13.3: Z Pequeño y Grande

Pero, ¿qué hacemos con él? La integral in (13.19) es demasiado complicada de hacer analíticamente. A continuación, daremos algunos ejemplos de cómo funciona haciendo la integral numéricamente. Sin embargo, para los pequeños\(z\) y para los grandes\(z\), la integral se simplifica de diferentes maneras.

Pequeño\(z\)

Por suficientemente pequeño\(z\), esperaríamos por motivos físicos que realmente hayamos producido un haz y proyectado una imagen de la función,\(f(x, y)\). Para ver esto explícitamente, usaremos el hecho de que para un particular (bien comportado)\(f(x, y)\), la transformada de Fourier\(C(k_{x}, k_{y})\) es una función que va a cero para\[k \equiv \sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}} \gg 1 / L\]

para algunos\(L\) mucho más grandes que la longitud de onda. La distancia\(L\) está determinada por la suavidad de\(f(x, y)\). Por lo general,\(L\) es el tamaño de la característica importante más pequeña en\(f(x, y)\), la distancia más pequeña sobre la cual\(f(x, y)\) cambia apreciablemente. Esto lo vimos en nuestra discusión sobre las transformadas de Fourier en relación con las señales en el Capítulo 10. A continuación veremos más ejemplos. Podemos expandirnos\(k_{z}z\) en el exponencial en una expansión Taylor,\ [\ begin {aligned}
&k_ {z} z=z\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}\\
&=\ frac {z\ omega} {v}\ sqrt {1-\ frac {v^ 2}\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)} {\ omega^ {2}}}\\
&\ approx\ frac {z\ omega} {v} -\ frac {z v\ izquierda (k_ {x} ^ {2} +k_ {y} ^ {2}\ derecha)} {2\ omega}
\ final {alineado}\]

Debido a (13.25), el mayor valor de lo\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\) que necesitamos en la integral, (13.19)\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

es de orden\(1/L\). Para valores mucho mayores, el integrando es cero. Así, el mayor valor posible del segundo término en la expansión (13.26) que importa en la integral, (13.19) es del orden de\[\frac{z v}{2 \omega L^{2}}.\]

Por lo tanto, si\(L\) es finito y\(z\) es pequeño\(\left(\ll \omega L^{2} / v\right)\), el segundo término es pequeño y sólo podemos conservar el primer término,\(z \omega / v\). Entonces poniendo esto de nuevo en la integral, (13.19), tenemos\ [\ start {reunido}
\ psi (\ vec {r}, t) =\ int d k_ {x} d k_ {y} C\ left (k_ {x}, k_ {y}\ right) e^ {i\ vec {k}\ cdot\ vec {r} -i\ omega t}\
\ aprox\ int d k_ {x} d k_ {y} C\ izquierda (k_ {x}, k_ {y}\ derecha) e^ {i\ izquierda (k_ {x} x+k_ {y} y+z\ omega/v-\ omega t\ derecha)}\\
\ aprox\ int d k_ {x} d k_ {y} C\ izquierda (k_ {x}, k_ {y}\ derecha) e^ {i\ izquierda (k_ {x} x+k_ {y} y\ derecha)} e^ {i (z\ omega/v- omega\ t)}\ f aprox (x, y) e^ {i\ omega (z-v t)/v}
\ final {reunido}\]

Esto es justo lo que esperamos: un haz con la forma de la función original, que se propaga en la\(z\) dirección con la velocidad\(v\).

El resultado (13.28) comienza a descomponerse cuando el siguiente mandato de la serie Taylor, (13.26), adquiere importancia. Ahí es cuando\[\frac{z v\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\right)}{\omega} \approx 1\]

Por lo tanto\[z \approx \frac{\omega L^{2}}{v}=\frac{2 \pi L^{2}}{\lambda}\]

marca la transición de un haz simple al inicio de importantes efectos de difracción.

Si\(L = 0\), que es la situación en el ejemplo de una sola hendidura de ancho\(2a\), que analizaremos en detalle más adelante, los importantes efectos de difracción comienzan inmediatamente porque la hendidura tiene bordes afilados. Sin embargo, el haz mantiene cierta apariencia de su tamaño original hasta\(z \approx a^{2} / \lambda\).

Para z mayor que\(\omega L^{2} / v\), la\(k_{x}\) y la\(k_{y}\) dependencia del\(e^{i k_{z} z}\) factor no puede ser ignorada. En general, la evaluación de la integral, (13.19), es muy dura. Sin embargo, para muy grandes\(z, z \gg L\), podemos usar un argumento físico para encontrar el resultado de la integral, (13.19).

Grande\(z\)

Supongamos que estás muy lejos, en algún momento\(\vec{R}=(X, Y, Z)\),\[(x, y, z)=(X, Y, Z) \text { for } Z \gg \omega L^{2} / v.\]

Entonces no se pueden ver los detalles de la forma de la abertura u otros detalles de\(f(x, y)\), solo su posición. La ola que detectes en algún punto lejano debe haber venido de la abertura y si estás lo suficientemente lejos, es casi una onda plana. Esto se llama “Fraunhofer” o difracción de “campo lejano”. Si no se satisface esta condición, el problema se llama “Fresnel” o difracción de “campo cercano”. Para que la luz llegue realmente a tu ojo en la situación de campo lejano, el vector de propagación debe apuntar desde la apertura hacia ti. La situación se representa en el diagrama de la Figura\( 13.3\). En la región de campo cercano, la dispersión debida a la difracción es del mismo orden que el tamaño de la abertura. Para mucho más grandes\(Z\), en la región de campo lejano, el\(\vec{k}\) vector debe apuntar de nuevo a la apertura.

Así, la única contribución a la integral, (13.19),\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

que cuenta es que proporcional a\(e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}\) donde\(\vec{k}\) apunta desde la abertura hasta tu ojo. Debido a que el integrando en (13.19) tiene un factor de\(C(k_{x}, k_{y})\), la amplitud de la onda es proporcional a\(C(k_{x}, k_{y})\) donde\[\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)=\left(k_{x}, k_{y}, \sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k^{2}}\right) \propto(X, Y, Z).\]

Figura\( 13.3\): El problema básico de difracción — hacer un haz.

La amplitud también es inversamente proporcional a\[R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}},\]

porque la intensidad debe caer como\(R^{−2}\), como en una onda esférica, por la conservación de energía.

Hay otros factores que contribuyen a la variación de la amplitud además\(C(k_{x}, k_{y})\) (veremos uno a continuación). Sin embargo, por lo general, todos los demás factores varían muy lentamente y pueden ignorarse. Por lo tanto, esperamos que la intensidad para grandes\(Z\) sea aproximadamente\[\frac{\left|C\left(k_{x}, k_{y}\right)\right|^{2}}{R^{2}},\]

donde\(\vec{k}\) y\(\vec{R}\) están relacionados por (13.32). \[\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)=\left(k_{x}, k_{y}, \sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k^{2}}\right) \propto(X, Y, Z)\]

lo que implica\[\frac{k_{x}}{X}=\frac{k_{y}}{Y}=\frac{k_{z}}{Z}=\frac{k}{R}=\frac{\omega / v}{R},\]

o\[k_{x}=\frac{k X}{R}, \quad k_{y}=\frac{k Y}{R}.\]

¡Ahora aquí está el punto! Insertar (13.36) en (13.24)\[C\left(k_{x}, k_{y}\right)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int d x d y f(x, y) e^{-i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)}\]

da la integral en (13.14) que vino de nuestro argumento físico sobre la interferencia! \[\int d x \int d y f(x, y) e^{i k(R+\Delta \ell)}=e^{i k R} \int d x \int d y f(x, y) e^{-i(x X+y Y) k / R}\]

Así nuestra descripción de la onda\(z > 0\) como problema de oscilación forzada contiene el mismo factor que describe la interferencia de todos los caminos que la onda puede tomar desde la apertura hasta\(\vec{R}\). La ventaja de nuestro enfoque actual es que es una derivación real.

También podemos escribir este resultado en términos de ángulos:\[\sin \theta_{x}=\frac{X}{R}=\frac{k_{x} v}{\omega}, \sin \theta_{y}=\frac{Y}{R}=\frac{k_{y} v}{\omega}\]

donde\(\theta_{x}\) y\(\theta_{y}\) son los ángulos del vector\(\vec{r}\) desde la\(X = y = 0\) línea en las\(y\) direcciones\(x\) y. O equivalentemente,\[X=\frac{Z k_{x}}{\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}, \quad y=\frac{Z k_{y}}{\sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}\]

Esto se ilustra en el diagrama de la Figura\( 13.4\).

Fase Estacionaria

Matemáticamente, (13.32)\[\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)=\left(k_{x}, k_{y}, \sqrt{\omega^{2} / v^{2}-k^{2}}\right) \propto(X, Y, Z)\]

surge para grandes\(Z\) porque la fase de lo exponencial en (13.19)\[\psi(\vec{r}, t)=\int d k_{x} d k_{y} C\left(k_{x}, k_{y}\right) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}-i \omega t} \text { for } z>0\]

varía muy rápidamente en función de\(k_{x}\) y a\(k_{y}\) excepción de los valores especiales de\(k_{x}\) y\(k_{y}\) donde las derivadas de la fase con respecto a\(k_{x}\) y\(k_{y}\) desaparecen. Si la función está centrada en\(x = y = 0\) y es suave, ⁵ las\(k\) derivadas de\(C(k_{x}, k_{y})\) son de orden\(L\) y son

Figura\( 13.4\):

irrelevante. Así la contribución viene de\(k_{x}\),\(k_{y}\) tal que\ [\ begin {alineado}
\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial k_ {x}\ left (X k_ {x} +Y k_ {y} +Z\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}\ right) &=X-\ frac {Z k_ {x}} {\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}} =0,\\
\ frac {\ parcial } {\ parcial k_ {y}}\ izquierda (X k_ {x} +Y k_ {y} +Z\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}\ derecha) &=Y-\ frac {Z k_ {y}} {\ sqrt {\ omega^ {2}/v^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}}} =0,
\ end {alineado}\]

que es equivalente a (13.38). Una evaluación cuidadosa de la integral, teniendo en cuenta la\(k_{x}\) y\(k_{y}\) dependencia en la vecindad del valor crítico determinado por (13.38) arroja un factor adicional en la amplitud de la onda de\[\frac{Z}{r^{2}}=\frac{\cos \theta}{r}\]

donde\(\theta\) está el ángulo del vector\(\vec{r}\) con\(z\) respecto al eje. Se esperaba el\(/r\) factor debido a la propagación de la onda difractada con la distancia. El factor de\(\cos \theta\) es en realidad el único lugar donde los detalles de la condición límite en el infinito, (13.21), entran en nuestra expresión para la onda difractada. Este factor garantiza que la onda difractada se desvanece a medida que avanzamos hacia la superficie de la pantalla opaca lejos de la abertura. Esto es análogo al factor de “oblicuidad”\((1+\cos \theta) / 2\), en la teoría de la difracción de Fresnel-Kirchhoff. La diferencia entre ambos se debe a las diferentes condiciones límite (nuestra barrera plana infinita versus la falta de ondas esféricas entrantes). Usualmente ignoraremos este factor, y de hecho generalmente no hace mucha diferencia donde la difracción es importante en la dirección hacia adelante. Lo importante es que todo lo demás sobre la difracción en la región de campo lejano está determinado solo por la linealidad, la invarianza de la traducción y las interacciones locales.

Tamaño de Spot

Una manera útil de pensar acerca de la transición de difracción de campo cercano (Fresnel) a campo lejano (Fraunhofer) es considerar el tamaño de la mancha formada por el haz de Figura\( 13.3\) en función de\(z\). Se trata de una competencia entre dos efectos. Aumentar el tamaño de la abertura hace que el tamaño de la mancha sea más grande en pequeño\(z\). Sin embargo, al disminuir el tamaño de la abertura se incrementa la dispersión\(k_{x}\), aumentando así la difracción y haciendo que el tamaño del punto sea más grande en general\(z\). Para un dado\(z\), lo mejor que puedes hacer es elegir el tamaño de tu apertura para que estos dos efectos sean del mismo orden de magnitud. Supongamos que el tamaño de tu abertura es\(\ell\). Entonces el spread in\(k_{x}\) es de orden\(2 \pi / \ell\). En general\(z\), la viga se extiende en un cono con un ángulo de apertura de orden\[\theta \approx \frac{\lambda}{\ell}.\]

Por lo tanto, cuando\[\frac{\lambda}{\ell} \approx \frac{\ell}{z},\]

la dispersión del punto debido a la difracción es del mismo orden de magnitud que el tamaño de la abertura. Concluimos que para minimizar el tamaño de la mancha para un dado\(z\), debe elegir una abertura de tamaño\[\ell \approx \sqrt{\lambda z}.\]

La relación, (13.41), hasta factores de\(\pi\), es lo que define la región de difracción de Fresnel en la Figura\( 13.3\). Otra forma de resumir el resultado de esta discusión es que para\[z \gg \frac{\ell^{2}}{\lambda},\]

el esparcimiento debido a la difracción es mucho mayor que el esparcimiento debido al tamaño de la abertura. Esto define la región de campo lejano, o difracción de Fraunhofer.

Ángulos

¿Qué sucede si la onda plana en (13.15) viene hacia la barrera opaca en ángulo, en lugar de dirigirse hacia la barrera opaca? Para ser específicos, supongamos que el\(\vec{k}\) vector de la onda forma un ángulo\(\theta\) con la perpendicular en el\(x\)\(z\) plano, de manera que\[k_{z}=k \cos \theta, \quad k_{x}=k \sin \theta.\]

Entonces es razonable suponer que el análogo de (13.15), la amplitud de la onda en el\(z = 0\) plano, es ⁶\[f_{\theta}(x, y)=f(x, y) e^{i x k \sin \theta}\]

donde la\(x\) dependencia adicional simplemente ha sido heredada de la\(x\) dependencia de la onda entrante. Podemos escribir la transformada de Fourier de\(f_{\theta}\) en términos de la de la\(f\) siguiente manera:\ [\ begin {aligned}
&f_ {\ theta} (x, y) =\ int d k_ {x} d k_ {y} C\ left (k_ {x}, k_ {y}\ right) e^ {i\ left (k_ {x} x+k_ {} y\ right)} ^ {i x k\ sin\ theta}\\
&=\ int d k_ {x} d k_ {y} C\ izquierda (k_ {x} -k\ sin\ theta, k_ {y}\ derecha) e^ {i\ izquierda (k_ {x} x+k_ {y} y\ derecha)}
\ end {alineado},\]

lo que implica\[Cθ(kx, ky) = C(kx − k sin θ, ky).\]

Esto es totalmente razonable. Si el máximo de\(C(k_{x}, k_{y})\) ocurre en\(k_{x} \approx 0\), el máximo de\(C_{\theta}(k_{x}, k_{y})\) ocurre en\(k_{x}=k \sin \theta\). Así aparece el patrón de difracción donde una línea a través de la abertura en la dirección de la onda plana entrante cruza la pantalla, tal como cabría esperar de un haz sesgado.

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⁵ Véase, sin embargo, la discusión en la página 383.