6.2: Serie de Fourier

Cuerda con Extremos Fijos

Si estiramos nuestra cadena continua entre muros fijos de manera que\(\psi(0)=\psi(\ell)=0\), los modos vienen dados por (5.33) y (5.34), al igual que para el sistema discreto. La única diferencia es que ahora n va de 1 a\(\infty\), o al menos a tan grande\(n\) que la longitud de onda\(2 \pi / k=2 \ell / n\) es tan pequeña que la aproximación del continuo se descompone. Esto se desprende de (5.28), que por\(k\) ser real aquí se convierte\[-\frac{\pi}{a}<k \leq \frac{\pi}{a} .\]

A medida\(a \rightarrow 0\) que el rango permitido de\(k\) aumenta hasta el infinito.

Estos modos de onda estacionaria se animan en el programa 6-1 en el disco del programa, asumiendo la relación de dispersión, (6.5). Ahora podemos discutir las bases físicas de la serie de Fourier. En (3.77) del capítulo 3, mostramos que los modos normales para un sistema discreto son linealmente independientes y completos. Eso significa que cualquier desplazamiento del sistema discreto puede escribirse como una combinación lineal única de los modos normales. Físicamente, esto debe ser así para permitirnos resolver el problema de valor inicial. Nuestra imagen de la cuerda continua es un límite de la cadena de cuentas en la que el número de cuentas,\(N\), va al infinito y las cuentas se acercan infinitamente. Para cada uno\(N\), el desplazamiento más general del sistema se puede expandir como una combinación lineal de los modos\(N\) normales. Si el límite\(N \rightarrow \infty\) se comporta razonablemente bien, podríamos esperar que el desplazamiento más general de la cadena continua limitante pueda expandirse en términos del número infinito de modos normales del sistema continuo. Esta expansión es una serie de Fourier. El desplazamiento del sistema continuo es descrito por una función de la posición X a lo largo de la cuerda. Si la función no es demasiado discontinua, la expansión en modos normales funciona bien.

Considere la cuerda continua, estirada entre paredes fijas en\(x = 0\) y\(x = \ell\). El desplazamiento transversal de este sistema en cualquier momento se describe mediante una función continua de\(x\),\(\psi(x)\) con\[\psi(0)=\psi(\ell)=0 .\]

Así esperamos del argumento anterior que podamos expresar cualquier función que no sea demasiado discontinua y satisfaga (6.7) como una suma de los modos normales dados por (5.33) y (5.34),\[\psi(x)=\sum_{n=1}^{m} c_{n} \sin \frac{n \pi x}{\ell} .\]

Las constantes,\(c_{n}\), se llaman los “coeficientes de Fourier”. Se pueden encontrar usando la siguiente identidad:\ [\ int_ {0} ^ {\ ell} d x\ sin\ frac {n\ pi x} {\ ell}\ sin\ frac {n^ {\ prime}\ pi x} {\ ell} =\ left\ {\ begin {array} {c}
\ ell/2\ text {if} n=n^ {\ prime}\
0\ text si} n\ neq n^ {\ prime}
\ end {array}\ derecho.\]

Este es solo el método de coordenadas normales adaptado a la situación continua.

Extremos Libres

La ecuación (6.8) se llama serie de Fourier para una función satisfactoria (6.7). Otras condiciones límite producen diferentes series. Por ejemplo, considere una cadena con el\(x = 0\) extremo fijado en

Figura\( 6.1\) S: Una cuerda continua con un extremo libre para oscilar en la dirección transversal.

\(z = 0\). Supongamos que el otro extremo, at\(x = \ell\) está unido a un anillo sin masa que es libre de deslizarse a lo largo de una varilla sin fricción en la\(z\) dirección, como se muestra en la Figura\( 6.1\). Decimos que este sistema tiene un “extremo libre” porque el extremo at\(x = \ell\) es libre para deslizarse en la dirección transversal, aunque esté fijo en la\(x\) dirección.

Debido a que la varilla no tiene fricción, la fuerza sobre el anillo debido a la varilla no debe tener ningún componente en la\(z\) dirección. Pero debido a que el anillo es sin masa, la fuerza total sobre el anillo debe desvanecerse. Por lo tanto, la fuerza sobre el anillo debida a la cuerda no debe tener ningún componente en la\(z\) dirección. Eso implica que la cadena es horizontal en\(x = \ell\). Pero la forma de la cuerda en un momento dado viene dada por la gráfica del desplazamiento transversal,\(\psi(x,t)\) versus\(x^{2}\). Así la pendiente de\(\psi(x,t)\) at\(x = \ell\) debe desvanecerse. Por lo tanto, las condiciones de límite adecuadas para el desplazamiento son\[\psi(0, t)=0,\left.\quad \frac{\partial}{\partial x} \psi(x, t)\right|_{x=\bar{\ell}}=0 .\]

Esto implica que los modos normales también satisfacen condiciones de límite similares:\[A_{n}(0)=0, \quad A_{n}^{\prime}(\ell)=0 .\]

La primera condición implica que la solución debe tener la forma\[A_{n}(x) \propto \sin k_{n} x\]

para algunos\(k_{n}\). La segunda condición determina los posibles valores de\(k_{n}\). Implica que\(\sin k_{n}x\) debe tener un máximo o mínimo en el\(x = \ell\) que, a su vez, implica que\[k_{n} \ell=\frac{\pi}{2}+n \pi\]

donde\(n\) es un entero no negativo (no negativo porque podemos elegir todos los valores\(k_{n} > 0\) in (6.13) — negativos solo cambian el signo de\(A_{n}(x)\) y no conducen a nuevas soluciones). Las soluciones tienen la forma\[\sin \left(\frac{(2 n+1) \pi x}{2 \ell}\right) \quad \text { for } n=0 \text { to } \infty .\]

Estos modos normales están animados en el programa 6-2. Con estos modos normales, podemos describir una función arbitraria,\(\psi(x)\), satisfaciendo las condiciones de límite para este sistema, (6.11). \[\psi(0)=0, \quad \psi^{\prime}(\ell)=0 .\]

Así, para tal función, podemos escribir\[\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sin \left(\frac{(2 n+1) \pi x}{2 \ell}\right)\]

donde\[c_{n}=\frac{2}{\ell} \int_{0}^{\ell} d x \sin \left(\frac{(2 n+1) \pi x}{2 \ell}\right) \psi(x) .\]

Ejemplos de series de Fourier

Encontremos los coeficientes de Fourier para la siguiente función, definida en el intervalo [0,1]:

\ [\ psi (x) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
x &\ text {for} x\ leq w,\\
\ frac {w (1-x)} {1-w} &\ text {for} x>w.
\ end {array}\ derecho.\]

Por definición, tomaremos\(w = 0.75\), por lo que la función\(\psi(x)\) tiene la forma que se muestra en la Figura\( 6.2\).

Calculamos los coeficientes de Fourier utilizando (6.10). Porque\(\ell = 1\), esta tiene la siguiente forma (ver problema (6.2)):

\ [\ comenzar {alinear*}
c_ {n} &=\ int_ {0} ^ {1} d x\ sin n\ pi x\ psi (x)\\
&=\ int_ {0} ^ {w} d x x\ sin n\ pi x+\ frac {w} {1-w}\ int_ {w} ^ {1} d x (1-x)\ sin n\ pi x\\
&=\ frac {\ sin n\ pi w} {(1-w) n^ {2}\ pi^ {2}}.
\ end {alinear*}\]

Figura\( 6.2\): La función\(\psi(x)\) para\(w = 0.75\).

Figura\( 6.3\): El primer término en la serie de Fourier para\(\psi(x)\). La línea punteada es\(\psi(x)\).

Podemos reconstruir la función,\(\psi(x)\), como una suma sobre los modos normales de la cadena. Veamos los primeros términos de la serie para tener una idea de cómo funciona esto. El primer término en la suma, para\(w = 0.75\), se muestra en la Figura\( 6.3\). Se trata de una pésima aproximación, necesariamente, porque la función no es simétrica sobre\(x = 1 / 2\), mientras que el primer término en la suma es simétrico. Los dos primeros términos se muestran en la Figura\( 6.4\). Esto se ve mucho mejor.

Figura\( 6.4\): La suma de los dos primeros términos de la serie de Fourier para\(\psi(x)\). La línea punteada es\(\psi(x)\).

Los primeros seis términos se muestran en la Figura\( 6.5\). Esta es ahora una aproximación bastante buena excepto donde la función tiene una torcedura.

Figura\( 6.5\): La suma de los primeros seis términos de la serie de Fourier para\(\psi(x)\). La línea punteada es\(\psi(x)\).

Lo que está pasando aquí es que si incluimos términos en la serie de Fourier solo hasta\(n = N\), la serie truncada de Fourier\[\psi(x)=\sum_{n=1}^{N} c_{n} \sin n \pi x\]

no incluye ningún modo con longitudes de onda muy pequeñas. La longitud de onda más pequeña que aparece (para el número de onda angular más alto) es\(2 / N\) (no hay dimensiones aquí porque tomamos\(a = 1\)). Por lo tanto, si bien la serie de Fourier puede describir cualquier característica de la forma de la función que sea mayor que\(2 / N\), no hay forma de que pueda captar características que son mucho más pequeñas. En este ejemplo, debido a que la función tiene una torcedura infinitamente aguda, la serie de Fourier nunca llega muy bien cerca\(x = w\). Sin embargo, eventualmente la discrepancia se aprieta en una región tan pequeña alrededor de la torcedura que el resultado se verá bien a simple vista.

Figura\( 6.6\): Los dos primeros términos de la serie de Fourier para\(\psi(x)\) y su suma.

Puedes ver cómo funciona esto con más detalle estudiando Figura\( 6.6\). La curva de guiones largos es el primer término de la serie de Fourier. Evidentemente, es menor que la función,\(\psi(x)\) (el triángulo punteado), para grande\(x\) y mayor que\(\psi(x)\) para pequeño\(x\). Se elige el signo y magnitud del segundo término en la serie de Fourier, la curva de guiones cortos en la Figura\( 6.6\), para suplir esta discrepancia, de manera que la suma (la curva sólida) esté mucho más cerca de la función real. El mismo proceso se repite una y otra vez a medida que vas al orden superior en la serie truncada de Fourier.

Se puede jugar con la serie truncada de Fourier para la función\(\psi(x)\) en el programa 6-3. Este programa permite variar el parámetro\(w\), y también el número de términos en la serie de Fourier. Deberías mirar lo que pasa cerca\(w = 1\). Se podría pensar que esto causaría problemas para la serie de Fourier porque el (\(1 − w\)) en el denominador de (6.20) va a cero. No obstante, el límite en realidad se comporta bien porque\(sin n \pi \omega\) también va a cero como\(w \rightarrow 0\). Sin embargo, la serie de Fourier tiene que trabajar duro\(w = 1\) para reproducir una función que no va a cero\(x = 1\) como una suma de funciones sinusoidales, cada una de las cuales desaparece en\(x = 1\). Esta dificultad se refleja en los meneos cercanos\(x = 1\) para cualquier número razonable de términos en la serie de Fourier.

Desplume de una cuerda

Ahora usemos esta matemática para resolver un problema de física. Resolveremos el problema de valor inicial para la cadena con extremo fijo para una forma inicial particular. El problema de valor inicial aquí es casi exactamente como el discutido en el capítulo 3, (3.98) - (3.100), para un sistema con un número finito de grados de libertad. La única diferencia es que ahora, debido a que el número de grados de libertad es infinito, la suma sobre modos corre hasta el infinito. No debes preocuparte por el hecho de que el número de modos es infinito. Lo que realmente significa ese “infinito” es “más grande que cualquier número que nos vaya a importar”. En la práctica, como vimos en los ejemplos anteriores, los modos superiores eventualmente no hacen mucha diferencia. Están asociados con características cada vez más pequeñas de la forma. Cuando decimos que el sistema es continuo y que tiene un número infinito de grados de libertad, en realidad estamos asumiendo que las características más pequeñas que nos importan en las olas siguen siendo mucho mayores que la distancia entre piezas del sistema, de modo que podamos truncar nuestra serie de Fourier muy por debajo de la limitar y aún tener una buena descripción aproximada de la moción.

Supongamos que arrancamos la cuerda. Específicamente, supongamos que la cuerda tiene densidad de masa lineal\(\rho_{L}\), tensión\(T\), y extremos fijos en\(x = 0\) y\(\ell\). Supongamos además que en\(t = 0\) el momento la cuerda está en reposo, pero sacada de su posición de equilibrio en la forma\(\psi(x)\),, dada por (6.19). Si la cadena se libera entonces en\(t = 0\), podemos encontrar el movimiento posterior sumando sobre todos los modos normales con coeficientes fijos multiplicados por\(\cos \omega_{n} t\) y/o\(\sin \omega_{n} t\), donde\(\omega_{n}\) está la frecuencia del modo\(\sin \frac{n \pi x}{\ell}\) con\(k=\frac{n \pi}{\ell}\) (la frecuencia viene dada por (6.5))\[\omega_{n}=\sqrt{\frac{T}{\rho_{L}}} k_{n}=\sqrt{\frac{T}{\rho_{L}}} \frac{n \pi}{\ell} .\]

En este caso, sólo aparecen los\(\cos \omega_{n} t\) términos, porque la velocidad es cero a\(t = 0\). Así podemos escribir\[\psi(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sin \frac{n \pi x}{\ell} \cos \omega_{n} t .\]

Esto satisface las condiciones límite en\(t = 0\), en virtud de la serie de Fourier, (6.8). La desventaja de (6.23) es que nos queda una suma infinita. Para la relación de dispersión simple, (6.5), existen otras formas de resolver este problema que discutiremos más adelante cuando aprendamos sobre las olas viajeras. Sin embargo, la ventaja de la solución (6.23) es que no depende de la relación de dispersión.

Podemos resolver el problema aproximadamente usando (6.23) sumando solo los primeros términos de la serie. La computadora puede hacer esto rápidamente. En el programa 6-4, se muestran los primeros veinte términos de la serie para\(w = 1 / 2\) (y la relación de dispersión aún dada por (6.5)). El resultado es increíblemente simple. ¡Compruébalo! El programa 6-5 es la misma idea, pero permite variar\(w\) y el número de términos en la serie de Fourier. Prueba\(w = 0.75\) y compara con\(Figures \text { } 6.3 \text {-} 6.5\).

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² Es por ello que las oscilaciones transversales son más fáciles de visualizar que las oscilaciones longitudinales — comparar con (7.5).