6.1: El Límite del Continuum

Considere un sistema invariante de traslación espacial discreta en el que se encuentre la separación entre masas vecinas\(a\). Si\(a\) es muy pequeño, el sistema discreto se ve continuo. Para entender esta afirmación, considere la acción de la\(M^{- 1}K\) matriz, (5.8), en la notación del último capítulo en el que los grados de libertad son etiquetados por sus posiciones de equilibrio. La matriz\(M^{- 1}K\) actúa sobre un vector para producir otro vector. Hemos sustituido nuestros vectores por funciones de\(x\), así\(M^{- 1}K\) es algo que actúa sobre una función\(A(x)\) para darle otra función. Vamos a llamarlo\(M^{- 1}K A(x)\). Es más fácil ver lo que está sucediendo para el hilo de cuentas, para lo cual\(B = C = T / ma\). Entonces

\[M^{-1} K A(x)=\left(\frac{T}{m a}\right)(2 A(x)-A(x+a)-A(x-a)). \label{6.1}\]

Hasta el momento, la Ecuación\ ref {6.1} es correcta para cualquiera\(a\), grande o pequeña.

Siempre que digas que una cantidad dimensional, como la longitud\(a\), es grande o pequeña, debes especificar una cantidad para la comparación. Hay que decir grande o pequeño en comparación con qué? ¹ En este caso, la otra cantidad dimensional en el problema con las dimensiones de longitud es la longitud de onda del modo que nos interesa. Ahora aquí es donde\(a\) entra lo pequeño. Si nos interesan sólo modos con una longitud de onda\(\lambda=2 \pi / k\) que es muy grande en comparación con\(a\), entonces\(ka\) es un número adimensional muy pequeño y\(A(x + a)\) está muy cerca de\(A(x)\). Podemos expandirlo en una serie de Taylor que es rápidamente convergente. La expansión de la ecuación\ ref {6.1} en una serie de Taylor da

\[M^{-1} K A(x)=-\frac{T a}{m} \frac{\partial^{2} A(x)}{\partial x^{2}}+\cdots \label{6.2}\]

donde\(\cdots\) representan términos derivados superiores que son menores por potencias del número pequeño\(ka\) que el primer término en la Ecuación\ ref {6.2}. En el límite en el que tomamos a ser realmente minúsculos (siempre comparados con las longitudes de onda que queremos estudiar) podemos reemplazar\(m / a\) por la densidad de masa lineal\(\rho_{L}\), o masa por unidad de longitud de la cadena ahora casi continua e ignorar los términos de orden superior. En este límite, podemos sustituir la\(M^{- 1}K\) matriz por la combinación de derivados que aparecen en el primer término sobreviviente de la serie Taylor (Ecuación\ ref {6.2}),

\[M^{-1} K \rightarrow-\frac{T}{\rho_{L}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} . \label{6.3}\]

Entonces la ecuación de movimiento para\(\psi(x,t)\) se convierte en la ecuación de onda:

\[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \psi(x, t)=\frac{T}{\rho_{L}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x, t) . \label{6.4}\]

La relación de dispersión es\[\omega^{2}=\frac{T}{\rho_{L}} k^{2} . \label{6.5}\]

Esto se puede ver directamente enchufando el modo normal\(e^{i k x}\) a la Ecuación\ ref {6.4}, o tomando el límite de (5.37) - (5.38) como\(a \rightarrow 0\). La ecuación (6.5) es la relación de dispersión para la cadena continua ideal. La cantidad,\(\sqrt{T / \rho_{L}}\), tiene las dimensiones de velocidad. Se llama la “velocidad de fase”,\(v_{\varphi}\). Como discutiremos con mucho más detalle en el capítulo 8 y siguiente, esta es la velocidad con la que las olas viajeras se mueven sobre la cuerda.

Llamaremos a la aproximación de reemplazar un sistema discreto por un sistema continuo que se vea aproximadamente igual para\(k_{\rightarrow} \gg 1 / a\) la aproximación de continuum. Realmente, todos los sistemas mecánicos que consideraremos son discretos, al menos a nivel atómico. Sin embargo, si solo nos preocupan las ondas con longitudes de onda macroscópicas, la aproximación del continuo es muy buena.

Filosofía y especulación

Nuestro tratamiento de la ecuación de onda en la Ecuación\ ref {6.4} es un poco inusual. En muchos tratamientos de fenómenos de olas, a la ecuación de onda se le da un lugar de honor. De hecho, la ecuación de onda es solo una reafirmación de la relación de dispersión, Ecuación\ ref {6.5}, que suele ser solo una aproximación a lo que realmente está sucediendo. Casi todos los sistemas que solemos tratar con la ecuación de onda son en realidad discretos a distancias muy pequeñas. Realmente no podemos llegar hasta el límite continuo que da la Ecuación\ ref {6.5}. Las ondas de luz, que estudiaremos en los capítulos venideros, por lo que sabemos, pueden ser una excepción a esta regla, y ser completamente continuas. No obstante, en realidad no tenemos derecho a asumir ni siquiera eso. Podría ser que a distancias muy cortas, muy por debajo de cualquier cosa que podamos mirar hoy en día, la naturaleza de la luz e incluso del espacio y el tiempo cambia de alguna manera para que el espacio y el tiempo mismos tengan alguna pequeña escala de longitud característica\(a\). El análisis anterior muestra que ¡esto no importa! Siempre y cuando solo podamos mirar el espacio y el tiempo a distancias mucho mayores que\(a\), nos parecen continuas. Entonces porque somos científicos, preocupados por cómo se ve el mundo en nuestros experimentos, y no cómo se comporta en algún régimen ideal mucho más allá de lo que podemos sondear experimentalmente, bien podríamos tratarlos como continuos.

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¹ Una cantidad adimensional no requiere este paso. Un número adimensional es grande si es mucho mayor que uno y pequeño si es mucho menor que uno.