11.5: Agua

El agua es algo bastante complicado. Moja las cosas. Tiene viscosidad. Forma remolinos y remolinos y tiene movimientos turbulentos no lineales que no podemos esperar entender usando las técnicas que tenemos a nuestra disposición. En esta sección, consideramos un fluido algo idealizado, que llamaremos “agua seca” (después de Feynman) que no tiene nada de esta complicada estructura. Tiene tres características que mantendremos en común con lo real. Tiene densidad de masa. Tiene tensión superficial, y es casi incompresible. Veamos cómo ondea.

Imagina un universo infinito lleno de un líquido incompresible y sin fricciones. Esto nos permitirá ver las consecuencias de la incompresibilidad de una manera sencilla, cualitativa. Considera el análogo de una onda sonora plana en dicho sistema. Es decir, por ejemplo, una onda plana que viaja en la\(x\) dirección (con\(k_{y} = k_{z} = 0\)) con desplazamientos longitudinales en la\(x\) dirección. Si el líquido es verdaderamente incompresible, el\(k_{x}\) debe ser cero para esta onda, ya que cualquier desplazamiento longitudinal debe ir acompañado de compresiones y rarefacciones del medio. Así, para tal onda plana,\(\vec{k} = 0\). ¡No hay ondas planas no triviales en el sistema infinito! En general, no esperamos que todos los componentes del\(k\) vector deban desvanecerse, porque incluso en un líquido incompresible, se permite el desplazamiento en una dirección si va acompañado de un movimiento apropiado en otras direcciones. Pero lo que hemos visto es que no podemos tener un modo que tenga un\(\vec{k}\) vector real. Eso sería una onda plana, que hemos visto no es compatible con la incompresibilidad. En cambio, esperamos que la restricción\(k_{x} = 0\) sea reemplazada por una restricción en la longitud invariante de rotación del\(k\) vector, eso\(\vec{k} \cdot \vec{k}=0\). Si algunos de los componentes del\(\vec{k}\) vector son imaginarios, esto se puede satisfacer para distintos de cero\(\vec{k}\).

Obsérvese que la condición no\(\vec{k} \cdot \vec{k}=0\) es exactamente una relación de dispersión, porque no hace referencia a la frecuencia. Pero es toda la historia para un sistema infinito de fluido incompresible. De hecho, es claro que no hay ondas armónicas en el sistema infinito, porque no hay nada que produzca una fuerza restauradora. Incluso si hay un campo gravitacional, la presión en el líquido simplemente se ajusta para cancelar el efecto de la gravedad. Podemos obtener una relación de dispersión no trivial solo cuando hay una superficie. La relación de dispersión depende entonces de la física de la superficie. Esto parecería violar nuestro principio general de que la relación de dispersión es propiedad del sistema infinito. Lo que está pasando es esto. La relación,\(\vec{k} \cdot \vec{k}=0\) es realmente la única relación de dispersión que tiene algún sentido para el sistema infinito tridimensional. Cuando introducimos una superficie, hemos roto la invarianza de traslación en la dirección normal a la superficie. Esto nos permite obtener una relación de dispersión no trivial para el sistema bidimensional paralelo a la superficie.

Matemáticas de las Ondas de Agua

Ahora intentemos que estas consideraciones sean cuantitativas. Como es habitual, etiquetaremos nuestro fluido en términos de las posiciones de equilibrio de sus partes. Luego llame al desplazamiento del equilibrio del fluido que está en el punto\(\vec{r}\) en equilibrio\[\epsilon \vec{\psi}(\vec{r}, t)\]

para algunos pequeños\(\epsilon\). Esto significa que la posición real del agua es ⁶\[\vec{R}(\vec{r}, t)=\vec{r}+\epsilon \vec{\psi}(\vec{r}, t) .\]

Podemos considerar (11.109) como una especie de cambio de coordenadas. Nos mapea desde las coordenadas de equilibrio (una etiqueta bastante arbitraria porque el agua es libre de fluir) hasta las coordenadas físicas que nos indican dónde está realmente el agua. Si el agua es incompresible, lo cual es una aproximación bastante buena, entonces un elemento de pequeño volumen debería tener el mismo volumen en equilibrio y en las coordenadas físicas. \[d R_{x} d R_{y} d R_{z}=d x d y d z .\]

Este será el caso si el determinante de la matriz jacobiana es igual a 1:\ [\ operatorname {det}\ left (\ begin {array} {ccc}
\ frac {\ parcial R_ {x}} {\ parcial x} &\ frac {\ parcial R_ {x}} {\ parcial y} &\ frac {\ parcial R_ {x}} {\ parcial z}\
\ frac ac {\ parcial R_ {y}} {\ parcial x} &\ frac {\ parcial R_ {y}} {\ parcial y} &\ frac {\ parcial R_ {y}} {\ z parcial}\
\ frac {\ parcial R_ {z}} {\ parcial x} &\ frac {\ parcial R_ {z}} {\ parcial y} &\ frac {\ parcial R_ {z}} {\ z parcial}
\ final {matriz}\ derecha = 1).\]

Porque\(\epsilon\) es pequeño, podemos expandir (11.111) al orden más bajo en\(\epsilon\),\ [\ begin {reunió}
=\ operatorname {det}\ left (\ begin {array} {ccc}
1+\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {x}} {\ parcial x} &\ epsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {x}} {\ parcial} y\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ { x}} {\ z parcial}\\
\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {y}} {\ parcial x} & 1+\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {y}} {\ parcial y} &\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {y}} {\ parcial z}\
\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {z}} {\ parcial x} &\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {z}} {\ parcial y} & 1+\ épsilon\ frac {\ parcial\ psi_ {z}} {\ z parcial}
\ end {array}\ derecha)\\
=1+\ épsilon\ vec {\ nabla}\ cdot\ vec {\ psi} +\ mathcal {O}\ izquierda (\ épsilon^ {2}\ derecha).
\ end {reunido}\]

Así\[\vec{\nabla} \cdot \vec{\psi}=0 .\]

(11.113) es muy razonable. Es la afirmación de que el flujo de desplazamiento hacia o fuera de cualquier región se desvanece. ⁷ Esto es lo que esperábamos de nuestra discusión cualitativa.

Para ver qué significa esto para las olas, supongamos también que no hay remolinos. El enunciado matemático de esto es\[\vec{\nabla} \times \vec{\psi}=0 .\]

Si no asumimos (11.114), la conservación del momento angular se vuelve importante y la vida se vuelve muy complicada. Tendrás que esperar cursos de dinámica de fluidos para conocer más sobre ella. Con la suposición simplificadora, (11.114), el desplazamiento puede escribirse como el gradiente de una función escalar\(\chi\),\[\epsilon \vec{\psi}=\epsilon \nabla \chi .\]

Esto simplifica enormemente nuestra vida, porque ahora podemos lidiar con la cantidad escalar,\(\chi\). La invarianza de la traducción espacial nos dice que podemos encontrar modos de la forma\[\chi=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} ,\]

lo que da un desplazamiento de la forma\[\epsilon \vec{\psi}=i \epsilon \vec{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} .\]

La condición, (11.113) se convierte entonces\[\vec{k} \cdot \vec{k}=0 ,\]

como se anticipó en nuestra discusión cualitativa al inicio de la sección.

Profundidad

11-3
Consideremos ahora las olas en un “océano” de profundidad\(L\), ignorando las fuerzas de fricción, los remolinos y las no linealidades. Vamos a restringir aún más nuestra atención a una situación bidimensional. Dejar\(y\) ser la dirección vertical, y considerar las olas de agua en la\(x\) dirección. Es decir, vamos a tomar\(k_{x}\) reales, porque nos interesa la propagación de olas en la\(x\) dirección, y\(k_{y}\) puro imaginario con la misma magnitud, para que (11.118) quede satisfecho. Entonces asumimos que nada depende de la otra coordenada,\(z\). Habiendo simplificado las cosas hasta aquí, también podemos suponer que nuestro océano es una caja rectangular. Entonces los modos de interés del sistema infinito parecen\[\chi_{\infty}(x, y, t)=e^{\pm i k x \pm k y-i \omega t} .\]

Si el océano tiene un fondo en\(y = 0\), entonces el desplazamiento vertical debe desaparecer en\(y = 0\). Entonces (11.115) implica que debemos combinar modos del sistema infinito para obtener una\(\chi\) cuya\(y\) derivada se desvanece en\(y = 0\), para obtener\[\chi(x, y, t) \propto e^{\pm i k x-i \omega t} \cosh k y .\]

donde\(\cosh\) está el “coseno hiperbólico”. definido por\[\cosh x \equiv \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .\]

Luego de (11.115), obtenemos\ [\ comenzar {reunido}
\ psi_ {x} (x, y, t) =\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial x}\ chi (x, y, t) =\ pm i e^ {\ pm i k x-i\ omega t}\ cosh k y. \
\ psi_ {y} (x, y, l) =\ frac {\ parcial} {\ parcial y}\ chi (x, y, l) =e^ {\ pm i k x-i\ omega t}\ sinh k y.
\ end {reunidos}

Antes de ir más lejos, tenga en cuenta que podríamos ampliar estas consideraciones agregando una\(z\) coordenada. Entonces (11.120) se convertiría en\[\chi(x, y, t) \propto e^{\left(\pm i k_{x} x \pm i k_{z} z\right)-i \omega t} \cosh k y\]

donde\[k=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{z}^{2}} .\]

Estos son los modos de onda bidimensionales del océano infinito de profundidad\(L\). La\(y\) dependencia se fija completamente por la condición límite en la parte inferior y la condición\(\vec{k} \cdot \vec{k}=0\). La única dependencia interesante, desde el punto de vista de la invarianza de la traducción espacial, es la dependencia de\(x\) y\(z\).

Ahora, volvamos al océano rectangular, y a los modos\(z\) -independientes, (11.122). Si nuestro océano tiene lados en\(x = 0\) y\(x = X\), debemos elegir combinaciones lineales de los modos, (11.122), de tal manera que el\(x\) desplazamiento se desvanezca a los lados. Podemos hacer esto\(x = 0\) por formando las combinaciones\ [\ begin {aligned}
&\ psi_ {x} (x, y, t) =-\ sin k x\ cosh k y\ cos\ omega t,\\
&\ psi_ {y} (x, y, t) =\ cos k x\ sinh k y\ cos\ omega t.
\ end {alineado}\]

Entonces si\[k=\frac{n \pi}{X} ,\]

la condición límite at también\(x = X\) se satisface.

Figura\( 11.22\): El movimiento de un fluido incompresible en una ola.

Ahora conocemos las matemáticas del desplazamiento del agua seca. Antes de continuar discutiendo la relación de dispersión, hagamos una pausa para considerar cómo es esto en realidad. Imagínese que ponemos en equilibrio una rejilla rectangular regular de puntos en el agua. Después en Figura\( 11.22\), mostramos cómo se ve la grilla en el modo, (11.125) con\(n = 1\).

Cada uno de los rectángulos pequeños en (11.22) era un cuadrado en posición de equilibrio (cuando\(\psi=0\)). Observe la forma en que funciona la incompresibilidad. Cuando se aprieta el agua en una dirección, se estira en la otra. Esto se puede ver en movimiento en el programa 11-3.

Figura\( 11.23\): La superficie de una ola de agua, con desplazamiento horizontal suprimido.

Habiendo mirado esto, ahora podemos olvidarlo por un tiempo, y concentrarnos solo en la superficie. Eso es lo que importa para la relación de dispersión. Para facilitar la presentación en los diagramas a continuación, exageraremos el desplazamiento en\(y\) dirección vertical y nos olvidaremos del desplazamiento de la superficie en la dirección x (que de todos modos no importará). Entonces la ola se parece a la imagen de la Figura\( 11.23\). Utilizaremos argumentos energéticos para obtener la relación de dispersión. Hay tres contribuciones a la energía total de la onda estacionaria, (11.125): energía potencial gravitacional, energía almacenada en tensión superficial y energía cinética. Considerémoslos a su vez.

Figura\( 11.24\): El agua se retira del rectángulo en\(X\) −\(x\) y se eleva al rectángulo en\(x\).

Potencial gravitacional

En el diagrama de la Figura\( 11.24\), se puede ver que el efecto general de los desplazamientos en el modo (11.125) es tomar un trozo del agua de\(X\) −\(x\), elevarlo por\(\epsilon \psi_{y}(x, L, t)\) (el desplazamiento vertical de la superficie), y moverlo a\(x\). El volumen de este trozo es\(W d x \in \psi_{y}(x, L, t)\) donde\(dx\) está la longitud del trozo y\(W\) es el ancho en la\(z\) dirección (hacia el papel). Así el potencial gravitacional total es\ [\ begin {alineado}
V_ {\ text {grav}} =\ rho g &\ int d V\ Delta h=\ rho g W\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2 k}} d x\ izquierda|\ epsilon\ psi_ {y} (x, L, t)\ derecha|^ {2} +\ mathcal {O}\ izquierda (\ épsilon^ {3}\ derecha)\\
=\ rho g W\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2 k}} d x\ épsilon^ {2}\ cos ^ {2} k x\ sinh ^ {2} k L\ cos ^ {2}\ omega t+\ cdots\\
\ quad=\ frac {\ pi} {4 k}\ rho g W\ épsilon^ {2}\ sinh ^ {2} k L\ cos ^ {2} omega\ t+\ cdots.
\ end {alineado}\]

Tensión superficial

La energía almacenada en la tensión superficial es\(W\) multiplicada por la diferencia entre la longitud de la superficie y la longitud de equilibrio (\(X\)). Esto requiere que seamos un poco cuidadosos con la posición de la superficie, volviendo a (11.109). La posición de la superficie es\[R_{x}(x, t)=x+\epsilon \psi_{x}(x, L, t), \quad R_{y}(x, t)=\epsilon \psi_{y}(x, L, t) .\]

La longitud es entonces\[\int_{0}^{X} d x \sqrt{\frac{\partial R_{x}}{\partial x}^{2}+\frac{\partial R_{y}^{2}}{\partial x}} .\]

Pero\[\frac{\partial R_{x}}{\partial x}=1+\epsilon \frac{\partial}{\partial x} \psi_{x}, \quad \frac{\partial R_{y}}{\partial x}=\epsilon \frac{\partial}{\partial x} \psi_{y} .\]

Así\ [\ begin {alineado}
& V_ {\ texto {superficie}} =T\ veces\ izquierda (\ texto {Área} -\ texto {Área} _ {0}\ derecha)\\
=& T W\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {k}} d x\ izquierda (\ sqrt {\ izquierda (1+\ épsilon\ parcial\ psi_ {x}/\ x parcial\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (\ épsilon\ parcial\ psi_ {y}/\ x parcial\ derecha) ^ {2}} -1\ derecha) \\
=& T W\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {k}} d x\ izquierda (\ épsilon\ parcial\ psi_ {x}/\ parcial x+\ frac {1} {2}\ izquierda (\ épsilon\ parcial\ psi_ {y}/\ x parcial\ derecha) ^ {2} +\ mathcal {O}\ izquierda (épsilon\ parcial\ psi_ {y}/\ parcial x\ derecha) ^ {2} +\ mathcal {O}\ silón^ {3}\ derecha)\ derecha).
\ end {alineado}\]

El\(\epsilon\) término de pedido en (11.131) se cancela cuando se integra de\(x\), así que\ [\ begin {reunió}
=T W\ épsilon^ {2}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {k}} d x\ frac {1} {2} k^ {2}\ sin ^ {2} k x\ sinh ^ {2} k L\ cos ^ {2}\ tomega +\ cdots\
\\ quad=\ frac {\ pi} {4 k} T W\ épsilon^ {2} k^ {2}\ sinh ^ {2} k L \ cos ^ {2}\ omega t+\ cdots.
\ end {reunido}\]

Energía cinética

La energía cinética se obtiene integrando\(\frac{1}{2} m v^{2}\) sobre todo el volumen del líquido:\ [\ begin {recogido}
K E=\ frac {1} {2}\ rho\ int d V\ vec {v} ^ {2}\\
=\ frac {1} {2}\ rho W\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {k}} d x\ int_ {0} ^ {L} d y\ izquierda (\ izquierda (\ épsilon\ parcial\ psi_ {x}/\ t parcial\ derecha) ^ { 2} +\ izquierda (\ épsilon\ parcial\ psi_ {y}/\ parcial t\ derecha) ^ {2}\ derecha)
\ final {reunidos}\]

\ [\ begin {alineado}
&=\ frac {1} {2}\ rho W\ épsilon^ {2}\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {k}} d x\ int_ {0} ^ {L} d y\ omega^ {2}\ sin ^ {2}\ omega t\
&\ cdot\ izquierda (\ cos ^ {2} k x\ sinh ^ {2} k y+\ sin ^ {2} k x\ cosh ^ {2} k y\ derecha)
\ fin {alineado}\]

\ [\ comenzar {reunido}
=\ frac {\ pi} {4 k}\ rho W\ épsilon^ {2}\ int_ {0} ^ {L} d y\ omega^ {2}\ sin ^ {2}\ omega t\ izquierda (\ sinh ^ {2} k y+\ cosh ^ {2} k y\ derecha)\\
=\ frac {\ pi} {4 k}\ rho W\ épsilon^ {2}\ int_ {0} ^ {L} d y\ omega^ {2}\ sin ^ {2}\ omega t\ cosh 2 k y\\
=\ frac {\ pi} {8 k^ {2}}\ rho W\ épsilon^ {2}\ omega^ {2}\ sinh 2 k L\ sin ^ {2}\ omega t.
\ end {reunido}\]

Relación de dispersión

El total de (11.127) - (11.135) es\ [\ begin {reunió}
V_ {\ text {grav}} +V_ {\ text {superficie}} +K E=\ frac {\ pi} {4 k}\ rho g W\ épsilon^ {2}\ sinh ^ {2} k L\ cos ^ {2}\ omega t\\
+\ frac\ pi} {4 k} T W\ épsilon^ {2} k^ {2}\ sinh ^ {2} k L\ cos ^ {2}\ omega t+\ frac {\ pi} {8 k^ {2}}\ rho W\ omega^ {2}\ épsilon^ {2}\ sinh 2 k L\ sin ^ {2}\ omega t+\ cdots.
\ end {reunido}\]

Esto debe ser constante en el tiempo, lo que implica\ [\ begin {alineado}
\ omega^ {2} &=\ frac {2\ sinh ^ {2} k L\ left (g k+\ frac {T} {\ rho} k^ {3}\ right)} {\ sinh 2 k L}\\
&=\ left (g k+\ frac {T} {\ rho} k^ {3}\ derecha)\ tanh k L
\ final {alineado}\]

donde\(\tanh\) está la “tangente hiperbólica”, definida por\[\tanh x \equiv \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} .\]

Tenga en cuenta que en el límite gemelo de longitud de onda larga y aguas poco profundas, las olas de agua se vuelven no dispersivas — para\(k L \ll 1\), y\(\rho g k \gg T k^{3}\) —\(\tanh k L\) →\(kL\)\[\omega^{2} \approx g L k^{2} .\]

Gravedad versus tensión superficial

La relación de dispersión, (11.139), implica una competencia entre la gravedad y la tensión superficial. Para longitudes de onda largas la gravedad domina y el\(gk\) término es lo más importante. Para longitudes de onda cortas, la tensión superficial domina y el\(\frac{T k^{3}}{\rho}\) término es más importante. El cruce ocurre para números de onda de orden\[k \approx k_{0}=\sqrt{\frac{\rho g}{T}} .\]

La longitud de onda cruzada es en realidad una distancia familiar. Hay un proceso mucho más familiar que implica una competencia similar entre la gravedad y la tensión superficial. Considera una gota de agua sobre una superficie de baja fricción, como una sartén de teflón. Una gota muy pequeña es casi esférica. Pero a medida que aumenta el tamaño de la caída, comienza a aplanarse. Entonces cuando la caída aumenta por encima de un tamaño crítico, la altura de la caída no aumenta. Se extiende con una altura fija\(h\), como se muestra en sección transversal en la Figura\( 11.25\).

Figura\( 11.25\): La sección transversal de una gotita de agua sobre una superficie sin fricción.

Al igual que con la relación de dispersión, podemos entender lo que está pasando considerando la energía. La energía total de la gota es una suma de la energía potencial gravitacional y la energía debida a la tensión superficial. \[V_{\text {grav }} \approx \frac{1}{2} \rho g h v ,\]

donde\(v\) esta el volumen de la gota y\[V_{\text {surface }} \approx \frac{T v}{h} .\]

El volumen es fijo, por lo que el valor de equilibrio de\(h\) minimiza la suma\[V_{\text {grav }}+V_{\text {surface }} \approx \frac{1}{2} \rho g h v+\frac{T v}{h} .\]

El mínimo ocurre para\[T=\frac{1}{2} \rho g h^{2} .\]

La tensión superficial medida del agua es\(T \approx 72 \space \mathrm{dynes} / \mathrm{cm}\). Esto da la altura familiar de una gota de agua,\(h \approx 0.4 \mathrm{~cm}\). Esta altura está relacionada con\(k_{0}\) por\[k_{0}=\sqrt{\frac{\rho g}{T}} \approx \frac{\sqrt{2}}{h} .\]

_________________________
⁶ Aquí podemos tomar\(\psi\) para ser adimensional y dejar que el parámetro,\(\epsilon\), sea un pequeño desplazamiento.
⁷ Obsérvese, sin embargo\(\epsilon\), que para grandes, la incompresibilidad es la restricción no lineal, (11.111).