6: Límite continuo y serie de Fourier
- Page ID
- 124818
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
“Continuo” está en el ojo del observador. La mayoría de los sistemas que pensamos como continuos en realidad están compuestos por piezas discretas. En este capítulo, mostramos que un sistema discreto puede verse continuo a escalas de distancia mucho mayores que la separación entre las partes. También exploraremos la física y las matemáticas de las series de Fourier.
Vista previa
En este capítulo, discutimos la ecuación de onda, el punto de partida para algunos otros tratamientos de las olas. Lo obtendremos como resultado natural de nuestros principios generales de invarianza de traducción espacial e interacciones locales aplicados a sistemas continuos.
- Estudiaremos los sistemas invariantes de traducción espacial discreta discutidos en el capítulo anterior en el límite de que la separación entre partes va a cero. Argumentaremos que el resultado genérico es un sistema continuo que obedece a la ecuación de onda.
- El límite continuo de la cuerda con cuentas es una cuerda continua con oscilaciones transversales. Discutiremos sus modos normales para una variedad de condiciones límite. Veremos que los modos normales de un sistema invariante de traslación espacial continua son los mismos que los de un sistema finito. La única diferencia es que hay un número infinito de ellos. La suma sobre el número infinito de modos normales requeridos para resolver el problema del valor inicial para dicho sistema continuo se denomina serie de Fourier.
- 6.1: El Límite del Continuum
- Considere un sistema invariante de traslación espacial discreta en el que la separación entre las masas vecinas es a. si a es muy pequeña, el sistema discreto se ve continuo.