13.9: Flecos y Placas de Zona

Imagen Holográfica de un Punto

Una de las imágenes holográficas más simples es la imagen de un solo punto. Si una onda plana se encuentra con un objeto muy pequeño en su trayectoria, el objeto producirá una onda esférica. Si la onda plana y la onda esférica son entonces absorbidas por una placa fotográfica, como se muestra en la Figura\( 13.34\), se produce un patrón de interferencia en forma de círculos concéntricos, o franjas.

Específicamente, supongamos que la onda plana se está propagando en la\(z\) dirección, la placa fotográfica está en el\(x\) -\(y\) plano en\(z = z_{0}\) y colocamos el origen de nuestro sistema de coordenadas en la posición de la fuente de la onda esférica, como se muestra en la Figura\( 13.34\). Entonces la combinación lineal de onda plana más onda esférica tiene la forma (ignorando la polarización)\[A e^{i k z}+\frac{B}{r} e^{i k r},\]

donde\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\). Asumiremos, por simplicidad, eso\(A\) y\(B\) son reales lo que significa que las dos ondas están en fase en el objeto. La intensidad de la onda en\(z = z_{0}\), en la placa fotográfica es por lo tanto\[A^{2}+\frac{B^{2}}{r_{0}^{2}}+\frac{2 A B}{r_{0}} \cos \left[k\left(r_{0}-z_{0}\right)\right]\]

donde\(r_{0}\) es la distancia desde el objeto para un punto en el\(z = z_{0}\) plano,\[r_{0}=\sqrt{z_{0}^{2}+R^{2}}\]

Figura\( 13.34\): Flecos.

y\[R=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

es la distancia desde el\(z\) eje en el\(y\) plano\(x\) -. La intensidad depende sólo de\(R\), como debe ser debido a la simetría del sistema bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje.

Por lo general, nos interesa la región,\(z_{0} \gg R\), porque, como veremos, el patrón de intensidad es lo más interesante para los pequeños\(R\). En esta región, la distancia,\(r_{0}\) es casi igual a\(z_{0}\). Podemos ignorar la variación de\(r_{0}\) en la amplitud,\(B / r_{0}\). Sin embargo, existe una dependencia interesante en el término coseno en (13.133). En este término, podemos expandirnos\(r_{0}\) en una serie de Taylor en torno a\(R=z_{0}\),\[r_{0}=z_{0} \sqrt{1+R^{2} / z_{0}^{2}}=z_{0}+\frac{1}{2} \frac{R^{2}}{z_{0}}+\cdots\]

Armando todo esto, la intensidad se da aproximadamente para\(z_{0} \gg R\) por\[A^{2}+\frac{B^{2}}{z_{0}^{2}}+\frac{2 A B}{z_{0}} \cos \frac{k R^{2}}{2 z_{0}}.\]

El patrón de intensidad, (13.137), describe “zonas” circulares concéntricas de variación de intensidad. Las zonas pueden ser etiquetadas por los máximos y mínimos del coseno, en\[\frac{k R^{2}}{2 z_{0}}=n \pi\]

o\[R^{2}=n \lambda z_{0}\]

donde\(\lambda\) está la longitud de onda de la onda. Para\(n\) par, el coseno tiene un máximo y para\(n\) impar, un mínimo. La variación de intensidad es mayor si la onda plana y la onda esférica tienen aproximadamente la misma amplitud en la placa,\[\frac{B}{z_{0}}=A\]

Entonces la amplitud en realidad va a cero en los mínimos. La distribución de intensidad en función de\(R\) se muestra en la Figura\( 13.35\). Las posiciones de los máximos y mínimos, o “zonas”, se muestran en el\(R\) eje. En la placa fotográfica, esta distribución de intensidad da lugar a franjas circulares.

Figura\( 13.35\): La distribución de la intensidad.

Si la placa es desarrollada e iluminada por una onda plana, la onda esférica original se reproduce junto con otra onda esférica que se mueve hacia adentro hacia un punto en el\(z\) eje una distancia\(z_{0}\) más allá de la placa, como se muestra en la Figura\( 13.36\). Esta ola es la imagen real de la Figura\( 13.33\). Cuando una onda plana (líneas punteadas) ilumina la placa fotográfica producida en la Figura\( 13.34\), se producen ondas esféricas divergentes (líneas punteadas) y convergentes (líneas continuas).

Placas de Zona

El holograma de la Figura se\( 13.34\) puede utilizar para enfocar parte de la onda plana. La onda esférica convergente que se muestra en la Figura\( 13.36\) es mucho más fuerte que el resto de la perturbación de onda en el foco\(z=2 z_{0}\)\(x=y=0\),,, porque la amplitud de esta parte de la onda

Figura\( 13.36\): Onda plana que ilumina la placa fotográfica.

aumenta a medida que se acerca al foco. Tiene la forma\[\frac{1}{r^{\prime}} e^{i k r^{\prime}}\]

donde\[r^{\prime}=\sqrt{\left(z-2 z_{0}\right)^{2}+x^{2}+y^{2}}.\]

El mismo efecto se puede producir con una versión caricatura de la placa fotográfica realizada tomando una placa transparente y desmayando las zonas para negativo\(n\) en (13.138) donde la distribución de intensidad es menor a la mitad del máximo. Por ejemplo, la primera zona negativa es la región\(\lambda z_{0} / 2<R^{2}<3 \lambda z_{0} / 2\). El segundo es la región\(5 \lambda z_{0} / 2<R^{2}<7 \lambda z_{0} / 2\), etc. El resultado es una “placa de zona”. Un ejemplo, producido al desmayar las primeras 4 zonas negativas se muestra en la Figura\( 13.37\). Estas cosas son bastante útiles, porque se pueden producir fácilmente y adaptar a cualquier longitud de onda.

Figura\( 13.37\): Una placa de zona.