7.1: Modos longitudinales en un resorte masivo

Hasta el momento, en nuestras extensas discusiones sobre olas en sistemas de muelles y bloques, hemos asumido que los únicos grados de libertad son los asociados al movimiento de los bloques. Esta es una suposición razonable a bajas frecuencias, cuando los bloques son muy pesados en comparación con los resortes, porque los bloques se mueven tan lentamente que los resortes tienen tiempo de reajustar y siempre son casi uniformes. ¹ En este caso, la relación de dispersión para las oscilaciones longitudinales de los bloques es solo la relación de dispersión para los péndulos acoplados, (5.35), en el límite en el que ignoramos la gravedad, y mantenemos solo constante el acoplamiento entre las masas producidas por el resorte,\(K\). En otras palabras, tomamos el límite de (5.35) como\(g / \ell \rightarrow 0\). El resultado se puede escribir como\[\omega^{2}=\frac{4 K_{a}}{m} \sin ^{2} \frac{k a}{2}\]

donde\(K_{a}\) está la constante de resorte de los resortes,\(m\) la masa de los bloques y\(a\) la separación de equilibrio. Hemos puesto un subíndice\(K_{a}\) porque\(a\) vamos a querer variar la constante de resorte ya que variamos la separación entre los bloques en la discusión a continuación.

Ahora, ¿qué pasa cuando los bloques están ausentes, pero la primavera es masiva? Podemos averiguarlo considerando el límite de (7.1) como\(a \rightarrow 0\). En este límite, los bloques masivos y el resorte sin masa se funden entre sí, de manera que el resultado parece un resorte uniforme y masivo. Para tomar el límite, sin embargo, debemos entender qué variables describen la primavera masiva, y tener un límite finito como\(a \rightarrow 0\). Una de esas variables es la densidad de masa lineal,\[\rho_{L}=\lim _{a \rightarrow 0} \frac{m}{a} .\]

Debemos llevar las masas de los bloques a cero como\(a \rightarrow 0\) para mantenernos\(\rho_{L}\) finitos.

Para entender lo que le pasa a\(K_{a}\) como\(a \rightarrow 0\), considera lo que sucede cuando cortas un resorte por la mitad. Cuando se estira un resorte, cada mitad aporta la mitad del desplazamiento. Pero la tensión es uniforme a lo largo del resorte estirado. Así, la constante de resorte de medio resorte es el doble de grande que la del resorte completo, porque la mitad del desplazamiento da la misma fuerza. Esta relación se ilustra en la Figura\( 7.1\). El resorte en el centro está sin estirar. El resorte en la parte superior se estira\(x\) hacia la derecha. El fondo muestra el mismo resorte estirado, aún estirado por\(x\), pero ahora simétricamente. Comparando arriba e abajo, se puede ver que la fuerza de retorno de estirar el resorte por\(x\) es la misma que de estirar la mitad del resorte por\(x / 2\).

El diagrama de la Figura\( 7.1\) es un ejemplo del siguiente resultado. En general, la constante de resorte\(K_{a}\),, depende no sólo de qué esté hecha la primavera, depende de la duración de la primavera. Pero la cantidad\(K_{a}a\), donde\(a\) está la longitud del resorte, en realidad es independiente de\(a\), para un resorte hecho de material uniforme. Por lo tanto, debemos\(K_{a}a\) fijar el límite de\(a \rightarrow 0\) tenencia.

Esto implica que la relación de dispersión para el resorte masivo es\[\omega^{2}=\frac{K_{a} a}{\rho_{L}} k^{2}\]

donde hemos utilizado la expansión de la serie Taylor de\(\sin x\), (1.58), y conservamos sólo el primer término.

Figura\( 7.1\): La mitad de un resorte tiene el doble de la constante de resorte.

De acuerdo con la discusión anterior, podemos reescribir esto como\[\omega^{2}=\frac{K \ell}{\rho_{L}} k^{2}\]

donde\(\ell\) es la longitud del resorte y\(K\) es la constante de resorte del resorte en su conjunto.

Tenga en cuenta que en oscilaciones longitudinales en un material continuo en la\(x\) dirección, la posición de equilibrio\(x\),, en realidad no describe la\(x\) posición del material. Debido a que el desplazamiento es longitudinal, la\(x\) posición real del punto en el resorte con posición de equilibrio\(x\) es\[x+\psi(x, t),\]

donde\(\psi\) esta el desplazamiento. Necesitarás esto para hacer problema (7.1).

Extremos Fijos

Supongamos que tenemos un resorte masivo con longitud\(\ell\) y sus extremos fijos en\(x = 0\) y\(x = \ell\). Entonces el desplazamiento,\(\psi(x,t)\) debe desaparecer en los extremos,\[\psi(0, t)=0, \quad \psi(\ell, t)=0 .\]

Los modos del sistema son los mismos que para cualquier otro sistema invariante de traslación espacial. Las combinaciones lineales de los modos exponenciales complejos del sistema infinito que satisfacen (7.6) son\[A_{n}(x)=\sin \frac{n \pi x}{\ell} ,\]

con número de onda angular\[k_{n}=\frac{n \pi}{\ell}\]

y frecuencia (a partir de la relación de dispersión, (7.4))\[\omega_{n}=\sqrt{\frac{K \ell}{\rho_{L}}} k_{n}=\sqrt{\frac{K \ell}{\rho_{L}}} \frac{n \pi}{\ell} .\]

Sin embargo, debido a que las oscilaciones son longitudinales, los modos se ven muy diferentes de los modos transversales de la cuerda que estudiamos en el capítulo anterior. La posición del punto en la cuerda cuya posición de equilibrio es x, en el enésimo modo normal, tiene la forma general (de (7.5))\[x+\epsilon \sin \frac{n \pi x}{\ell} \cos \left(\omega_{n} t+\phi\right)\]

donde\(\epsilon\) y\(\phi\) son la amplitud y fase de la oscilación.

Los 9 modos más bajos en (7.10) están animados en el programa 7-1. Compárelos con los modos animados en el programa 6-1. Las matemáticas son las mismas, pero la física es muy diferente debido a (7.5). Mira estas dos animaciones hasta que puedas visualizar la relación entre las dos. Entonces habrás entendido (7.5).

Extremos Libres

Ahora veamos la situación en la que se fija el final de la primavera en\(x = 0\), pero el final en\(x = \ell\) es libre. Las condiciones de contorno en este caso son análogas a los modos normales de la cadena con un extremo fijo. El desplazamiento en\(x = 0\) debe desaparecer porque el extremo es fijo. También, la derivada del desplazamiento en\(x = \ell\) debe desaparecer. Esto se puede ver mirando el resorte continuo como el límite de masas discretas acopladas por resortes. Como vimos en (5.43), la última masa real debe tener el mismo desplazamiento que la primera masa “imaginaria”,\[\psi(\ell, t)=\psi(\ell+a, t) .\]

Por lo tanto, para el sistema finito con un extremo libre en\(\ell\), tenemos la relación\[\frac{\psi(\ell, t)-\psi(\ell+a, t)}{a}=0 \text { for all } a .\]

En el límite de que la distancia entre masas va a cero, ésta se convierte en la condición de que la derivada del desplazamiento\(\psi\),, con respecto a se\(x\) desvanece en\(x = \ell\),\[\left.\frac{\partial}{\partial x} \psi(x, t)\right|_{x=\ell}=0 .\]

Así, las condiciones límite sobre el desplazamiento son las mismas que en (6.11) para la oscilación transversal de una cuerda continua con\(x = 0\) fijo y\(x = \ell\) libre,\[\psi(0, t)=0,\left.\quad \frac{\partial}{\partial x} \psi(x, t)\right|_{x=\ell}=0 .\]

Esto, a su vez, implica que los modos normales son los mismos que para la cuerda que oscila transversalmente, (6.15),\[A_{n}(x)=\sin \left(\frac{(2 n+1) \pi x}{2 \ell}\right) \quad \text { for } n=0 \text { to } \infty .\]

Sin embargo, nuevamente debido a (7.5), estos modos se ven muy diferentes a los de la cadena. Los primeros nueve están animados en el programa 7-2 (comparar con el programa 6-2).

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¹ A continuación lo diremos mucho más formalmente.