13.2: Vigas

Hacer una Viga

Considera un sistema con una barrera opaca en el\(z = 0\) plano. Si está iluminada por una onda plana que viaja en la\(z\) dirección +, la barrera absorbe la onda por completo. Ahora corta un agujero en la barrera. Se podría pensar que esto produciría un haz de luz viajando en la dirección de la onda plana inicial. Pero no es tan sencillo. Este es en realidad el mismo problema que consideramos en la sección anterior, (13.7) - (13.14), con la función,\(f(x, y)\), dada por\[f(x, y) e^{-i \omega t}\]

donde\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {dentro de la apertura}\\
0\ text {fuera de la apertura}
\ end {array}\ right.\]

De hecho, será útil pensar en el problema más general, porque la función, (13.16), es discontinua. Como veremos más adelante, esto lleva a fenómenos de difracción más complicados que los que vemos con una función suave. En particular, asumiremos que\(f(x, y)\) es significantemente diferente de cero solo para x e y pequeños y va a cero para grandes\(x\) y\(y\). Entonces podemos hablar de la posición de la “abertura” que produce la viga, cerca\(x = y = 0\).

Podemos pensar en este problema como un problema de oscilación forzada. Es mucho más fácil analizar la física si ignoramos la polarización, por lo que discutiremos las ondas escalares. Por ejemplo, podríamos considerar las ondas transversales en una membrana flexible o las ondas de presión en un gas. Equivalentemente, podríamos considerar ondas de luz que dependen sólo de dos dimensiones,\(x\) y\(z\), y polarizadas en la\(y\) dirección. No nos preocuparemos demasiado por estas sutilezas, porque como de costumbre, las propiedades básicas de los fenómenos de onda estarán determinadas por propiedades de invarianza de traducción que son independientes de lo que es ¡ondeando!

Advertencias

Vale la pena señalar que existen otros enfoques para el problema de la difracción además de los que discutimos aquí. La configuración física que estamos considerando es ligeramente diferente de la configuración estándar de la difracción Huygens-Fresnel-Kirchhoff, porque estamos estudiando un problema diferente. En la difracción de Huygens-Fresnel-Kirchhoff, ² se considera la difracción de una onda plana a partir de un objeto finito, mientras que, nuestra pantalla opaca es infinita en el\(y\) plano\(x\) -. En el caso Huygens-Fresnel, la condición límite apropiada es que no hay ondas esféricas entrantes que regresen desde el infinito hacia el objeto que está haciendo la difracción. La difracción produce únicamente ondas esféricas salientes. No discutiremos esta configuración física alternativa en detalle porque conduce más profundamente a las funciones de Bessel ³ de lo que nosotros (y probablemente también el lector) estamos ansiosos por ir. La ventaja de nuestra formulación es que podemos configurarla en su totalidad con las soluciones de onda plana que ya hemos discutido. Simplemente indicaremos las diferencias entre nuestro tratamiento y la difracción Huygens-Fresnel. Para la difracción en la región delantera, a z grande y no muy lejos del eje z, la difracción es la misma en los dos casos.

El lector también debe notar que no hemos explicado exactamente cómo la oscilación, (13.15),\[f(x, y) e^{-i \omega t}\]

en el\(z = 0\) avión se produce. Esto no es de ninguna manera un problema trivial, pero no lo discutiremos a detalle. Nos estamos concentrando en la física para\(z > 0\). Esto va a ser bastante interesante.

Límite en\(\infty\)

Para determinar la forma de las olas en la región\(z > 0\) (más allá de la barrera), necesitamos condiciones límite tanto en\(z = 0\) como en\(z=\infty\). At\(z = 0\), hay una amplitud oscilante dada por (13.15). ⁴ En\(z=\infty\), debemos imponer la condición de que no haya olas que viajen en la\(z\) dirección − (de vuelta hacia la barrera) y que las sodwluciones se comporten bien\(\infty\).

Los modos normales tienen la forma\[e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t}\]

donde\(\vec{k}\) satisface la relación de dispersión\[\omega^{2}=v^{2} \vec{k}^{2}.\]

Así dados dos componentes de\(\vec{k}\), podemos encontrar el tercero usando (13.18). Así podemos escribir la solución como\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

donde\[k_{z}=\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}.\]

Tenga en cuenta que (13.20) no determina el signo de\(k_{2}\). Pero la condición límite en\(\infty\) hace. Si\(k_{z}\) es real, debe ser positivo para poder describir una ola que viaja hacia la derecha, lejos de la barrera. Si\(k_{z}\) es complejo, su parte imaginaria debe ser positiva, de lo contrario\(e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}\) explotaría como\(z\) va a\(\infty\). Por lo tanto,\[\text { if } \operatorname{Im} k_{z}=0, \text { then } \operatorname{Re} k_{z}>0 \text { ; otherwise } \operatorname{Im} k_{z}>0 \text { . }\]

Se discutió la significancia física de la condición límite, (13.21), en nuestra discusión sobre la tunelización a partir de la página 274. Hay física real en la condición límite en el infinito. Por ejemplo, considere la relación entre este análisis y la discusión de longitudes de ruta en la sección anterior. En el lenguaje del último capítulo, no podemos describir los efectos de las olas con imaginarios\(k_{z}\). Sin embargo, la condición límite, (13.21), asegura que estos componentes de la ola irán a cero rápidamente para grandes\(z\).

Límite en\(z=0\)

Todo lo que tenemos que hacer para determinar la forma de la ola\(z > 0\) es encontrar\(C(k_{x}, k_{y})\). Para ello, implementamos la condición de límite en\(z = 0\) usando (13.19)\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

y ajuste\[\left.\psi(\vec{r}, t)\right|_{z=0}=f(x, y) e^{-i \omega t}\]

para llegar (13.15). Sacando el factor común de\(e^{-i \omega t}\), esta condición es\[f(x, y)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)}.\]

Si\(f(x, y)\) se comporta bien al infinito (como ciertamente lo es si, como hemos asumido, va a cero para grandes\(x\) y\(y\)), entonces solo real\(k_{x}\) y\(k_{y}\) puede contribuir en (13.23). Un complejo\(k_{x}\) produciría una contribución que explota ya sea para\(x \rightarrow+\infty\) o\(x \rightarrow-\infty\). Así las integrales en (13.23) atropellan k real de −\(\infty\) a\(\infty\).

(13.23) es solo una transformada bidimensional de Fourier. Usando argumentos análogos a los que usamos en nuestra discusión de señales, podemos invertirlos para encontrarlos\(C\). \[C\left(k_{x}, k_{y}\right)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int d x d y f(x, y) e^{-i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)}\]

Insertar (13.24) en (13.19) con (13.20) y (13.21)\[k_{z}=\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}\]

\[\text { if } \operatorname{Im} k_{z}=0 \text { , then } \operatorname{Re} k_{z}>0 \text { ; otherwise } \operatorname{Im} k_{z}>0\]

da el resultado para la ola,\(\psi(\vec{r}, t)\), para\(z > 0\). Este resultado es realmente muy general. Se sostiene para cualquier razonable\(f(x, y)\).

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² Por ejemplo, véase Hecht, capítulo 10.
³ Ver la discusión comenzando en la página 314.
⁴ Obsérvese que en una situación física real, las condiciones límite suelen ser mucho más complicadas que (13.16), porque la física de la frontera importa. Sin embargo, esto a menudo significa que la difracción en una situación real es aún mayor.