11.4: Guías de onda

Genéricamente, una “guía de ondas” es un dispositivo que obliga a una onda viajera a propagarse solo a donde se quiere que vaya. Por lo general, una guía de ondas es algún tipo de tubo que permite que la perturbación de onda se propague en una dirección mientras la limita en las otras direcciones. En esta sección, discutiremos el caso de las guías de onda recta con secciones transversales simples y uniformes. La física realmente interesante ocurre cuando el ancho de la guía de ondas no es mucho mayor que la longitud de onda de la onda. Entonces, como veremos, la física de la guía de ondas tiene un efecto dramático en la propagación de la onda.

La situación más sencilla de discutir es el caso de oscilaciones transversales de una membrana en forma de tira infinita, como se muestra en la Figura\( 11.20\). Considere una membrana con superficie

Figura\( 11.20\): Una sección de una tira infinita de membrana estirada que actúa como guía de ondas.

densidad de masa\(\rho_{s}\) y tensión superficial\(T_{s}\), estirada en una franja infinita en el\(x\) -\(y\) plano entre\(y = 0\) y\(y = \ell\) y desde\(x = -\infty\) hasta\(\infty\). Los bordes, en\(y = 0\) y\(y = \ell\) se mantienen fijos en el plano. Nos interesan las oscilaciones del interior de la franja hacia arriba y hacia abajo fuera del plano.

Este es un trabajo para la separación de variables. Podemos buscar modos de este sistema que sean productos de una función de\(x\) y una función de\(y\). En particular, podemos satisfacer las condiciones límite en\(y = 0\) combinando dos modos del sistema infinito,\[e^{i k_{x} x} e^{i k_{y} y}, \text { and } e^{i k_{x} x} e^{-i k_{y} y}\]

en\[\sin \left(k_{y} y\right) e^{i k_{x} x} .\]

Ahora bien, esto satisface la condición de límite en\(y = \ell\) si\[k_{y}=\frac{n \pi}{\ell} \text { for } n=1 \text { to } \infty .\]

Así los modos se ven así:\[\psi_{n+}(x, y, t)=A \sin \frac{n \pi y}{\ell} e^{i\left(k_{x} x-\omega t\right)} ,\]

y\[\psi_{n-}(x, y, t)=A \sin \frac{n \pi y}{\ell} e^{i\left(-k_{x} x-\omega t\right)} .\]

Por cada valor de\(n\), ¡estas parecen olas viajando en la\(\text { 土x }\) dirección!

La relación de dispersión para la membrana viene dada por (11.18). Pero los modos,\(\psi_{n \pm}\), tienen\(\left|k_{y}\right|=\frac{n \pi}{\ell}\). Así, la relación de dispersión para las olas viajeras, (11.99) y (11.100) es\[\omega^{2}=v^{2} k_{x}^{2}+\omega_{n}^{2} ,\]

donde\[v=\sqrt{\frac{T_{s}}{\rho_{s}}}\]

y\[\omega_{n}-\frac{n \pi v}{\ell} .\]

Una cosa interesante de (11.101) es que la relación de dispersión tiene un corte de baja frecuencia del que depende\(n\). Para cualquier dado\(\omega\), los únicos modos que realmente se propagan son el número finito de modos con\[n<\frac{\omega \ell}{\pi v} .\]

Por ejemplo, para\(\omega \leq \pi v / \ell\), no hay olas viajeras. Para\(\pi v / \ell<\omega \leq 2 \pi v / \ell), there is only one, corresponding to \(n = 1\), etc.

Los modos satisfactorios (11.104) tienen una interpretación física simple. Se les puede pensar como las ondas planas, (11.96), del sistema infinito, rebotando de un lado a otro entre los bordes fijos,\(y = 0\) y\(y = \ell\). El requisito, (11.98), sobre los valores permitidos de\(k_{y}\) surge porque para otros valores de\(k_{y}\), las ondas reflejadas salen de fase, dando interferencia destructiva. Se podría esperar que una onda en zig-zag de este tipo se propague en la\(x\) dirección con una velocidad menor que la velocidad de fase\(v\),, de las olas en el sistema infinito por un factor de\[\frac{k_{x}}{\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}=\frac{k_{x}}{\sqrt{k_{x}^{2}+\left(\omega_{n} / v\right)^{2}}} ,\]

porque tiene que ir mucho más lejos ya que rebota de un lado a otro para moverse una distancia dada adentro\(x\), como se ilustra en la Figura\( 11.21\). De hecho, la velocidad de fase de las ondas en zig-zag para fijo

Figura\( 11.21\): Onda en zig-zag en la guía de ondas.

\(n\),\(\omega / k_{x}\), es en realidad mayor que\(v\) por el factor, (11.105), en lugar de menor,\[v_{n \phi}=\frac{\omega}{k_{x}}=v \frac{\sqrt{k_{x}^{2}+\left(\omega_{n} / v\right)^{2}}}{k_{x}} .\]

Sin embargo, la velocidad de grupo\(\partial \omega / \partial k_{x}\), de las ondas en zig-zag, la velocidad con la que realmente puedes enviar señales, es menor solo por el factor esperado,\[v_{g n}=\frac{\partial \omega}{\partial k_{x}}=v \frac{k_{x}}{\sqrt{k_{x}^{2}+\left(\omega_{n} / v\right)^{2}}} .\]

Para las ondas de luz, podemos hacer una guía de ondas haciendo un tubo de algún material conductor, de manera que el campo eléctrico sea distinto de cero solo dentro del tubo. Sin embargo, en este caso, los detalles de las condiciones de contorno en los bordes dependen de la dirección del campo eléctrico. Volveremos a una pregunta relacionada en el próximo capítulo.