no\(b A+c A^{\prime}\) es un modo normal a menos que\(b\) o\(c\) sea cero. Pista: Necesitarás usar el hecho de que ambos\(A\) y\(A^{\prime}\) son vectores distintos de cero.
4.4. Mostrar que (4.43) es la\(6 \times 6\) matriz simétrica más general satisfactoria (4.44).