7.2: Una masa en un resorte ligero

Volvamos al sistema que estudiamos al principio mismo del libro, el oscilador armónico construido poniendo una masa al final de un resorte ligero. Ahora estamos en condiciones de entender con precisión qué significa “luz” para este sistema, porque ahora podemos permitir que el resorte tenga una densidad de masa lineal distinta de cero,\(\rho_{L}\), y encontrar los modos normales de este sistema. Entonces podremos ver qué pasa como\(\rho_{L} \rightarrow 0\).

Para ser específicos, considere un resorte con longitud de equilibrio\(\ell\) y constante de resorte\(K\), fijado\(x = 0\) y obligado a oscilar solo en la\(x\) dirección (es decir longitudinalmente). Ahora adjuntar una masa,\(m\), al extremo libre (con posición de equilibrio\(x = \ell\)). El resorte, para\(0 < x < \ell\), puede considerarse como parte de un sistema invariante de traslación espacial. Para encontrar los modos normales para este sistema, buscamos la combinación lineal de los modos del resorte infinito (para un dado\(\omega\)) que reproduce la física en\(x = 0\) y\(x = \ell\). El extremo fijo en\(x = 0\) es fácil. Esto corrige la forma de los modos para que sea proporcional a\[\sin k_{n} x\]

con frecuencia\[\omega_{n}=\sqrt{\frac{K \ell}{\rho_{L}}} k_{n} .\]

Como siempre,\(k_{n}\) y\(\omega_{n}\) están relacionados por la relación de dispersión, (7.4). Ahora para determinar los posibles valores de\(k_{n}\), requerimos que\(F = ma\) se satisfagan para la masa. Supongamos, por ejemplo, que la amplitud de la oscilación es\(A\) (una longitud). Entonces el desplazamiento del punto en el resorte con posición de equilibrio\(x\) es\[\psi(x, t)=A \sin k_{n} x \cos \omega_{n} t,\]

y el desplazamiento de la masa está determinado por el desplazamiento del extremo del resorte,\[x(t) \equiv \psi(\ell, t)=A \sin k_{n} \ell \cos \omega_{n} t .\]

La aceleración es\[a(t)=\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \psi(\ell, t)=-\omega_{n}^{2} A \sin k_{n} \ell \cos \omega_{n} t\]

Figura\( 7.2\): El estiramiento de la última primavera es\(\psi(\ell, t)-\psi(\ell-a, t)\)

Para encontrar la fuerza sobre la masa, considere el resorte masivo como el límite continuo a partir\(a \rightarrow 0\) de masas conectadas por resortes sin masa de longitud de equilibrio\(a\), como al inicio del capítulo. Entonces la fuerza sobre la masa al final está determinada por el estiramiento del último resorte de la serie. Esto, a su vez, es la diferencia entre el desplazamiento del sistema en\(x = \ell\) y\(x = \ell - a\), como se ilustra en la Figura\( 7.2\). Así la fuerza es\[F=-K_{\dot{a}}[\psi(\ell, t)-\psi(\ell-a, t)] .\]

Para tomar el límite,\(a \rightarrow 0\), reescribe esto como\[F=-K_{a} a \frac{\psi(\ell, t)-\psi(\ell-a, t)}{a} .\]

Ahora en el límite continuo,\(K_{a}a\) es\(K \ell\), y el último factor va a una derivada,\(\left.\frac{\partial}{\partial x} \psi(x, t)\right|_{x=\ell}\). El resultado final para la fuerza es, por lo tanto, ²\[F=-\left.K \ell \frac{\partial}{\partial x} \psi(x, t)\right|_{x=\ell}=-K \ell k_{n} A \cos k_{n} \ell \cos \omega_{n} t .\]

Tenga en cuenta que las unidades funcionan. \(K \ell\)es una fuerza. \(\frac{\partial}{\partial x} \psi\)es adimensional.

Poner (7.20) y (7.23) en\(F = ma\) y cancelar un factor de\(-A \cos \omega_{n} t\) en ambos lados da,\[K \ell k_{n} \cos k_{n} \ell=m \omega_{n}^{2} \sin k_{n} \ell .\]

Usando la relación de dispersión para eliminar\(\omega_{n}^{2}\), obtenemos\[k_{n} \ell \tan k_{n} \ell=\frac{\rho_{L} \ell}{m} .\]

Hemos multiplicado ambos lados de (7.25) por\(\ell\) para tratar con las variables adimensionales\(k_{n}\ell\) (que es\(2 \pi\) por el número de longitudes de onda que encajan en el resorte) y el número adimensional\[\epsilon \equiv \frac{\rho_{L} \ell}{m}\]

(que es la relación de la masa del resorte,\(\rho_{L}\ell\), a la masa,\(m\)). El resorte es ligero si\(\epsilon\) es mucho más pequeño que uno.

El punto importante es que (7.25) tiene sólo una solución para\(k_{n}\ell\) que vaya a cero como\(\epsilon \rightarrow 0\). Porque\(\tan k \ell \approx k \ell\) para los pequeños\(k \ell\), es\[k_{0} \ell \approx \sqrt{\epsilon} \text { . }\]

Para todas las demás soluciones, la pequeñez del lado izquierdo de (7.25) debe venir porque\(\tan k_{n} \ell\) es muy pequeña,\[k_{n} \ell \approx n \pi \quad \text { for } n=1 \text { to } \infty .\]

Pero (7.28) implica\[x(t) \equiv \psi(\ell, t)=A \sin k_{n} \ell \cos \omega_{n} t \approx 0 \quad \text { for } n=1 \text { to } \infty .\]

Es decir, en todas las soluciones excepto\(k_{0}\), la masa apenas se mueve en absoluto, y el resorte está haciendo casi toda la oscilación, pareciéndose mucho a un sistema con dos extremos fijos. Además, las frecuencias de todos los modos excepto el\(k_{0}\) modo son grandes,\[\omega_{n} \approx n \pi \sqrt{\frac{K}{\rho_{L} \ell}} \quad \text { for } n=1 \text { to } \infty ,\]

mientras que la frecuencia del\(k_{0}\) modo es\[\omega_{0} \approx \sqrt{\frac{K}{m}} .\]

Para pequeñas\(\epsilon\) (masa grande), el\(k_{0}\) modo se asocia principalmente con la oscilación de la masa, y tiene aproximadamente la frecuencia que encontramos para el caso del resorte sin masa. Los otros modos están en un rango de frecuencias completamente diferente. Están asociados con las oscilaciones del resorte. Este es un ejemplo importante de la forma en que un solo sistema puede comportarse de maneras muy diferentes en diferentes regímenes de frecuencia.

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² Tenga en cuenta que podemos usar esto para dar una derivación alternativa de la condición límite para un extremo libre, (7.14).