10.1: Señales en Oscilación Forzada

Pulso en una cuerda

10-1
Comenzamos con el siguiente problema ilustrativo: las oscilaciones transversales de una cuerda semiinfinita estirada de\(x = 0\) a\(\infty\), conducida en\(x = 0\) con alguna señal transversal arbitraria\(f(t)\), y con una condición límite en el infinito que no hay ondas viajeras entrantes. Este sencillo sistema se muestra en la Figura\( 10.1\).

Figura\( 10.1\): Una cadena semiinfinita.

Hay una manera ingeniosa de obtener la respuesta a este problema que sólo funciona para un sistema con la relación de dispersión simple,\[\omega^{2}=v^{2} k^{2} .\]

El truco es señalar que la relación de dispersión, (10.1), implica que el sistema satisface la ecuación de onda, (6.4), o\[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \psi(x, t)=v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x, t) .\]

Es un hecho matemático (discutiremos la física de la misma a continuación) que la solución general a la ecuación de onda unidimensional, (10.2), es una suma de ondas que se mueven a la derecha y a la izquierda con formas arbitrarias,\[\psi(x, t)=g(x-v t)+h(x+v t) ,\]

donde\(g\) y\(h\) son funciones arbitrarias. Puedes verificar, usando la regla de la cadena, que (10.3) satisface (10.2),\ [\ begin {reunió}
\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial t^ {2}} (g (x-v t) +h (x+v t)) =v^ {2}\ frac {\ parcial^ {2}} {\ parcial x^ {2}} (g (x-v t) +h (x+v t))\\
=v^ {2}\ izquierda (g^ {\ prime\ prime} (x-v t) +h^ {\ prime\ prime} (x+v t)\ derecha).
\ end {reunido}\]

Ante este hecho matemático, podemos encontrar las funciones\(g\) y\(h\) que resuelven nuestro problema particular imponiendo condiciones de límite. La condición límite al infinito implica\[h = 0\]

porque la\(h\) función describe una onda que se mueve en la\(-x\) dirección. La condición límite en\(x = 0\) implica\[g(-v t)=f(t) ,\]

que da\[\psi(x, t)=f(t-x / v)\]

Esto describe la señal,\(f(t)\), propagándose por la cadena a la velocidad de fase\(v\) sin cambio de forma.

Para la función simple\ [f (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
1-|t| &\ text {for} |t|\ leq 1\\
0 &\ text {for} |t|>1
\ end {array}\ right.\]

la forma de la cadena en una secuencia de tiempos se muestra en la Figura\( 10.2\) y se anima en el programa 10-1.

Figura\( 10.2\): Pulso triangular que se propaga sobre una cuerda estirada.

Integrales de Fourier

Pensemos en este problema de una manera más física. En el proceso, entenderemos la física de la solución general, (10.3). Esto puede parecer algo extraño de decir en una sección titulada “Integrales de Fourier”. Sin embargo, veremos que las matemáticas de las integrales de Fourier tienen una interpretación física directa y sencilla.

La idea es utilizar la linealidad de manera inteligente para resolver este problema. Podemos\(f(t)\) desarmar en sus frecuencias angulares componentes. Ya sabemos cómo resolver el problema de oscilación forzada para cada frecuencia angular. Entonces podemos tomar las soluciones individuales y agregarlas nuevamente para reconstruir la solución al problema completo. La ventaja de este procedimiento es que funciona para cualquier relación de dispersión, no sólo para (10.1).

Debido a que puede haber una distribución continua de frecuencias en una señal arbitraria, no podemos simplemente escribir\(f(t)\) como una suma sobre componentes, necesitamos una integral de Fourier,\[f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C(\omega) e^{-i \omega t} .\]

La física de (10.9) es solo linealidad e invarianza de traducción de tiempo. Sabemos que podemos elegir los modos normales del sistema libre para tener una dependencia exponencial irreducible del tiempo, debido a la invarianza de la traducción del tiempo. Dado que los modos normales describen todos los movimientos posibles del sistema, sabemos que al tomar una combinación lineal adecuada de modos normales, podemos encontrar una solución en la que el movimiento del extremo del sistema sea descrito por la función,\(f(t)\). La única sutileza en (10.9) es que hemos asumido que los valores de\(\omega\) que aparecen en la integral son todos reales. Esto es apropiado porque una parte imaginaria distinta de cero para\(\omega\) in\(e^{-i \omega t}\) describe una función que va exponencialmente al infinito como\(t \rightarrow \pm \infty\). Físicamente, nunca nos interesan esas cosas. De hecho, estamos realmente interesados en funciones que van a cero como\(t \rightarrow \pm \infty\). Estos son bien descritos por la integral sobre lo real\(\omega\), (10.9).

Tenga en cuenta que si\(f(t)\) es real en (10.9), entonces\ [\ begin {reunió}
f (t) =\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ omega C (\ omega) e^ {-i\ omega t}\\
=f (t) ^ {*} =\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ omega C (\ omega) ^ {*} e^ {i\ omega t} =\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ omega C (-\ omega) ^ {*} e^ {-i\ omega t}
\ end {reunido}\]

por lo tanto\[C(-\omega)^{*}=C(\omega) .\]

En realidad, es más fácil trabajar con la integral compleja de Fourier, (10.9), con la dependencia exponencial compleja irreducible del tiempo, que con expansiones reales en términos de\(\cos \omega t\) y\(\sin \omega t\). Pero también puedes ver las formas reales en otros libros. Siempre puedes traducir desde (10.9) usando la identidad de Euler\[e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta .\]

Para cada valor de\(\omega\), podemos anotar la solución al problema de oscilación forzada, incorporando la condición límite en\(\infty\). Cada componente de frecuencia de la fuerza produce una onda que viaja en la\(+x\) dirección. \[e^{-i \omega t} \rightarrow e^{-i \omega t+i k x} ,\]

entonces podemos usar linealidad para construir la solución sumando las ondas viajeras individuales de (10.13) con los coeficientes\(C(\omega)\) de (10.9). Así\[\psi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C(\omega) e^{-i \omega t+i k x} .\]

donde\(\omega\) y\(k\) están relacionados por la relación de dispersión.

La ecuación (10.14) es cierta generalmente para cualquier sistema unidimensional, para cualquier relación de dispersión, pero el resultado es particularmente simple para un sistema no dispersivo como la cadena continua con una relación de dispersión de la forma (10.1). Podemos usar (10.1) en (10.14) reemplazando\[k \rightarrow \omega / v .\]

Obsérvese que mientras\(k^{2}\) está determinado por la relación de dispersión, el signo de\(k\), para un dado\(\omega\), está determinado por la condición límite en el infinito. \(k\)y\(\omega\) debe tener la misma señal, como en (10.15), para describir una ola que viaja en la\(+x\) dirección. Poner (10.15) en (10.14) da\[\psi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C(\omega) e^{-i \omega t+i \omega x / v}=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C(\omega) e^{-i \omega(t-x / v)} .\]

Comparando esto con (10.9) da (10.7).

Tratemos de entender lo que sucede con palabras. La integral de Fourier, (10.9), expresa la señal como una combinación lineal de ondas viajeras armónicas. La relación, (10.15), que se deriva de la relación de dispersión, (10.1), y la condición límite en\(\infty\), implica que cada una de las ondas viajeras armónicas infinitas se mueve a la misma velocidad de fase. Por lo tanto, las ondas permanecen exactamente en la misma relación entre sí a medida que se mueven, y la señal nunca se distorsiona. Simplemente se mueve con las olas.

La señal no armónica se llama “paquete de onda”. Como hemos visto, se puede desarmar en ondas armónicas, por medio de la integral de Fourier, (10.9).