10.2: Medios Dispersivos y Velocidad de Grupo

Para cualquier otra relación de dispersión, la señal cambia de forma a medida que se propaga, debido a que los diversos componentes armónicos viajan a diferentes velocidades. Eventualmente, las diversas piezas de la señal salen de fase y la señal se dispersa. Es por eso que a un medio así se le llama “dispersivo”. Este es el origen del nombre “relación de dispersión”.

Velocidad de Grupo

10-2
Si eres inteligente, puedes enviar señales en un medio dispersivo. El truco es enviar la señal no directamente como la función,\(f(t)\), sino como una modulación de una señal armónica, de la forma\[f(t)=f_{s}(t) \cos \omega_{0} t ,\]

donde\(f_{s}(t)\) esta la señal. Muy a menudo, quieres hacer esto de todos modos, porque las frecuencias importantes en tu señal pueden no coincidir con las frecuencias de las ondas con las que quieres enviar la señal. Un ejemplo es la transmisión de radio AM, en la que la señal se deriva del sonido con una frecuencia típica de unos pocos cientos de ciclos por segundo (Hz), pero se transporta como una modulación de la amplitud de una onda de radio electromagnética, con una frecuencia de unos pocos millones de ciclos por segundo. ¹

Se puede tener una idea de lo que va a suceder en este caso considerando la suma de dos ondas viajeras con diferentes frecuencias y números de onda,\[\cos \left(k_{+} x-\omega_{+} t\right)+\cos \left(k_{-} x-\omega_{-} t\right)\]

donde\[k_{\pm}=k_{0} \pm k_{s}, \quad \omega_{\pm}=\omega_{0} \pm \omega_{s} ,\]

para\[k_{s} \ll k_{0}, \quad \omega_{s} \ll \omega_{0} .\]

La suma puede escribirse como producto de cosenos, como\[2 \cos \left(k_{s} x-\omega_{s} t\right) \cdot \cos \left(k_{0} x-\omega_{0} t\right) .\]

Debido a (10.20), el primer factor varía lentamente en\(x\) y en\(t\) comparación con el segundo. El resultado puede pensarse como una onda armónica con frecuencia\(\omega_{0}\) con una amplitud lentamente variable proporcional al primer factor. La dependencia espacial de (10.21) se muestra en la Figura\( 10.3\).

Figura\( 10.3\): La función (10.21) para t = 0 y k0/ks = 10.

Deberías pensar en el primer factor en (10.21) como la señal. El segundo factor se llama la “onda portadora”. Entonces (10.21) describe una señal que se mueve con velocidad\[v_{s}=\frac{\omega_{s}}{k_{s}}=\frac{\omega_{+}-\omega_{-}}{k_{+}-k_{-}} ,\]

mientras que las ondas más pequeñas asociadas con el segundo factor se mueven con la velocidad\[v_{0}=\frac{\omega_{0}}{k_{0}} .\]

Estas dos velocidades no serán las mismas, en general. Si (10.20) está satisfecho, entonces (como mostraremos con más detalle a continuación)\(v_{0}\) será aproximadamente la velocidad de fase. En el límite, como\(k_{+}-k_{-}=2 k_{s}\) se vuelve muy pequeño, (10.22) se convierte en un derivado\[v_{s}=\left.\frac{\omega_{+}-\omega_{-}}{k_{+}-k_{-}} \rightarrow \frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}} .\]

A esto se le llama la “velocidad de grupo”. Mide la velocidad a la que realmente se puede enviar la señal.

La dependencia del tiempo de (10.21) está animada en el programa 10-2. Tenga en cuenta la forma en que las ondas portadoras se mueven a través de la señal. En esta animación, la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase, por lo que las ondas portadoras aparecen en la parte posterior de cada pulso de la señal y se mueven hacia el frente.

Veamos cómo funciona esto en general para señales interesantes,\(f(t)\). Supongamos que para algún rango de frecuencias cercano a alguna frecuencia\(\omega_{0}\), la relación de dispersión varía lentamente. Entonces podemos tomarlo para que sea aproximadamente lineal al expandirnos\(\omega (k)\) en una serie de Taylor sobre\(k_{0}\) y mantener solo los dos primeros términos. Eso es\[\omega=\omega(k)=\omega_{0}+\left.\left(k-k_{0}\right) \frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}+\cdots,\]

\[\omega_{0} \equiv \omega\left(k_{0}\right),\]

y los términos de orden superior son insignificantes para un rango de frecuencias\[\omega_{0}-\Delta \omega<\omega<\omega_{0}+\Delta \omega .\]

donde\(\Delta \omega\) es una constante que depende\(\omega_{0}\) y los detalles de los términos de orden superior. Entonces puedes enviar una señal del formulario\[f(t) \cdot e^{-i \omega_{0} t}\]

(una forma compleja de (10.17), arriba) donde\(f(t)\) satisface (10.9) con\[C(\omega) \approx 0 \text { for }\left|\omega-\omega_{0}\right|>\Delta \omega .\]

Esto describe una señal que tiene una onda portadora con frecuencia\(\omega_{0}\), modulada por la parte interesante de la señal,\(f(t)\), que actúa como una amplitud variable en el tiempo para la onda portadora,\(e^{-i \omega_{0} t}\). La estrategia de enviar una señal como amplitud variable en una onda portadora se denomina modulación de amplitud.

Por lo general, los términos de orden superior en (10.25) son despreciables sólo si\(\Delta \omega \ll \omega_{0}\). Si los descuidamos, podemos escribir (10.25) como\[\omega=v k+a, \quad k=\omega / v+b,\]

donde\(a\) y\(b\) son constantes podemos determinar a partir de (10.25),\[a=\omega_{0}-v k_{0}, \quad b=k_{0}-\omega_{0} / v\]

y\(v\) es la velocidad del grupo\[v=\left.\frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}} .\]

Para la señal (10.28)\[\psi(0, t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C(\omega) e^{-i\left(\omega+\omega_{0}\right) t}=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C\left(\omega-\omega_{0}\right) e^{-i \omega t} .\]

Así (10.14) se convierte\[\psi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} d \omega C\left(\omega-\omega_{0}\right) e^{-i \omega t} e^{i k x} ,\]

pero entonces (10.29) da\ [\ begin {alineado}
\ psi (x, t) &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} d\ omega C\ izquierda (\ omega-\ omega_ {0}\ derecha) e^ {-i\ omega t+i (\ omega/v+b) x}\\
=&\ int_ {-\ infty} ^ {infty} ^ {infty\ ty} d\ omega C\ izquierda (\ omega-\ omega_ {0}\ derecha) e^ {-i\ omega (t-x/v) +i b x}\\
=& ;\ int_ {=\ infty} ^ {\ infty} d\ omega C (\ omega) e^ {-i\ izquierda (\ omega+\ omega_ {0}\ derecha) (t-x/v) +i b x}\\
&=f (t-x/v) e^ {-i\ omega_ {0} (t-x/v) +i b x}.
\ end {alineado}\]

La modulación\(f(t)\) viaja sin cambio de forma a la velocidad de grupo\(v\) dada por (10.32), siempre y cuando podamos ignorar el término de orden superior en la relación de dispersión. La velocidad de fase\[v_{\phi}=\frac{\omega}{k},\]

no tiene nada que ver con la transmisión de información, pero observe que debido al extra\(e^{i b x}\) in (10.35), la onda portadora viaja a la velocidad de fase.

Puedes ver la diferencia entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo en tu piscina o bañera haciendo un paquete de olas que consta de varias olas más cortas.

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¹ Véase (10.71), a continuación.