7.3: La velocidad del sonido

La física de las ondas sonoras es obviamente un problema tridimensional. Sin embargo, podemos aprender mucho sobre el sonido considerando el movimiento del aire en una sola dimensión. Consideremos, por ejemplo, las ondas estacionarias en el aire en un tubo largo y estrecho como un tubo de órgano, que se muestra en forma de caricatura en la Figura\( 7.3\). Aquí, ignoraremos el movimiento del aire perpendicular a la longitud de la tubería, y consideraremos solo el movimiento unidimensional a lo largo de la tubería. Como veremos más adelante, cuando podamos lidiar con problemas tridimensionales, esto es algo sensato para las bajas frecuencias, en las que no se pueden excitar los modos transversales de oscilación. Si consideramos solo el movimiento unidimensional, podemos trazar una analogía entre las oscilaciones del aire en la tubería y las ondas longitudinales en un resorte masivo.

Figura 7.3: Una tubería de órgano.

Está claro de qué\(\rho_{L}\) es el análogo. La densidad de masa lineal del aire en el tubo es\[\rho_{L}=\rho A\]

donde\(A\) está el área de la sección transversal del tubo. La pregunta entonces es ¿qué es\(K \ell\) para un tubo de aire?

Considera poner un pistón en la parte superior del tubo, como se muestra en la Figura\( 7.4\). Con el pistón en la parte superior del tubo, no hay fuerza sobre el pistón, ya que la presión del aire en el tubo es la misma que la presión del aire en la habitación exterior. Sin embargo, si el pistón se mueve a una distancia\(dz\), como se muestra en la Figura\( 7.5\), el volumen del aire en el tubo se disminuye en\[-d V=A d z .\]

Figura\( 7.4\): El tubo de órgano con un pistón en la parte superior. El aire en el tubo actúa como un resorte.

Figura\( 7.5\): Al empujar el pistón se cambia el volumen del aire en el tubo.

Si el pistón se moviera lo suficientemente lento como para que la temperatura del gas se mantuviera constante, entonces la presión simplemente sería inversamente proporcional al volumen. Sin embargo, en una onda de sonido, el movimiento del aire es tan rápido que casi ningún calor tiene la posibilidad de fluir dentro o fuera del sistema. Tal cambio en el volumen se llama “adiabático”. Cuando el volumen disminuye adiabáticamente, la temperatura sube (porque la fuerza sobre el pistón está trabajando) y la presión aumenta más rápido que\(1 / V\), como\[p \propto V^{-\gamma}\]

donde\(\gamma\) es una constante positiva que depende de las propiedades termodinámicas del gas. Más precisamente,\(\gamma\) es la relación entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante: ³\[C_{P} / C_{V}\]

En el aire, a temperatura y presión estándar\[\gamma_{\text {air }} \approx 1.40\]

Ahora podemos escribir desde (7.34),\[\frac{d p}{p}=-\gamma \frac{d V}{V}\]

o\[d p=-\gamma p \frac{d V}{V} \approx \frac{\gamma A p_{0}}{V} d z=\frac{\gamma p_{0}}{\ell} d z\]

donde\(p_{0}\) está la presión de equilibrio (habitación). Entonces la fuerza en el pistón es\[d F=A d p=\frac{\gamma A^{2} p_{0}}{V} d z=\frac{\gamma A p_{0}}{\ell} d z\]

para que\[K=\frac{d F}{d z}=\frac{\gamma A p_{0}}{\ell}\]

y\(K \ell\) es\[K \ell=\gamma A p_{0} .\]

Así esperamos que la relación de dispersión sea\[\omega^{2}=v_{\text {sound }}^{2} k^{2}=\frac{K \ell}{\rho_{L}} k^{2}=\frac{\gamma p_{0}}{\rho} k^{2}\]

donde hemos definido la “velocidad del sonido”,\(v_{\text {sound }}\), como\[v_{\text {sound }}^{2}=\frac{\gamma p_{0}}{\rho}\]

Para aire a temperatura y presión estándar,\[v_{\text {sound }} \approx 332 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} .\]

Como veremos en el próximo capítulo, esta es en realidad la velocidad a la que viajan las ondas sonoras. Por ahora, es solo un parámetro en nuestro cálculo de los modos normales.

En la tubería que se muestra en (7.3), el desplazamiento del aire, al que llamaremos\(\psi(z,t)\), debe desaparecer en\(z = 0\), porque el fondo del tubo está cerrado y no hay ningún lugar para que vaya el gas.

El\(z\) derivado del\(\psi\) debe desaparecer en\(z = \ell\), debido a que el exceso de presión es proporcional a\(-\frac{\partial}{\partial z} \psi\). La presión es proporcional a la fuerza en nuestra analogía con las ondas longitudinales en la primavera masiva. Usando (7.41) y (7.23), esperamos que la fuerza longitudinal sea\[\pm \gamma A p_{0} \frac{\partial}{\partial z} \psi\]

o el exceso de presión a ser\[p-p_{0}=-\gamma p_{0} \frac{\partial}{\partial z} \psi .\]

Queremos el signo negativo porque para\(\frac{\partial}{\partial z} \psi>0\), el aire se está extendiendo y tiene menor presión.

Así, para una onda estacionaria en la tubería, (7.3), se esperan las condiciones de límite\[\psi(0, t)=0,\left.\quad \frac{\partial}{\partial z} \psi(z, t)\right|_{z=\ell}=0 ,\]

para lo cual la solución es\[\psi(z, t)=\sin k z \cos \omega t\]

\[k=\frac{(n+1 / 2) \pi}{\ell}, \quad \omega=v k ,\]

donde\(v=v_{\text {sound }}\), para entero no negativo\(n\). En particular, el modo de frecuencia más baja del tubo corresponde a\(n = 0\),\[\omega=\frac{v \pi}{2 \ell}, \quad \nu=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{v}{4 \ell} .\]

Aproximación Helmholtz

Consideremos un problema ligeramente diferente. ¿Cuál es el modo de frecuencia más baja de una botella de refresco de un litro, mostrada en la Figura\( 7.6\)? Un conjunto típico de parámetros se da a continuación:\ [\ begin {aligned}
&A\ approx 2.85\ mathrm {~cm} ^ {2}:\ text {area of neck}\\
&\ begin {aligned}
&\ ell\ approx 5.7\ mathrm {~cm}\ quad:\ text {length of neck}\\
&L\ approx 25\ mathrm {~cm}\ quad: \ texto {longitud de la botella}
\ final {alineado}\\
&V_ {0}\ aprox 1000\ mathrm {~cm}:\ texto {volumen del cuerpo}
\ final {alineado}\]

Figura\( 7.6\): Una botella de refresco de un litro.

Poner la longitud,\(L\), de la botella en (7.50) da\(\nu \approx 332 \text { hertz }\). En el tono estándar americano (ver\(Table \text { } 7.1\)), este es un medio\(E\) por encima\(C\).

Esto obviamente está mal. Si alguna vez has soplado en tu botella de refresco, sabes que la frecuencia del modo más bajo es mucho menor que esa. El problema, por supuesto, es que la botella de refresco no tiene forma alguna como el tubo. Determinar los modos es un complicado problema tridimensional. Resulta, sin embargo, que podemos encontrar el modo más bajo a una aproximación decente con bastante facilidad.

La idea es que en el modo más bajo, el aire en el cuello de la botella se mueve rápidamente, pero en el cuerpo de la botella, el aire se extiende rápidamente para que no se mueva mucho en absoluto. La idea de la aproximación Helmholtz a tratar es tratar el aire en el cuello como un solo trozo con masa\[\rho A \ell ,\]

y tratar el cuerpo como un resorte, que contribuya a restaurar la fuerza pero no la inercia (porque el aire no se mueve mucho). Entonces todo lo que debemos hacer es computar el\(K\) de la “primavera”. Eso es fácil, usando (7.38). En este caso,\[d V=A d z ,\]

por lo\[d p=-\gamma p \frac{A d z}{V} \approx-\gamma p_{0} \frac{A d z}{V_{0}}\]

\(Table \text { } 7.1\): Tono estándar americano (A440) — las frecuencias están en Hertz.

Escala cromática de igual temperamento

Nota	\(\nu\)	Nota	\(\nu\)	Nota	\(\nu\)
\(A\)	\ (\ nu\) ">880	\(A\)	\ (\ nu\) ">440	\(A\)	\ (\ nu\) ">220
\(G \#\)	\ (\ nu\) ">831	\(G #\)	\ (\ nu\) ">415	\(G #\)	\ (\ nu\) ">208
\(G\)	\ (\ nu\) ">784	\(G\)	\ (\ nu\) ">392	\(G\)	\ (\ nu\) ">196
\(F \#\)	\ (\ nu\) ">740	\(F #\)	\ (\ nu\) ">370	\(F #\)	\ (\ nu\) ">185
\(F\)	\ (\ nu\) ">698	\(F\)	\ (\ nu\) ">349	\(F\)	\ (\ nu\) ">175
\(E\)	\ (\ nu\) ">659	\(E\)	\ (\ nu\) ">330	\(E\)	\ (\ nu\) ">165
\(E b\)	\ (\ nu\) ">622	\(E b\)	\ (\ nu\) ">311	\(E b\)	\ (\ nu\) ">156
\(D\)	\ (\ nu\) ">587	\(D\)	\ (\ nu\) ">294	\(D\)	\ (\ nu\) ">147
\(C \#\)	\ (\ nu\) ">554	\(C \#\)	\ (\ nu\) ">277	\(C \#\)	\ (\ nu\) ">139
\(C\)	\ (\ nu\) ">523	\(C\)	\ (\ nu\) ">262	\(C\)	\ (\ nu\) ">131
\(B\)	\ (\ nu\) ">494	\(B\)	\ (\ nu\) ">247	\(B\)	\ (\ nu\) ">123
\(B b\)	\ (\ nu\) "> 466	\(B b\)	\ (\ nu\) ">233	\(B b\)	\ (\ nu\) ">117

y\[F \approx-\gamma p_{0} \frac{A^{2} d z}{V_{0}}\]

o\[" K "=\gamma p_{0} \frac{A^{2}}{V_{0}} .\]

Luego usando\(\omega^{2}=K / m\), esperamos\[\omega=\sqrt{\frac{\gamma A^{2} p_{0} / V_{0}}{\rho A \ell}}=v \sqrt{\frac{A}{\ell V_{0}}} .\]

Para la botella de refresco, (7.6), esto da\[\nu \approx 118 \text { hertz }\]

o más o menos\(B b\) por debajo del mínimo\(C\). Esto es casi correcto (ver problema 7.5).

Correcciones a Helmholtz

Existen muchas correcciones posibles a (7.57) que podrían considerarse. Una es incluir el llamado “efecto final”. El punto es que la velocidad del aire en el modo más bajo no baja a cero inmediatamente cuando pasas por los extremos del cuello. Por lo tanto, la masa real es algo mayor que\(\rho A \ell\). La tradición es que puedes hacerlo mejor reemplazando\[\ell \rightarrow \ell+0.6 r\]

donde\(r\) está el radio del cuello.

Aquí discutiremos otra corrección que se puede tratar sistemáticamente utilizando los métodos de invarianza de traducción espacial e interacciones locales. Si la botella tiene un cuello largo, probablemente no sea buena idea tratar el aire en el cuello como una masa sólida. Además, existe una alternativa sencilla. Una mejor analogía para el cuello es un resorte masivo con\(K \ell=\gamma A p_{0}\). Debido a que el cuello es un sistema invariante de traslación espacial, esencialmente unidimensional, esperamos un desplazamiento de la forma\[y \cos \frac{\omega z}{v}\]

en el cuello, donde\(z = 0\) está el extremo abierto y\(y\) es el desplazamiento del aire en\(z = 0\). Así, donde el cuello se adhiere al cuerpo, el desplazamiento es\[y \cos \frac{\omega \ell}{v} .\]

La fuerza en este punto de la compresión del aire en el cuello es (de (7.45))\[F_{\text {neck }}=-\gamma A p_{0} \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{\gamma A p_{0} \omega}{v} y \sin \frac{\omega \ell}{v} .\]

Esto debe ser lo negativo de la fuerza del aire en el cuerpo, de (7.39),\[-F_{\text {body }}=\frac{\gamma A^{2} p_{0}}{V_{0}} y \cos \omega \ell / v ,\]

o\[\frac{\omega V_{0}}{A v} \tan \frac{\omega \ell}{v}=1 .\]

Explorarás las consecuencias de esto en el problema 7.5.

Este análisis no distingue entre el área de la parte superior e inferior del cuello. Quizás el área en la parte inferior sea más apropiada. Lo que importa es el área en la parte inferior que determina la fuerza por unidad de área donde la onda en el cuello coincide con el cuerpo.

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³ Véase, por ejemplo, Halliday y Resnick.