5.5: Oscilaciones Forzadas y Condiciones de Límite

Las oscilaciones forzadas pueden analizarse utilizando los métodos del capítulo 3. Esto siempre funciona, incluso para una fuerza que actúa sobre cada una de las partes del sistema de manera independiente. Muy a menudo, sin embargo, para un sistema invariante de traslación espacial, nos interesa un tipo diferente de problema de oscilación forzada, uno en el que la fuerza externa actúa solo en un extremo (o ambos extremos). En este caso, podemos resolver el problema de una manera mucho más sencilla utilizando condiciones de contorno. Un ejemplo de este tipo se muestra en la Figura\( 5.17\).

Figura\( 5.16\):\(n = 3\),\(A_{j}=\cos [(j-1 / 2) 3 \pi / 4] .\).

Figura\( 5.17\): Un problema de oscilación forzada en un sistema invariante de traslación espacial.

Este es el sistema de (5.1), excepto que se ha quitado una pared y el extremo del resorte está limitado por alguna agencia externa para moverse de un lado a otro con un desplazamiento\[z \cos \omega_{d} t .\]

Como es habitual, en un problema de oscilación forzada, primero consideramos que el término de conducción, en este caso el desplazamiento fijo del bloque\(N + 1\) st, (5.49), es la parte real de un término de conducción exponencial complejo,\[z e^{-i \omega_{d} t} .\]

Entonces buscamos una solución de estado estacionario en la que todo el sistema esté oscilando con la frecuencia de conducción\(\omega_{d}\), con la dependencia irreducible del tiempo,\(e^{-i \omega_{d} t}\).

Si hay amortiguación por una fuerza de fricción, por pequeña que sea, esta será la solución de estado estacionario que sobreviva después de que todas las oscilaciones libres se hayan descompuesto. Podemos encontrar este tipo de soluciones por el mismo tipo de truco que usamos para encontrar los modos de oscilación libre del sistema. Buscamos modos del sistema infinito y los juntamos para satisfacer las condiciones límite.

Esta situación es diferente al problema de la oscilación libre. En un problema típico de oscilación libre, las condiciones de contorno se arreglan\(k\). Luego determinamos\(\omega\) a partir de la relación de dispersión. En este caso, las condiciones de contorno determinan\(\omega_{d}\) en su lugar. Ahora debemos usar la relación de dispersión, (5.35), para encontrar el número de onda\(k\).

Resolviendo (5.35) da\[k=\frac{1}{a} \cos ^{-1} \frac{2 B-\omega_{d}^{2}}{2 C} .\]

Debemos combinar los modos del sistema infinito,\(e^{\pm i k x}\), para satisfacer las condiciones límite en\(x = 0\) y\(x = (N + 1)a = L\). En cuanto al sistema (5.1), la condición de que el sistema esté estacionario\(x = 0\) conduce a un modo de la forma\[\psi(x, t)=y \sin k x e^{-i \omega_{d} t}\]

para cierta amplitud\(y\). Pero ahora la condición en\(x = L = (N + 1)a\) determina no el número de onda (que ya está fijado por la relación de dispersión), sino la amplitud\(y\). \[\psi(L, t)=y \sin k L e^{-i \omega_{d} t}=z e^{-i \omega_{d} t} .\]

Así\[y=\frac{z}{\sin k L} .\]

Observe que si\(\omega_{d}\) es una frecuencia de modo normal del sistema (5.1) sin amortiguación, entonces (5.54) no tiene sentido porque\(\sin kL\) desaparece. Eso es como debería ser. Corresponde a la amplitud infinita producida por una fuerza impulsora en resonancia con una frecuencia normal de un sistema sin fricción. En presencia de amortiguamiento, sin embargo, como discutiremos en el capítulo 8, el número de onda\(k\) es complejo porque la relación de dispersión es compleja. Veremos más adelante que si\(k\) es complejo,\(\sin kL\) no puede desaparecer. Aunque la amortiguación sea muy pequeña, claro, no obtenemos un infinito real en la amplitud a medida que vamos a la resonancia. Eventualmente, los efectos no lineales toman el relevo. Si es la no linealidad o la amortiguación lo que es más importante cerca de cualquier resonancia dada depende de los detalles del sistema físico. ⁵

Oscilaciones forzadas con un extremo libre

Figura\( 5.18\): Oscilación forzada de una masa sobre un resorte.

Como otro ejemplo, ahora discutiremos nuevamente las oscilaciones longitudinales forzadas del sistema simple de una masa sobre un resorte, mostrado en la Figura\( 5.18\). La física aquí es la misma que la del sistema en la Figura\( 2.9\), excepto que para empezar, ignoraremos la amortiguación. El bloque tiene masa\(m\). El resorte tiene constante de resorte\(K\) y longitud de equilibrio\(a\). Para ser específicos, imagina que este bloque se asienta sobre una mesa casi sin fricción, y que estás sujetando al otro extremo del resorte, moviéndolo hacia adelante y hacia atrás a lo largo de la mesa, paralelo a la dirección del resorte, con desplazamiento\[d_{0} \cos \omega_{d} t .\]

La pregunta es, ¿cómo se mueve el bloque? Ya sabemos cómo resolver este problema desde el capítulo 2. Ahora lo haremos de una manera diferente, utilizando la invarianza de la traducción espacial, las interacciones locales y las condiciones límite. Puede parecer sorprendente que podamos tratar este problema utilizando las técnicas que hemos desarrollado para hacer frente a los sistemas invariantes de traducción espacial, porque solo hay un bloque. No obstante, eso es lo que vamos a hacer. Ciertamente nada nos impide extender este sistema a un sistema infinito repitiendo la combinación bloque-resorte. El sistema infinito tiene entonces la relación de dispersión de la cuerda de cuentas (o del péndulo acoplado para\(\ell \rightarrow \infty\)):\[\omega_{d}^{2}=\frac{4 K}{m} \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

La parte relevante del sistema infinito se muestra en la Figura\( 5.19\). El punto es que podemos imponer condiciones de límite sobre el sistema infinito, Figura\( 5.19\), que lo hacen equivalente a Figura\( 5.18\).

Figura\( 5.19\): Parte del sistema infinito.

Comenzamos imaginando que el desplazamiento es complejo,\(d_{0} e^{-i \omega_{d} t}\), de manera que al final, tomaremos la parte real para recuperar el resultado real de (5.55). Por lo tanto, tomamos\[\psi_{2}(t)=d_{0} e^{-i \omega_{d} t} .\]

Entonces para asegurar que no haya fuerza en el bloque 1 del muelle imaginario de la izquierda, debemos tomar\[\psi_{0}(t)=\psi_{1}(t) .\]

Para satisfacer (5.58), podemos argumentar como en la Figura\( 5.13\) que\[\psi(x, t)=z(t) \cos k x\]

Figura\( 5.20\): Una mejor definición del cero de\(x\).

donde\(x\) se define como se muestra en la Figura\( 5.20\).

Ahora como la posición de equilibrio del bloque 2 es\(3 a / 2\), sustituimos\[\psi_{2}(t)=z(t) \cos \frac{3 k a}{2}\]

en (5.57), para obtener\[z(t)=\frac{d_{0}}{\cos \frac{3 k a}{2}} e^{-i \omega_{d} t} .\]

Entonces el resultado final es\[\psi_{1}(t)=\frac{\cos \frac{k a}{2}}{\cos \frac{3 k a}{2}} d_{0} e^{-i \omega_{d} t}\]

o en forma real\[\psi_{1}(l)=\frac{\cos \frac{k a}{2}}{\cos \frac{3 k a}{2}} d_{0} \cos \omega_{d} l .\]

Ahora podemos usar la relación de dispersión. Primer uso de trigonometría,\[\cos 3 y=\cos ^{3} y-3 \cos y \sin ^{2} y=\cos y\left(1-4 \sin ^{2} y\right)\]

escribir\[\psi_{1}(t)=\frac{1}{1-4 \sin ^{2} \frac{k a}{2}} d_{0} \cos \omega_{d} t\]

o sustituyendo (5.56),\[\psi_{1}(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{d}^{2}} d_{0} \cos \omega_{d} t ,\]

donde\(\omega_{0}\) está la frecuencia de oscilación libre del sistema,\[\omega_{0}^{2}=\frac{K}{m} .\]

Esta es exactamente la misma fórmula de resonancia que obtuvimos en el capítulo 2.

Generalización

La verdadera ventaja del procedimiento que utilizamos para resolver este problema es que es fácil generalizarlo. Por ejemplo, supongamos que miramos el sistema que se muestra en la Figura\( 5.21\).

Figura\( 5.21\): Un sistema con dos bloques.

Aquí podemos ir al mismo sistema infinito y argumentar que la solución es proporcional a\(\cos kx\) donde\(x\) se define como se muestra en la Figura\( 5.22\). Entonces el mismo argumento lleva al resultado para los desplazamientos de los bloques 1 y 2:\[\psi_{1}(t)=\frac{\cos \frac{k a}{2}}{\cos \frac{5 k a}{2}} d_{0} \cos \omega_{d} t, \quad \psi_{2}(t)=\frac{\cos \frac{3 k a}{2}}{\cos \frac{5 k a}{2}} d_{0} \cos \omega_{d} t .\]

Deberías poder generalizar esto a números arbitrarios de bloques.

Figura\( 5.22\): El sistema infinito.

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⁵ Obsérvese también que, cuando\(\sin kL\) es complejo, las partes del sistema no oscilan todas en fase, aunque todas oscilen a la misma frecuencia.