12.1.2: Simulación de Cabeza de Tambor
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La siguiente simulación le permite ver y manipular los modos puros para una cabeza de tambor circular (fija alrededor del borde). La simulación se puede ver como una superficie bidimensional o como una superficie en tres dimensiones. En la vista 3D se puede agarrar la superficie con el ratón y girarla. Las amplitudes de las vibraciones son exageradas en comparación con una superficie real para hacerlas más visibles. El aumento\(\Delta t\) hace que la simulación se ejecute más rápido pero también con menor precisión, especialmente para números de modo más altos.
Las formas para una membrana circular vienen dadas por Funciones de Bessel multiplicadas por ondas sinusoidales en lugar de ondas sinusoidales como fue el caso en la superficie rectangular (que es tanto matemática como necesitamos saber por ahora). Para una superficie rectangular los valores de\(n\) y\(m\) comienzan en uno y uno y siempre son positivos. Para una membrana circular se\(n\) inicia en una y debe ser positiva pero\(m\) puede ser cero y también negativa.
Nota
Las amplitudes de modo relativo en el caso de más de un modo no se normalizan correctamente, matemáticamente, en esta simulación.
Preguntas de Simulación
- Defina\(n=1\) y\(m=0\) ejecute la simulación y describa el movimiento en la vista de superficie. Describa también el movimiento en la vista 3D (si la superficie es demasiado grande para caber en la ventana, use el mouse para encogerla para que encaje).
- ¿Cuál es la frecuencia del\(n=1,\: m=0\) modo? ¿Cuál es el periodo?
- Observe el\(m=1\) modo\(n=1\) y y describa el movimiento en la superficie y la vista 3D. (No olvide que puede rotar la vista usando el mouse para obtener un mejor ángulo). Describir la ubicación de la línea nodal.
- Para el\(m=1\) modo\(n=1\) y, ¿cuál es la frecuencia? ¿Es esto un armónico?
- Para el\(m=0\) modo\(n=2\) y, ¿cuál es la frecuencia? ¿Es esto un armónico?
- Prueba varios modos puros diferentes. ¿Puedes encontrar algún armónico del modo de frecuencia más baja?
- Mira los modos puros para\(n=1,2,3,4\) y\(m=0\) (un modo puro tiene uno de los dos números de modo igual a cero). ¿Qué tienen en común todos los\(m=0\) modos?
- Para alguno de los modos que has mirado, ¿hay una sección transversal a través de la vista 3D que sería una forma sinusoidal o coseno? La forma de la curva desde el centro hacia el borde viene dada por Funciones de Bessel en lugar de senos o cosenos.
- Compara el\(n=1,\: m=1\) modo con el\(n=1,\: m=-1\) modo. ¿Cuál es la diferencia? ¿Son estos modos degenerados (la misma frecuencia para dos opciones diferentes de números de modo)?
- Esta simulación sólo muestra modos puros. ¿Cuál sería el efecto de tener muchos modos diferentes en la superficie al mismo tiempo? (Vuelva a la simulación de placa rectangular para obtener una pista).