5.6: Circuitos LC acoplados

Vimos en el capítulo 1 la analogía entre el\(LC\) circuito de la Figura\( 1.10\) y un sistema correspondiente de una masa y resortes en la Figura\( 1.11\). En esta sección, discutimos lo que sucede cuando juntamos\(LC\) circuitos en un sistema invariante de traslación espacial.

Por ejemplo, consideremos un circuito invariante de traslación de espacio infinito, una pieza del cual se muestra en la Figura\( 5.23\). Se podría adivinar, sobre la base de la discusión en el capítulo 1, que el circuito de la Figura\( 5.23\) es análogo a la combinación de resortes y masas que se muestra en

Figura\( 5.23\): Un sistema infinito de\(LC\) circuitos acoplados.

Figura\( 5.24\), siendo la correspondencia entre los dos sistemas:\ [\ begin {aligned}
m &\ leftrightarrow\ quad L\\
K &\ left trightarrow 1/C\\
x_ {j} &\ leftrightarrow\ quad Q_ {j}
\ end {aligned}\]

donde\(x_{j}\) está el desplazamiento del bloque\(j\) th hacia la derecha y\(Q_{j}\) es la carga que ha sido “desplazada” a través del inductor\(j\) th desde la situación de equilibrio con los condensadores sin cargar. De hecho, esto es correcto, y podríamos usar (5.69) para anotar la relación de dispersión para la Figura\( 5.23\). Sin embargo, con nuestras poderosas herramientas de linealidad e invarianza de traducción espacial, podemos resolver el problema desde cero sin demasiado esfuerzo. La estrategia será anotar lo que sabemos que tiene que ser la solución, a partir de la invarianza de la traducción espacial, para luego trabajar hacia atrás para encontrar la relación de dispersión.

Figura\( 5.24\): Un sistema mecánico análogo a la Figura\( 5.23\).

El punto de partida ya debería ser familiar. Debido a que el sistema es lineal y la traslación espacial invariante, los modos del sistema infinito son proporcionales a\(e^{\pm i k x}\). Por lo tanto, todas las cantidades físicas en un modo, voltajes, cargas, corrientes, lo que sea, también deben ser proporcionales a\(e^{\pm i k x}\). En este caso la variable,\(x\), es realmente solo una etiqueta. Las propiedades eléctricas del circuito no dependen mucho de la disposición de los elementos en el espacio. ⁶ La relación de dispersión dependerá únicamente de\(ka\), donde\(a\) está la separación entre las partes idénticas del sistema (ver (5.35)). Sin embargo, es más fácil pensar en el sistema si se presenta físicamente en una configuración invariante de traslación espacial, como se muestra en la Figura\( 5.23\).

Figura\( 5.25\): Un etiquetado para el sistema infinito de\(LC\) circuitos acoplados.

En particular, etiquetemos los inductores y capacitores como se muestra en la Figura\( 5.25\). Entonces la carga desplazada a través del inductor\(j\) th en el modo con número de onda angular,\(k\), es\[Q_{j}(t)=q e^{i j k a} e^{-i \omega t}\]

para alguna carga constante,\(q\). Tenga en cuenta que bien podríamos tomarnos el tiempo de dependencia para ser\(\cos \omega t\),\(\sin \omega t\), o\(e^{i \omega t\). No importa para el argumento a continuación. Lo que importa es que cuando diferenciamos\(Q_{j}(t)\) dos veces con respecto al tiempo, obtenemos\(-\omega^{2} Q_{j}(t)\). La corriente a través del inductor\(j\) th es\[I_{j}=\frac{d}{d t} Q_{j}(t)=-i \omega q e^{i j k a} e^{-i \omega t} .\]

La carga en el condensador\(j\) th, que llamaremos\(q_{j}\), también es proporcional a\(e^{i j k a} e^{-i \omega t}\), pero de hecho, también podemos calcularlo directamente. El cargo,\(q_{j}\), es justo\[q_{j}=Q_{j}-Q_{j+1}\]

porque la carga desplazada a través del inductor\(j\) th debe fluir sobre el condensador\(j\) th o ser desplazada a través del inductor\(j + 1\) st, de manera que\(Q_{j}=q_{j}+Q_{j+1}\). Ahora podemos calcular el voltaje,\(V_{j}\), de cada condensador,\[V_{j}=\frac{1}{C}\left(Q_{j}-Q_{j+1}\right)=\frac{q}{C}\left(1-e^{i k a}\right) e^{i j k a} e^{-i \omega t} ,\]

y luego computar la caída de voltaje a través de los inductores,\[L \frac{d I_{j}}{d t}=V_{j-1}-V_{j} ,\]

insertando (5.71) y (5.73) en (5.74), y dividiendo ambos lados por el factor común\(-q L e^{i j k a} e^{-i \omega t}\), obtenemos la relación de dispersión,\[\omega^{2}=-\frac{1}{L C}\left(1-e^{i k a}\right)\left(e^{-i k a}-1\right)=\frac{4}{L C} \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

Esto corresponde a (5.37) con\(B = 1 / LC\). Esto es justo lo que esperamos de (5.69). Llamaremos (5.75) a la relación de dispersión para\(LC\) circuitos acoplados.

Ejemplo de\(LC\) circuitos acoplados

Figura\( 5.26\): Un circuito con tres inductores.

Aprovechemos los resultados de esta sección para estudiar un ejemplo finito, con condiciones de límite. Considera el circuito que se muestra en la Figura\( 5.26\). Este circuito en la Figura\( 5.26\) es análogo a la combinación de resortes y masas que se muestra en la Figura\( 5.27\).

Figura\( 5.27\): Un sistema mecánico análogo a la Figura\( 5.26\).

Ya sabemos que esto es cierto para el medio. Sólo queda entender las condiciones de contorno en los extremos. Si etiquetamos los inductores como se muestra en la Figura\( 5.28\), entonces podemos imaginar que este sistema es parte del sistema infinito que se muestra en la Figura\( 5.23\), con las cargas restringidas para satisfacer\[Q_{0}=Q_{4}=0 .\]

Esto debe ser correcto. No se puede desplazar carga a través de los inductores 0 y 4, pues en la Figura\( 5.26\), no existen. Esto es justo lo que esperamos de la analogía con el sistema en (5.27), donde el desplazamiento de los bloques 0 y 4 debe desvanecerse, porque están tomando el lugar de los muros fijos.

Ahora podemos anotar inmediatamente la solución para los modos normales, en analogía con (5.21) y (5.22),\[Q_{j} \propto \sin \frac{j n}{4}\]

Figura\( 5.28\): Un etiquetado de los inductores en la Figura\( 5.26\).

para\(n\) = 1 a 3.

Problema de oscilación forzada para\(LC\) circuitos acoplados

Figura\( 5.29\): Oscilación forzada con tres inductores.

Un ejemplo más algo más práctico puede ser instructivo. Considera el circuito que se muestra en la Figura\( 5.29\). El en la Figura\( 5.29\) representa una fuente de voltaje que varía armónicamente. Supondremos que el voltaje en este punto del circuito es fijado por la fuente,, ser\[V \cos \omega t .\]

Nos gustaría encontrar los voltajes en los otros nodos del sistema, como se muestra en la Figura\( 5.30\), con\[V_{3}-V \cos \omega t .\]

Podríamos resolver este problema usando las cargas desplazadas, sin embargo, es un poco más fácil usar el hecho de que todas las cantidades físicas en el sistema infinito en la Figura\( 5.23\) son proporcionales a\(e^{i k x}\) en un modo con número de onda angular\(k\). Debido a que se trata de un problema de oscilación forzada (y porque, como es habitual, estamos ignorando posibles oscilaciones libres del sistema y buscando la solución de estado estacionario),\(k\) se determina a partir de\(\omega\), por la relación de dispersión para el sistema infinito de\(LC\) circuitos acoplados, (5.75).

La otra cosa que necesitamos es que\[V_{0}=0 ,\]

Figura\( 5.30\): Los voltajes en el sistema de la Figura\( 5.29\).

porque el circuito está cortocircuitado al final. Así debemos combinar los dos modos del sistema infinito,\(e^{\pm i k x}\), en\(\sin kx\), y la solución tiene la forma\[V_{j} \propto \sin j k a .\]

Podemos satisfacer la condición límite en el otro extremo tomando\[V_{j}=\frac{V}{\sin 3 k a} \sin j k a \cos \omega t .\]

Esta es la solución.

_____________________
⁶ Sin embargo, esto no es exactamente cierto. La relatividad impone restricciones. Ver capítulo 11.