11.1: El vector k

Considere la malla bidimensional con cuentas, un análogo bidimensional de la cuerda con cuentas, que se muestra en la Figura\( 11.1\). Todas las cuentas tienen masa\(m\). La tensión de las cuerdas horizontales (verticales) es\(T_{H}\)\((T_{V})\) y la distancia entre cuentas es\(a_{H}\)\((a_{V})\). No hay amortiguación. Podemos etiquetar las cuentas por un par de números enteros (\(j\),\(k\)) indicando sus posiciones horizontal y vertical como se muestra. Alternativamente, podemos etiquetar las cuentas por sus posiciones en el\(y\) plano\(x\), según\[(x, y)=\left(j a_{H}, k a_{V}\right) .\]

Así, podemos describir sus pequeñas oscilaciones transversales (fuera del plano del papel, en la\(z\) dirección) ya sea por una matriz\(\psi_{j k}(t)\) o por una función\[\psi(x, y, t) ; \quad 0 \leq x \leq 5 a_{H}, 0 \leq y \leq 4 a_{V} .\]

Utilizaremos (11.2) porque entonces podemos extender la discusión a sistemas continuos más fácilmente. Nos interesan únicamente las oscilaciones transversales de este sistema, en el que los bloques se mueven hacia arriba y hacia abajo fuera del plano del papel, porque estas oscilaciones no estiran mucho las cuerdas (sólo a segundo orden en los pequeños desplazamientos). Las otras oscilaciones de dicho sistema tienen frecuencias mucho más altas y están fuertemente amortiguadas, por lo que no son muy interesantes.

Figura\( 11.1\): Una malla bidimensional con cuentas.

Al igual que en el caso unidimensional, el primer paso es quitar las paredes y considerar el sistema infinito que se obtiene al extender el interior en todas las direcciones. Las oscilaciones del sistema resultante pueden ser descritas por una función\(\psi(x, y, t)\), donde\(x\) y no\(y\) están restringidas.

Este sistema infinito se ve igual si se traduce por\(a_{V}\) vertical, u\(a_{H}\) horizontalmente. Podemos escribir soluciones para el sistema infinito usando nuestra discusión del caso unidimensional dos veces. Debido a que el sistema tiene invarianza de traducción en la\(x\) dirección, esperamos que podamos encontrar autoestados de la\(M^{−1}K\) matriz proporcionales a\[e^{i k_{x} x}\]

para cualquier constante\(k_{x}\). Debido a que el sistema tiene invarianza de traducción en la\(y\) dirección, esperamos que podamos encontrar autoestados de la\(M^{−1}K\) matriz proporcionales a\[e^{i k_{y} y}\]

para cualquier constante\(k_{y}\). Al juntar (11.3) y (11.4), esperamos que podamos encontrar estados propios de la\(M^{−1}K\) matriz que tengan la forma\[\psi(x, y)=A e^{i k_{x} x} e^{i k_{y} y}=A e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\]

donde\(\vec{k} \cdot \vec{r}\) está el producto de punto bidimensional\[\vec{k} \cdot \vec{r}=k_{x} x+k_{y} y .\]

En otras palabras, el número de onda se ha convertido en un vector.

Al igual que con el sistema unidimensional, podemos usar (11.5) para determinar la relación de dispersión del sistema infinito. Poniendo en la\(t\) dependencia, tenemos un desplazamiento de la forma\[\psi(x, y, t)=A e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} e^{-i \omega t} .\]

El análisis es precisamente análogo al de la cuerda moldeada unidimensional, con el resultado que\(\omega^{2}\) es simplemente una suma de contribuciones verticales y horizontales, cada una de las cuales se parece a la relación de dispersión para el caso unidimensional:\[\omega^{2}=\frac{4 T_{H}}{m a_{H}} \sin ^{2} \frac{k_{x} a_{H}}{2}+\frac{4 T_{V}}{m a_{V}} \sin ^{2} \frac{k_{y} a_{V}}{2} .\]

Las ecuaciones (11.7) y (11.8) son la solución completa a las ecuaciones de movimiento para la malla infinita de cuentas.

Diferencia entre una y dos dimensiones

11-1

Hasta el momento, nuestro análisis ha sido esencialmente el mismo en dos dimensiones que en una. El siguiente paso, sin embargo, es muy diferente. En el caso unidimensional, donde están los modos normales\(e^{\pm i k x}\), solo hay dos modos con cualquier valor dado de\(\omega^{2}\). Así, no importa cuáles sean las condiciones de contorno, solo tenemos que preocuparnos por superponer dos modos a la vez. Pero en el caso bidimensional, hay un número continuamente infinito de soluciones a (11.8) para cualquiera\(\omega\), porque se puede bajar\(k_{x}\) y compensar subiendo\(k_{y}\). Así, un modo normal del sistema bidimensional finito sin amortiguación (que es solo una solución en la que todas las cuentas oscilan en fase con la misma\(\omega\)) puede ser una combinación lineal de un número infinito de los modos invariantes de traducción espacial simple agradable del sistema infinito.

Bastante seguro, en general, el caso bidimensional es infinitamente más duro. Si Figura\( 11.1\) fuera un sistema con una forma más complicada, no podríamos encontrar una solución analítica. Pero para el caso especial de un marco rectangular, alineado con las cuentas, las condiciones límite no son tan malas, porque tanto los modos, (11.5) como las condiciones de contorno pueden expresarse simplemente en términos de productos de modos normales unidimensionales.

Las condiciones límite para el sistema en la Figura\( 11.1\) son;\[\psi(0, y, t)=\psi\left(L_{H}, y, t\right)=\psi(x, 0, t)=\psi\left(x, L_{V}, t\right)=0 ,\]

donde\[L_{H}=5 a_{H}, \quad L_{V}=4 a_{V} .\]

En el sistema infinito correspondiente, una pieza del cual se muestra en la Figura\( 11.2\), (11.9) implica que las cuentas a lo largo del rectángulo punteado están todas en reposo. Comparando Figura\( 11.1\) y Figura\( 11.2\), se puede ver que esta condición límite captura la física de los muros en la Figura\( 11.1\).

Ahora para encontrar los modos normales del sistema finito en la Figura\( 11.1\), debemos encontrar combinaciones lineales de modos del sistema infinito que satisfagan las condiciones límite, (11.9). Podemos satisfacer (11.9) formando combinaciones lineales de solo cuatro modos del sistema infinito: ¹\[A e^{\pm i k_{x} x} e^{\pm i k_{y} y}\]

donde\[k_{x}=n \pi / L_{H}, \quad k_{y}=n^{\prime} \pi / L_{V} .\]

Entonces podemos tomar las soluciones para ser producto de senos,\ [\ comenzar {reunidos}
\ psi (x, y) =A\ sin\ left (n\ pi x/L_ {H}\ right)\ sin\ left (n^ {\ prime}\ pi y/L_ {V}\ right)\
\ text {for} n=1\ text {a} 4\ text {y} n^ {\ prime} =1\ texto {a} 3.
\ end {reunido}\]

Figura\( 11.2\): Pieza de malla infinita bidimensional con cuentas.

La frecuencia de cada modo viene dada por la relación de dispersión (11.8):\[\omega^{2}=\frac{4 T_{H}}{m a_{H}} \sin ^{2} \frac{n \pi a_{H}}{2 L_{H}}+\frac{4 T_{V}}{m a_{V}} \sin ^{2} \frac{n^{\prime} \pi a_{V}}{2 L_{V}} .\]

Estos modos están animados en el programa 11-1.

La solución de este problema es un ejemplo de una técnica llamada “separación de variables”. En las variables correctas, en este caso,\(x\) y\(y\), el problema se desmorona en problemas unidimensionales. Este truco funciona igual de bien en el caso continuo, siempre y cuando la superficie límite sea rectangular. Si tomamos el límite en el que\(a_{V}\) y\(a_{H}\) son muy pequeños en comparación con las longitudes de onda de interés, podemos expresar (11.8) en términos de cantidades que tienen sentido en el límite continuo, así como en el análisis de la cadena unidimensional continua como el límite de la cuerda moldeada, en el capítulo 6. Supongamos, por simplicidad, que\[a_{V}=a_{H}=a \text { and } T_{V}=T_{H}=T\]

(para que las\(y\) direcciones\(x\) y tengan las mismas propiedades). Las cantidades que caracterizan la superficie en este caso son la densidad de masa superficial,\[\rho_{s}=\frac{m}{a^{2}} ,\]

y la tensión superficial,\[T_{s}=\frac{T}{a} .\]

La tensión superficial es la tracción por unidad de distancia transversal ejercida por la membrana. Cuando estas cantidades permanecen finitas ya que la separación,\(a\), va a cero, (11.8) se convierte\[\omega^{2}=\frac{T_{s}}{\rho_{s}}\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)=\frac{T_{s}}{\rho_{s}}|\vec{k}|^{2} .\]

Un argumento que es precisamente análogo al del caso unidimensional muestra que en este límite,\(\psi(x, y, t)\) satisface la ecuación de onda bidimensional,\[\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \psi(x, y, t)=v^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) \psi(x, y, t)=v^{2} \vec{\nabla}^{2} \psi(x, y, t) .\]

Obsérvese que en este límite, las propiedades especiales de los\(y\) ejes\(x\) y que se manifestaron en el sistema finito han desaparecido por completo de la ecuación del movimiento. Los números de onda\(k_{x}\) y\(k_{y}\) forman un vector bidimensional\(\vec{k}\). El número infinito de soluciones a la relación de dispersión (11.18) son solo las que se obtienen rotando\(\vec{k}\) de todas las formas posibles sin cambiar su longitud. Esto permite resolver para los modos normales en regiones circulares, por ejemplo. Pero no vamos a discutir ahora estas condiciones fronterizas más complicadas. Es claro, sin embargo, que (11.13) es la solución para la región rectangular en el caso continuo, y que la frecuencia correspondiente es\[\omega^{2}=\frac{T_{s}}{\rho_{s}}\left[\left(\frac{n \pi}{L_{H}}\right)^{2}+\left(\frac{n^{\prime} \pi}{L_{V}}\right)^{2}\right] .\]

Ahora porque el sistema es continuo, los enteros\(n\) y\(n^{\prime}\) corren de cero a infinito (aunque no\(n=n^{\prime}\) es interesante), o hasta que la aproximación del continuo se descompone.

Tres dimensiones

La malla con cuentas no se puede extender a tres dimensiones porque no hay dirección transversal. Pero un sistema de masas conectadas por varillas elásticas puede ser tridimensional, y de hecho, este tipo de sistema es un buen modelo de sólido elástico. Este sistema es bastante complicado porque cada masa puede moverse en las tres direcciones. Una versión bidimensional de esto se ilustra en la Figura\( 11.3\). Este sistema es el mismo que Figura\( 11.1\) excepto que las cuerdas han sido reemplazadas por varillas ligeras, elásticas, de manera que el sistema está en equilibrio incluso sin el marco. Ahora nos interesan las oscilaciones de este sistema en el plano del papel. En comparación con la Figura\( 11.1\), este sistema tiene el doble de grados de libertad, ya que cada bloque puede moverse tanto en la\(x\)\(y\) dirección como, mientras que en la Figura\( 11.1\), los bloques se mueven solo

Figura\( 11.3\): Un sólido bidimensional, con masas conectadas por varillas elásticas.

en la\(z\) dirección. Esto significa que no podemos utilizar solos la invarianza de la traducción espacial, ni siquiera para determinar los modos del sistema infinito.

Por cada valor de\(\vec{k}\), habrá cuatro modos en lugar de los dos habituales. Tendríamos que hacer un análisis matricial para ver qué combinaciones de\(x\) y\(y\) movimiento eran en realidad los modos normales. No vamos a hacer esto en general, sino que lo discutiremos brevemente en el límite continuo, para recordarle alguna física que es importante para campos como la geología.

Considera el sistema continuo e infinito que se obtiene tomando los\(a\)'s muy pequeños en la Figura\( 11.3\), con otras cantidades escalando apropiadamente. Considera una ola con número de onda\(\vec{k}\). Los modos normales tendrán la forma\[\vec{A} e^{\pm \vec{k} \cdot \vec{r}} ,\]

para algún vector\(\vec{A}\) (en el caso tridimensional,\(\vec{A}\) es un vector 3, en nuestro ejemplo bidimensional, es un vector 2). Si el sistema es invariante de rotación, entonces no hay dirección escogida por la física excepto la dirección de\(\vec{k}\). Entonces los modos normales deben ser un modo longitudinal o “compresional”\[\vec{A} \propto \vec{k} ,\]

y un modo transversal o “cortante”\[\vec{A} \perp \vec{k} .\]

Cada modo tendrá su propia relación de dispersión característica. En tres dimensiones, habrá dos modos de cizallamiento, porque hay dos direcciones perpendiculares, y tendrán la misma relación de dispersión, porque una se puede girar hacia la otra.

Figura\( 11.4\): Un sistema bidimensional de cuentas y resortes.

Ondas de sonido

En un líquido o un gas, no hay ondas de cizallamiento porque no hay una fuerza restauradora que mantenga el sistema en una forma particular. Los modos de cizallamiento tienen frecuencia cero. Si reemplazáramos las varillas de la Figura\( 11.3\) por resortes no estirados, obtendríamos un sistema con la misma propiedad, que se muestra en la Figura\( 11.4\). Sin el marco, este sistema no sería rígido. Sin embargo, los modos de compresión siguen ahí. Estas son análogas a las ondas sonoras. Para un sistema aproximadamente continuo como el aire, esperamos una relación de dispersión de la forma\[\omega^{2}=v^{2} \vec{k}^{2}\]

donde\(v\) es constante a menos que\(k\) sea demasiado grande. Ya hemos calculado\(v\), en (7.43), considerando oscilaciones unidimensionales. Se llama la velocidad del sonido porque es la velocidad de las ondas sonoras en un sistema infinito o semi-infinito.

Podemos describir los modos normales de una caja rectangular llena de aire en términos de una función\(P(x, y, z)\) que describe la presión del gas en el punto\((x, y, z)\). La presión o densidad de la onda compresional está relacionada con el desplazamiento\(\vec{\psi}(x, y, z)\):\[\vec{\psi} \propto \vec{\nabla} P, \quad P \propto-\vec{\nabla} \cdot \vec{\psi} .\]

Al igual que en el sistema bidimensional descrito anteriormente, podemos utilizar la separación de variables y encontrar una solución que sea producto de funciones de variables individuales. La única diferencia aquí es que las condiciones de contorno son diferentes. Debido a (11.25), que es la afirmación matemática del hecho de que el gas es realmente empujado de regiones de alta presión a regiones de baja presión, el gradiente de presión perpendicular al límite debe desaparecer. El gas en la frontera no tiene adónde ir. Así los modos normales en una caja rectangular,\(0 \leq x \leq X\),\(0 \leq y \leq Y\),\(0 \leq z \leq Z\), tienen la forma\[P(x, y, z)=A \cos \left(n_{x} \pi x / X\right) \cos \left(n_{y} \pi y / Y\right) \cos \left(n_{z} \pi z / Z\right)\]

con frecuencia\[\omega^{2}=v^{2}\left(\left(\frac{n_{x} \pi}{X}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y} \pi}{Y}\right)^{2}+\left(\frac{n_{z} \pi}{Z}\right)^{2}\right) .\]

La solución trivial\(n_{x} = n_{y} = n_{z} = 0\) representa aire estacionario. Si alguno de los\(n^{\prime}\) s es distinto de cero, el modo no es trivial.

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¹ ¡Aquí hay una simetría en el trabajo! Los modos en los que el\(\vec{k}\) vector se alinea a lo largo de\(y\) los ejes\(x\) o son aquellos que se comportan simplemente bajo reflexiones a través del centro del rectángulo.